sem7 (1127950)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

УМФ – семинар – Метод Фурье – 21Метод Фурье для однородного параболического уравнения с однородными краевыми условиями.№ 688.Найти решение u(x, t) уравнения ut = a2 uxx ,u(0, t) = ux (l, t) = 0,u(x, 0) = ϕ(x)(1.1)Шаг 1. Будем искать решение уравнения ut = a2 uxx с краевыми условиямиu(0, t) = ux (l, t) = 0 в видеU (x, t) = X(x)T (t).Сразу заметим, что краевые условия означают для функции X(x) следующее:X(0) = X 0 (l) = 0.(1.2)Подставим U (x, t) в уравнение, получим:X(x)T 0 (t) = a2 X”(x)T (t)Предположив, что X(x)T (t) 6= 0, поделим это равенство на a2 X(x)T (t) 6= 0:−X”(x)T 0 (t)=− 2= λ.X(x)a T (t)Отсюда для функции X(x) имеем задачуX”(x) + λX(x) = 0,X(0) = X 0 (l) = 0,(1.3)(1.4)а для функции T (t) – уравнение:T 0 (t) + λa2 T (t) = 0,t > 0.(1.5)Задача (1.3)–(1.4) есть задача Штурма–Лиувилля.

Общее решение уравнения (1.3) имеет вид√√при λ > 0;(1.6)X(x) = c1 sin( λ x) + c2 cos( λ x)√X(x) = c1 e −λ x + c2 e−X(x) = c1 x + c2√−λ xпри λ < 0;при λ = 0;(1.7)(1.8)• При λ√ > 0 имеем из краевогоX(x) =√ условия√ X(0) = 0, что c2 = 0, ⇒0c1 sin( λ x) ⇒ X (x)√= c1 λ cos( λ x). Поэтому из второго краевого условияX 0 (l) = 0 получаем, что λ l = π 21 + k откуда имеем бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма–Лиувилля:2π(2n − 1),n ∈ N.(1.9)λn =2lИм соответствует бесконечное множество собственных функций:π(2n − 1)Xn (x) = sinx ,n ∈ N.2l-1-(1.10)УМФ – семинар – Метод Фурье – 2• При λ√ < 0 имеем из краевогоX(x) =√ X(0) = 0, что c1 = −c2 , ⇒√ условия2c1 sh −λ x ⇒ X 0 (x) = 2c1 −λ ch( −λ x). Поэтому из второго краевого условияX 0 (l) = 0 получаем, что c1 = 0, т.е.

задача Штурма–Лиувилля не имеет отрицательных собственных чисел• При λ = 0 имеем из краевого условия X(0) = 0, что c2 = 0, ⇒ X(x) = c1 x ⇒X 0 (x) = c1 ). Поэтому из второго краевого условия X 0 (l) = 0 получаем, что c1 = 0,т.е. задача Штурма–Лиувилля не имеет собственного числа, равного нулю.2, Xn (x) =Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений λn = π(2n−1)2lsin π(2n−1)x , n ∈ N задачи (1.3), (1.4). Стало быть, рассматривать задачу (??) имеет2lсмысл только при λ = λn , и мы получаем семейство задач:Tn0 (t) + λn a2 Tn (t) = 0,t > 0.(1.11)Решение этого линейного однородного уравнения первого порядка имеет вид:−Tn (t) = An e(π(2n−1)a)2t(2l)2(1.12)где An – произвольные постоянные.Шаг 2.

Решаем задачу (1.1).Будем искать решение задачи (1.1) в виде u(x, t) =∞PXn (x)Tn (t), т.е.n=1u(x, t) =∞Xsinn=1(π(2n−1)a)2π(2n − 1)−t(2l)2x An e.2l(1.13)Из условий задачи мы ещё не использовали только начальные условияu(x, 0) = ϕ(x). Для функции u(x, t) искомого вида они означают:ϕ(x) = u(x, 0) =∞XXn (x)Tn (0) =n=1∞XAn Xn (x),(1.14)n=1(1.15)Пусть функция ϕ(x), входящая в начальное условие, разлагается в рядϕ(x) =∞Xαn Xn (x),(1.16)n=1Выясним, какими должны быть коэффициенты αn .

