sem9 (1127952)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

УМФ – семинар – Метод Фурье1Сведение неоднородных краевых условий к однородным.Рассмотрим неоднородную начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности с неоднородными краевыми условиями первого рода.ut − a2 uxx = f (x, t),u(0, t) = µ(t)u(l, t) = ν(t),u(x, 0) = ϕ(x),x ∈ (0, l), t > 0,t > 0,t > 0,x ∈ [0, l].(1.1)(1.2)(1.3)(1.4)Её легко свести к аналогичной задаче, но уже с однородными краевыми условиями. Это делается при помощи подходящей замены переменных:l−xxv(x, t) = u(x, t) −µ(t) + ν(t) .(1.5)llВ самом деле, при x = 0v(0, t) = u(0, t) −l0µ(t) + ν(t) = µ(t) − µ(t) = 0.llА при x = lv(l, t) = u(l, t) −ll−lµ(t) + ν(t) = ν(t) − ν(t) = 0.llЧто же после такой замены произойдёт с уравнением и начальным условием? Изучим этотвопрос.

Посколькуl−x 0x 0ut = v t +µ (t) + ν (t) ,uxx = vxx ,llто уравнение примет видl−x 0x 02vt − a vxx = f (x, t) −µ (t) + ν (t) = f1 (x, t).llНачальное условие преобразуется следующим образом:xl−xv(x, 0) = ϕ(x) −µ(0) + ν(0) = ϕ1 (x).llИтак, исходная задача свелась к задаче нахождения функции v(x, t) с однородными краевымиусловиями:vt − a2 vxx = f1 (x, t),v(0, t) = 0v(l, t) = 0,v(x, 0) = ϕ1 (x),x ∈ (0, l), t > 0,t > 0,t > 0,x ∈ [0, l],гдеf1 (x, t) = f (x, t) −x 0l−x 0µ (t) + ν (t) ,ll-1-ϕ1 (x) = ϕ(x) −l−xxµ(0) + ν(0) .llУМФ – семинар – Метод ФурьеЗамечание 1.1.

В случае любых краевых условий, кроме условий II-го рода на обоих концах,можно подобрать функциюw(x, t) = (a1 x + b1 )µ(t) + (a2 x + b2 )ν(t)так, чтобы для функции v(x, t) = u(x, t) − w(x, t) выполнялись однородные краевые условиятого же вида.Отдельный случай представляют собой условия II-го рода на обоих концах.

В этом случаефункцию w в виде w(x, t) = (a1 x + b1 )µ(t) + (a2 x + b2 )ν(t) найти можно не всегда, но всегда еёможно найти в видеw(x, t) = (a1 x2 + b1 x)µ(t) + (a2 x2 + b2 x)ν(t).Пример 1.1. Краевые условияux (0, t) + hu(0, t) = µ(t),ux (l, t) = ν(t)сводятся к однородным так:найдём w(x, t) = (a1 x + b1 )µ(t) + (a2 x + b2 )ν(t), чтобы она удовлетворяла краевым условиямwx (0, t) + hw(0, t) = µ(t),wx (l, t) = ν(t).Тогдаw(0, t) = b1 µ(t) + b2 ν(t),wx (0, t) = a1 µ(t) + a2 ν(t),wx (l, t) = a1 µ(t) + a2 ν(t).Из второго краевого условияν(t) = a1 µ(t) + a2 ν(t)получаем:a1 = 0,a2 = 1.А из первого краевого условия с учётом найденных a1,2µ(t) = (a1 µ(t) + a2 ν(t)) + h (b1 µ(t) + b2 ν(t)) = hb1 µ(t) + (1 + hb2 )ν(t)находим:1,hb1 =b2 = −1.hНаконец,w(x, t) =1xh − 1µ(t) +ν(t).hhПример 1.2.

Краевые условия II-го родаux (0, t) = µ(t),ux (l, t) = ν(t)сводятся к однородным так:найдём w(x, t) = (a1 x2 +b1 x)µ(t)+(a2 x2 +b2 x)ν(t), чтобы она удовлетворяла краевым условиямwx (0, t) = µ(t),wx (l, t) = ν(t)Тогдаwx (0, t) = b1 µ(t) + b2 ν(t),wx (l, t) = (2a1 l + b1 )µ(t) + (2a2 l + b2 )ν(t).Из первого краевого условияµ(t) = b1 µ(t) + b2 ν(t)-2-УМФ – семинар – Метод Фурьеполучаем:b1 = 1,b2 = 0.А из второго краевого условия с учётом найденных b1,2ν(t) = (2a1 l + b1 )µ(t) + (2a2 l + b2 )ν(t) = (2a1 l + 1)µ(t) + 2a2 lν(t)находим:a1 = −1,2la2 =1.2lНаконец,w(x, t) =x2x−2lµ(t) +x2ν(t).2l№ 659.Свести задачуutt − uxx = 0,u(0, t) = µ(t), u(l, t) = ν(t),u(x, 0) = ϕ(x),ut (x, 0) = ψ(x),x ∈ (0, l), t > 0,t > 0,x ∈ [0, l],x ∈ [0, l](2.1)(2.2)(2.3)(2.4)к задаче с однородными краевыми условиями.Шаг № 1.

Построение вспомогательной функции.Найдём w(x, t) = (a1 x + b1 )µ(t) + (a2 x + b2 )ν(t), чтобы она удовлетворяла краевым условиямw(0, t) = µ(t),w(l, t) = ν(t)Вид искомой функции w(x, t) даёт на концах отрезкаw(0, t) = b1 µ(t) + b2 ν(t),w(l, t) = (a1 l + b1 )µ(t) + (a2 l + b2 )ν(t).Из первого краевого условияµ(t) = b1 µ(t) + b2 ν(t)получаем:b1 = 1,b2 = 0.А из второго краевого условия с учётом найденных b1,2ν(t) = (a1 l + b1 )µ(t) + (a2 l + b2 )ν(t) = (a1 l + 1)µ(t) + a2 lν(t)находим:1a1 = − ,l1a2 = .lНаконец,xxl−xxw(x, t) = 1 −µ(t) + ν(t) =µ(t) + ν(t).llllДля построенной таким образом функции w(x, t) имеем:wt =l−x 0xµ (t)+ ν 0 (t),llwtt =l−xxµ”(t)+ ν”(t),ll-3-wxx ≡ 0,w(x, 0) =l−xxµ(0)+ ν(0).llУМФ – семинар – Метод ФурьеПоэтому w(x, t) удовлетворяет равенствам:l−xxµ”(t) + ν”(t),llw(0, t) = µ(t), w(l, t) = ν(t),l−xxw(x, 0) =µ(0) + ν(0),llxl−x 0µ (0) + ν 0 (0),wt (x, 0) =llwtt − wxx =x ∈ (0, l), t > 0,(2.5)t > 0,(2.6)x ∈ [0, l].(2.7)x ∈ [0, l].(2.8)Шаг № 2.