Для этого домножим (1.16) на Xm =sin π − 21 + m x скалярно в смысле L2 [0, l]:Zl(ϕ, Xm ) = αmsin02Zl π(2n − 1)π(2n − 1)αmx dx =1 − cosxdx =2l22l0αm=2Zldx =0-2-lαm,2УМФ – семинар – Метод Фурье – 2откуда22αn = (ϕ, Xn ) =llZlϕ(x) sinπ(2n − 1)x dx.2l(1.17)0Таким образом, для коэффициентов An из представления (1.14) решения u(x, t), имеем:2An = αn =lZlϕ(x) sinπ(2n − 1)x dx.2l(1.18)0Всё, что нам осталось сделать, – это подставить в формулу (1.14) найденные коэффициенты An из (1.18).№ 687M .Найти решение u(x, t) начально-краевой задачи ut = a2 uxx ,u(x, 0) = ϕ(x),u(0, t) = u(l, t) = 0.(1.19)Шаг 1.

Будем искать решение уравнения ut = a2 uxx с краевыми условиямиu(0, t) = u(l, t) = 0 в видеU (x, t) = X(x)T (t).Сразу заметим, что краевые условия означают для функции X(x) следующее:X(0) = X(l) = 0.(1.20)Подставим U (x, t) в уравнение, получим:X(x)T 0 (t) = a2 X”(x)T (t)Предположив, что X(x)T (t) 6= 0, поделим это равенство на a2 X(x)T (t) 6= 0:−T 0 (t)X”(x)=− 2= λ.X(x)a T (t)Отсюда для функции X(x) имеем задачуX”(x) + λX(x) = 0,X(0) = X(l) = 0,(1.21)(1.22)а для функции T (t) – уравнение:T 0 (t) + λa2 T (t) = 0,t > 0.(1.23)Задача (1.21)–(1.22) есть задача Штурма–Лиувилля (мы уже изучали её в № 643).Общее решение уравнения (1.21) имеет вид√√X(x) = c1 sin( λ x) + c2 cos( λ x)при λ > 0;(1.24)√X(x) = c1 e −λ x + c2 e−X(x) = c1 x + c2√-3-−λ xпри λ < 0;при λ = 0;(1.25)(1.26)УМФ – семинар – Метод Фурье – 2• При λ > 0 существует бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма–Лиувилля:π 2 n2λn = 2 ,n ∈ N.(1.27)lИм соответствует бесконечное множество собственных функций: πnx ,n ∈ N.(1.28)Xn (x) = sinl• При λ < 0 задача Штурма–Лиувилля не имеет нетривиальных решений.• При λ = 0 данная задача Штурма–Лиувилля не имеет нетривиальных решений.Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений πnx π 2 n2, n∈Nλn = 2 , Xn (x) = sinllзадачи (1.21), (1.22).

Стало быть, рассматривать задачу (1.23) имеет смысл только приλ = λn , и мы получаем семейство задач:Tn0 (t) + λn a2 Tn (t) = 0,t > 0.(1.29)Решение этого линейного однородного уравнения второго порядка имеет вид:π 2 n2 a2tl2Tn (t) = An e−t > 0,(1.30)где An – произвольные постоянные.Шаг 2. Решаем задачу (1.19).∞PБудем искать решение задачи (1.19) в виде u(x, t) =Xn (x)Tn (t), т.е.n=1u(x, t) =∞Xsin πnx ln=1An e−π 2 n2 a2tl2.(1.31)Из условий задачи мы ещё не использовали только начальное условиеu(x, 0) = ϕ(x). Для функции u(x, t) искомого вида они означают:ϕ(x) = u(x, 0) =∞XXn (x)Tn (0) =n=1∞XAn Xn (x),(1.32)n=1Пусть функция ϕ(x), входящая в начальное условие, разлагается в ряд Фурье по синусам:ϕ(x) =∞Xbn sin πnx n=12bn =lZlϕ(x) sinl,где πnx ldx.(1.33)(1.34)0(1.35)Сопоставляя (1.32) и (1.33), (1.34) для коэффициентов An ≡ bn получим:2An ≡ b n =lZlϕ(x) sin0-4- πnx ldx.(1.36)УМФ – семинар – Метод Фурье – 2Всё, что нам осталось сделать, – это подставить в формулу (1.31) найденные коэффициенты An из (1.36).№ 687.Найти решение u(x, t) начально-краевой задачи ut = a2 uxx ,u(x, 0) = Ax,u(0, t) = u(l, t) = 0.(1.37)Шаг 1.