Сведение к задаче с однородными краевыми условиями.Для функции v(x, t) = u(x, t) − w(x, t), вычитая из (??) – (??) равенства (2.5) – (2.8), получимзадачуxl−xµ”(t) − ν”(t),llv(0, t) = v(l, t) = 0,l−xxv(x, 0) = ϕ(x) −µ(0) + ν(0) ,lll−x 0x 0vt (x, 0) = ψ(x) −µ (0) + ν (0) ,llvtt − a2 vxx = −x ∈ (0, l), t > 0,(2.9)t > 0,(2.10)x ∈ [0, l].(2.11)x ∈ [0, l].(2.12)№ 660.Свести задачуutt − uxx = 0,ux (0, t) = µ(t),u(x, 0) = ϕ(x),ut (x, 0) = 0,x ∈ (0, l), t > 0,t > 0,x ∈ [0, l],x ∈ [0, l]u(l, t) = ν(t),(3.1)(3.2)(3.3)(3.4)к задаче с однородными краевыми условиями.Шаг № 1. Построение вспомогательной функции.Найдём w(x, t) = (a1 x + b1 )µ(t) + (a2 x + b2 )ν(t), чтобы она удовлетворяла краевым условиямw(0, t) = µ(t),w(l, t) = ν(t)Вид искомой функции w(x, t) даёт на концах отрезкаwx (0, t) = a1 µ(t) + a2 ν(t),w(l, t) = (a1 l + b1 )µ(t) + (a2 l + b2 )ν(t).Из первого краевого условияµ(t) = a1 µ(t) + a2 ν(t)получаем:a1 = 1,a2 = 0.А из второго краевого условия с учётом найденных a1,2ν(t) = (a1 l + b1 )µ(t) + (a2 l + b2 )ν(t) = (l + b1 )µ(t) + b2 ν(t)находим:b1 = −l,b2 = 1.Наконец,w(x, t) = (x − l)µ(t) + ν(t).-4-УМФ – семинар – Метод ФурьеДля построенной таким образом функции w(x, t) имеем:wt = (x − l)µ0 (t) + ν 0 (t),wtt = (x − l)µ”(t) + ν”(t),wxx ≡ 0,w(x, 0) = (x − l)µ(0) + ν(0).Поэтому w(x, t) удовлетворяет равенствам:wtt − wxx = (x − l)µ”(t) + ν”(t),wx (0, t) = µ(t), w(l, t) = ν(t),w(x, 0) = (x − l)µ(0) + ν(0),wt (x, 0) = (x − l)µ0 (0) + ν 0 (0),x ∈ (0, l), t > 0,t > 0,x ∈ [0, l].x ∈ [0, l].(3.5)(3.6)(3.7)(3.8)Шаг № 2.

Сведение к задаче с однородными краевыми условиями.Для функции v(x, t) = u(x, t)−w(x, t), вычитая из (3.1) – (3.4) равенства (3.5) – (3.8), получимзадачуvtt − vxx = −(x − l)µ”(t) − ν”(t),vx (0, t) = v(l, t) = 0,v(x, 0) = ϕ(x) − ((x − l)µ(0) + ν(0)) ,vt (x, 0) = ψ(x) − ((x − l)µ0 (0) + ν 0 (0)) ,x ∈ (0, l), t > 0,t > 0,x ∈ [0, l].x ∈ [0, l].(3.9)(3.10)(3.11)(3.12)№ 661.Свести задачуutt − uxx = f (x, t),u(0, t) = µ(t), ux (l, t) + hu(l, t) = ν(t),u(x, 0) = 0,ut (x, 0) = ψ(x),h > 0,x ∈ (0, l), t > 0,t > 0,x ∈ [0, l],x ∈ [0, l](4.1)(4.2)(4.3)(4.4)к задаче с однородными краевыми условиями.№ 662.Свести задачуutt − uxx = f (x, t),ux (0, t) − hu(0, t) = µ(t),u(x, 0) = ϕ(x),ut (x, 0) = ψ(x),ux (l, t) = ν(t),h > 0,x ∈ (0, l), t > 0,t > 0,x ∈ [0, l],x ∈ [0, l](4.1)(4.2)(4.3)(4.4)к задаче с однородными краевыми условиями.№ 663.Свести к задаче с однородными краевыми условиями.utt − uxx = 0,ux (0, t) − hu(0, t) = µ(t),u(x, 0) = 0,ut (x, 0) = 0,ux (l, t) + gu(l, t) = ν(t),-5-h, g > 0x ∈ (0, l), t > 0,t > 0,x ∈ [0, l],x ∈ [0, l](5.1)(5.2)(5.3)(5.4)УМФ – семинар – Метод Фурье№ 655.Найти решение u(x, t) задачиutt − a2 uxx = f (x),ux (0, t) = α, ux (l, t) = β,u(x, 0) = ϕ(x),ut (x, 0) = ψ(x),x ∈ (0, l), t > 0,t > 0,x ∈ [0, l].x ∈ [0, l].(6.1)(6.2)(6.3)(6.4)Шаг № 1.