Будем искать решение уравнения ut = a2 uxx с краевыми условиямиu(0, t) = u(l, t) = 0 в видеU (x, t) = X(x)T (t).Мы уже несколько раз решали эту задачу, в частности в № 687M . У неё есть бесконечноемножество нетривиальных решений πnx π 2 n2, n∈Nλn = 2 , Xn (x) = sinllПоэтому для функций Tn (t) у нас получается семейство задач:Tn0 (t) + λn a2 Tn (t) = 0,t > 0.(1.38)Решение этого линейного однородного уравнения второго порядка имеет вид:Tn (t) = An e−π 2 n2 a2tl2t > 0,(1.39)где An – произвольные постоянные.Шаг 2. Решаем задачу (1.37).Будем искать решение задачи (1.37) в виде u(x, t) =∞PXn (x)Tn (t), т.е.n=1u(x, t) =∞Xsin πnx ln=1An e−π 2 n2 a2tl2.(1.40)Из условий задачи мы ещё не использовали только начальное условиеu(x, 0) = ϕ(x). Но в данном случае функция ϕ(x) нам задана:ϕ(x) = Ax.Поэтому воспользуемся формулами, полученными в № 687M .2An ≡ b n =lZlϕ(x) sin πnx ldx,где(1.41)02bn =lZlϕ(x) sin πnx ldx.(1.42)0Найдём коэффициенты An ≡ bn :An =2lAx sin0lZ2l πnx x=lπnxdx = −Ax cos− cosdx  =πnll x=0l0! πnx x=l2l2Al(−1)n+1= −A(l(−1)n − 0) −sin=.πnπnl x=0πnZl πnx l-5-УМФ – семинар – Метод Фурье – 2Таким образом,2Al(−1)n+1.πnПодставляем найденные коэффициенты An в формулу (1.40):An =∞u(x, t) = πnx π2 n2 a22Al X (−1)n+1sine− l2 t .π n=1nl№ 691.Найти решение u(x, t) уравнения ut = a2 uxx ,u(x, 0) = ϕ(x),ux (0, t) = ux (l, t) + hu(l, t) = 0,(1.43)h > 0.Шаг 1.

Будем искать решение уравнения utt = a2 uxx с краевыми условиямиux (0, t) = ux (l, t) + hu(l, t) = 0 в видеU (x, t) = X(x)T (t).Сразу заметим, что краевые условия означают для функции X(x) следующее:X 0 (0) = X 0 (l) + hX(l) = 0.(1.44)Подставим U (x, t) в уравнение, получим:X(x)T 0 (t) = a2 X”(x)T (t)Предположив, что X(x)T (t) 6= 0, поделим это равенство на a2 X(x)T (t) 6= 0:X”(x)T 0 (t)= 2= −λ.X(x)a T (t)Отсюда для функции X(x) имеем задачуX”(x) + λX(x) = 0,X (0) = X 0 (l) + hX(l) = 0,0(1.45)(1.46)а для функции T (t) – уравнение:T 0 (t) + λa2 T (t) = 0,t > 0.(1.47)Задача (1.45)–(1.46) есть задача Штурма–Лиувилля. Общее решение уравнения (1.45)имеет вид√√X(x) = c1 sin( λ x) + c2 cos( λ x)при λ > 0;(1.48)√X(x) = c1 e −λ x + c2 e−X(x) = c1 x + c2• При λ > 0 имеем√−λ xпри λ < 0;при λ = 0;√√√√X 0 (x) = c1 λ cos( λ x) − c2 λ sin( λ x)(1.49)(1.50)√И из краевогоусловияX 0 (0) = 0 следует, что c1 = 0, ⇒ X(x) = c2 cos( λ x) ⇒√√0X 0 (x) = −c2 λ sin(√ λ x).√ Поэтому из√второго краевого условия X (l) + hX(l) = 0получаем, что − λ sin( λ l) + h cos( λ l) = 0, откуда (очевидно, косинус не может быть равен нулю, т.к.