Сведём эту задачу к задаче с однородными краевыми условиями.Найдём w(x, t) = (a1 x2 + b1 x)α + (a2 x2 + b2 x)β, чтобы она удовлетворяла краевым условиямwx (0, t) = α,wx (l, t) = βВид искомой функции w(x, t) даёт на концах отрезкаwx (0, t) = b1 α + b2 β,wx (l, t) = (2a1 l + b1 )α + (2a2 l + b2 )β.Из первого краевого условияα = b1 α + b2 βполучаем:b1 = 1,b2 = 0.А из второго краевого условия с учётом найденных b1,2β = (2a1 l + b1 )α + (2a2 l + b2 )β = (2a1 l + 1)α + 2a2 lβнаходим:a1 = −1.2l1,2la2 =α+x2β−α 2β = αx +x.2l2lНаконец,w(x, t) =x2x−2lДля построенной таким образом функции w(x, t) имеем:wt = wtt ≡ 0,wxx =β−α,lw(x, 0) = αx +β−α 2x.2lПоэтому w(x, t) удовлетворяет равенствам:α−β,lwx (0, t) = α, wx (l, t) = β,β−α 2w(x, 0) = αx +x,2lwt (x, 0) = 0,wtt − a2 wxx = a2x ∈ (0, l), t > 0,(6.5)t > 0,(6.6)x ∈ [0, l].(6.7)x ∈ [0, l].(6.8)Поэтому для функции v(x, t) = u(x, t) − w(x, t), вычитая из (6.1) – (6.4) равенства (6.5) – (6.8),получим задачуvtt − a2 vxx = f (x, t) − a2α−β= f1 (x),lvx (0, t) = vx (l, t) = 0,β−α 2v(x, 0) = ϕ(x) − αx +x = ϕ1 (x),2lvt (x, 0) = ψ(x),-6-x ∈ (0, l), t > 0,(6.9)t > 0,(6.10)x ∈ [0, l].(6.11)x ∈ [0, l].(6.12)УМФ – семинар – Метод ФурьеШаг № 2.

Решаем задачу с однородными краевыми условиями (6.9) – (6.12).Эта задача – частный случай решённой ранее задачи № 669M 2 . Её решение:∞ πnx X,v(x, t) =Tn (t) cosln=0(6.13)гдеT0 (t) =ϕ0+2Zt ψ0 + 1220Zτf0 (κ)dκ  dτ.(6.14)0lπnatπnat+ ψncos+l  πnalZtZtπnaτπnatπnaτ l  πnatsinf1n (τ ) cosdτ − cosf1n (τ ) sindτ . (6.15)+πnallllTn (t) = ϕ1n sin00При этом, в нашем случае f1 (x, t) = f1 (x) ⇒ f1n (t) = f1n ,ϕ1n2=lZlϕ1 (x) cos πnx l2ψn =ldx,0Zlψ(x) cos πnx ldx,f1n02=lZlf1 (x) cos πnx l0Наконец, поскольку f1n не зависят от времени, их в (6.15) можно вынести за знаки интегралов:Ztπnaτf1n (τ ) cosdτ = f1nl0ZtZtcosπnaτlπnatdτ = f1nsin,lπnal0πnaτf1n (τ ) sindτ = f1nl0Ztπnaτlsindτ = −f1nlπnaπnatcos−1 .l0Кроме того, T0 в силу (6.16) и независимости f10 от t имеет вид:ZtZτψ0 f10ϕ10 ψ0f10 t2ϕ10+  ++t+.T0 (t) =dκ  dτ =222222 20(6.16)0Подставляя всё это в (6.13), получим:v(x, t) =ϕ10 ψ0f10 2+t+t+224∞ πnx Xπnatlπnat+ϕ1n sin+ ψncoscos+lπnalln=1∞ πnx Xf1nπnat2 πnat2 πnat+sin+cos−coscos.2(πna)lllln=1или, короче:v(x, t) =Ответ:ϕ10 ψ0f10 2+t+t+224∞ πnx Xπnatπnatf1nπnatl+ϕ1n sin+ ψncos−coscos.

(6.17)lπnal(πna)2lln=1u(x, t) = αx +β−α 2x2l+ v(x, t), где v(x, t) задана в (6.17).-7-dx..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов семинаров