тогда синус равнялся бы (±1), и равенство не было бывыполнено)√√λ tg( λ l) = h(1.51)-6-УМФ – семинар – Метод Фурье – 2Это уравнение, как легко увидеть из графика, имеет бесконечно много решений λn ,n ∈ N. Сами эти решения явным образом выписать нельзя, но любое может бытьнайдено со сколь угодно большой точностью численно. Мы их искать не будем, удовлетворившись знанием, что они есть, и их можно найти.Таким образом, существует бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма–Лиувилля:ppλn tg( λn l) = h,n ∈ N.(1.52)λn > 0 − решения уравненияИм соответствует бесконечное множество собственных функций:pXn (x) = cosλn x ,n ∈ N.(1.53)• При λ < 0 задача Штурма–Лиувилля никогда не имеет нетривиальных решений.• При λ = 0 имеем из краевого условия X 0 (0) = 0, что c1 = 0, ⇒ X(x) = c2 ⇒X 0 (x) = 0), и второе краевое условие X 0 (l) + hX(l) = 0 даёт требование c2 = 0,т.е.

данная задача Штурма–Лиувилля при λ = 0 также не имеет нетривиальныхрешений.Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решенийpλn x ,λn − решения уравнения (1.51),Xn (x) = cosn∈Nзадачи (1.45), (1.46). Стало быть, рассматривать задачу (1.47) имеет смысл только приλ = λn , и мы получаем семейство задач:Tn0 (t) + λn a2 Tn (t) = 0,t > 0.(1.54)Общее решение этого линейного однородного уравнения второго порядка имеет вид:Tn (t) = An e−√λn a2 t,t > 0,(1.55)где An – произвольные постоянные.Шаг 2.

Решаем задачу (1.43).Будем искать решение задачи (1.43) в виде u(x, t) =∞PXn (x)Tn (t), т.е.n=1u(x, t) =∞Xpλn x · An e−cos√λn a2 t.(1.56)n=1Из условий задачи мы ещё не использовали только начальное условиеu(x, 0) = ϕ(x). Для функции u(x, t) искомого вида они означают:ϕ(x) = u(x, 0) =∞XXn (x)Tn (0) =n=1∞XAn Xn (x),(1.57)n=1Пусть функция ϕ(x), входящая в начальное условие, разлагается в рядϕ(x) =∞Xαn Xn (x),n=1-7-(1.58)УМФ – семинар – Метод Фурье – 2Выясним, какимидолжны быть коэффициенты αn ≡ An . Для этого домножим (1.58) на√Xm = cos λm x скалярно в смысле L2 [0, l] и учтём, что система собственных функций задачи Штурма–Лиувилля всегда является ортогональной в смысле этого скалярногопроизведения:Zl(ϕ, Xm ) = αm2cospαmλm x dx =2Zl p1 + cos 2 λm x dx =00αm=2!x=l p1αml+ √=sin 2 λm x 22 λmx=0откуда, пользуясь тождествами cos2 α =1,1+tg2 α!√sin 2 λm l√l+.2 λmsin 2α = 2 sin α cos α, получаем: h√√√ippsin 2 λm lsin λm l cos λm lh√√l+λm =tg( λm l) ===l+h2 λmtg( λm l) h√√2i2sinλm lλm l1 − cos12=l+=l+= cos α ==hh1 + tg2 α1 − 1+tg2 1√λ lmhp1 − λmλ+hh2 i2( m)= tg2λm l ==l+==l+hλmhh2l (λm + h2 ) + h=l+=.h (λm + h2 )λm + h2В итоге для коэффициентов αn ≡ An получаем равенство:λn + h2λn + h2An = αn = 2(ϕ,X)=2nl (λn + h2 ) + hl (λn + h2 ) + hZlϕ(x) cospλn l dx.(1.59)0Всё, что нам осталось сделать, – это подставить в формулу (1.56) найденные коэффициенты An из (1.59).

∞ √ 2Rl√√Pλn +h22 l(λn +h2 )+h ϕ(x) cos λn l dx cos λn x e− λn a t .Ответ: u(x, t) =n=10№ 692.Найти решение u(x, t) уравнения ut = a2 uxx ,u(x, 0) = U,ux (0, t) − hu(0, t) = u(l, t) = 0,(1.60)h > 0.√∞Ph−(−1)n λn +h2 −a2 λn tОтвет: u(x, t) = 2UeΦn (x), гдеλn [l(λn +h2 )+h]n=1√ √√√√λ l = − λ.Φn = λn cos λn x + h sin λn x , λn – корни уравнения h tg-8-.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов семинаров