Семинар 11 для Ф-5. Метод Фурье для неоднородного уравнения теплопроводности в прямоугольнике (1127969)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

УМФ – семинар – Ф 5 – 11Задачи для уравнения колебаний мембраны.1. № 684 а).Пренебрегая реакцией окружающей среды, определить поперечные колебанияоднородной прямоугольной мембраны, 0 6 x 6 s, 0 6 y 6 p с жёстко закреплённымдля случая, когда начальное отклонение мембраны равно краемπyπxsin s sin p , а начальная скорость равна нулю.Записав эти условия математически, получим задачу:Найти функцию u(x, y; t) из условийutt = a2 (uxx + uyy ) ,(x, y) ∈ Π, t > 0; πysin p ,(x, y) ∈ Π; u(x, y; 0) = ϕ(x, y) ≡ sin πxs(1.1)ut (x, y; 0) = ψ(x, y) ≡ 0,(x, y) ∈ Π;u(0, y; t) = u(s, y; t) = 00 < y < p, 0 < t < T,u(x, 0; t) = u(x, p; t) = 00 < x < s, 0 < t < T,где через Π обозначен прямоугольникΠ = {(x, y) :0 6 x 6 s,0 6 y 6 p} .Шаг 1.

Предварительные рассуждения.Если искать решение задачи (1.1) в виде двойного рядаu(x, y; t) =∞∞ XXXk (x)Yn (y)Tkn (t),(1.2)k=1 n=1то, подставив этот ряд в уравнение utt = a2 (uxx + uyy ), получим, что оно заведомо выполняется, если равны члены рядов в левой и правой частях с одинаковыми номерами:Xk (x)Yn (y)T00kn (t) = a2 · (X00k (x)Yn (y) + Xk (x)Yn00 (y)) Tkn (t).Поделив это равенство на a2 · Xk (x)Yn (y)Tkn (t), получим:T00kn (t)X00k (x) Yn00 (y)=+.a2 Tkn (t)Xk (x) Yn (y)(1.3)Так как слева стоит функция, зависящая только от t, а справа – от (x, y), то это возможнотолько если и левая, и правая части этого равенства равны константе.

Итак, ∃ λkn такая, чтоX00k (x) Yn00 (y)+= λkn .Xk (x) Yn (y)T00kn (t) + a2 λkn Tkn (t) = 0,Но сумма функций, одна из которых зависит только от x, а вторая – только от y, может бытьконстантой только в случае, если обе эти функции – константы. Тогда ∃ µk и νn такие, чтоX00k (x) + µk Xk (x) = 0,Yn00 (y) + νn Yn (x) = 0,µk + νn = λkn .(1.4)Таким образом, естественно начать решение задачи (1.1) с решения двух задач ШтурмаЛиувилля – для Xk (x) и для Yn (y).Шаг 2. Решение двух задач Штурма-ЛиувилляКраевые условия дают для функций Xk (x) и Yn (y) выполнение равенств:X(0) = X(s) = 0,c Д.С.

ТкаченкоY(0) = Y(p) = 0.-1-(1.5)УМФ – семинар – Ф 5 – 11Таким образом, функции Xk (x) и Yn (x) есть решения задачи Штурма-Лиувилля 00 00Xk (x) + µk Xk (x) = 0,Yn (y) + νn Yn (y) = 0,Xk (0) = Xk (s) = 0,Yn (0) = Yn (p) = 0,(1.6)Эти задачи мы уже решали много раз. Выпишем результат:существует бесконечное множество нетривиальных решений 2πkxπk, Xk (x) = sin, k∈Nµk =ssпервой задачи (1.6) и бесконечное множество нетривиальных решенийνn =πnp2,Yn (y) = sinπnypn ∈ N.,второй задачи (1.6).В силу соотношения µk + νn = λkn , для функций Tkn имеем уравнение:T00kn (t)2+ a λkn Tkn (t) = 0,t > 0,λknπ 2 k 2 π 2 n2= 2 + 2 .spИспользуем начльные условия.Разложим функции ϕ(x, y) и ψ(x, y) в ряд по собственным функциям задач Штурма-Лиувилля:ϕ(x, y) =ψ(x, y) =∞∞ XXk=1 n=1∞ X∞XXk (x)Yn (y)ϕkn ,(1.7)Xk (x)Yn (y)ψkn .(1.8)k=1 n=1В данном случае коэффициенты разложения ϕkn и ψkn найти гораздо проще, чем обычно,поскольку ψ ≡ 0, а функция ϕ(x, y) имеет в точности вид ОДНОГО из слагаемых соответствующего ряда.

А именно: πx πyϕ(x, y) ≡ X1 (x)Y1 (y) = sinsin.(1.9)spПоэтомуϕkn =1,0,k = 1, n = 1;в остальных случаях;ψkn = 0 при всех k и n.(1.10)А поскольку начальное условие u(x, y; 0) = ϕ(x, y) будет заведомо выполнено, если Tkn (0) =ϕkn , а второе начальное условие ut (x, y; 0) = ψ(x, y) ≡ 0, – если T0kn (0) = ψkn = 0, то дляфункций Tkn (t) имеем задачу Коши: 00 Tkn (t) + a2 λkn Tkn (t) = 0,π 2 k 2 π 2 n2Tkn (0) = ϕkn ;λkn = 2 + 2(1.11) 0spTkn (0) = 0,Шаг 3. Решаем задачу (1.11).c Д.С.

Ткаченко-2-УМФ – семинар – Ф 5 – 11Общее решение этого линейного однородного уравнения второго порядка, с учётом, что a2 λkn >0, имеет вид:ppTkn (t) = c1 sin( λkn at) + c2 cos( λkn at)где c1 , c2 – произвольные постоянные.Подставив Tkn во второе начальное условие T0kn (0) = 0, получим, что c1 = 0, откудаpTkn (t) = c2 cos( λkn at).Из первого начального условия Tkn (0) = ϕkn сразу получаем, что c2 = ϕkn и, наконец, получаем, что решение задачи Коши (1.11) задаётся формулой:pTkn (t) = ϕkn cos( λkn at),t > 0.(1.12)С учётом, что ϕkn = 0 всегда, за исключением случая k = n = 1, а ϕ11 = 1, из (1.13) получаем√cos( λ11 at),k = 1, n = 1;Tkn (t) =(1.13)0,в остальных случаях.Поэтому после подстановки найденных Tkn (t) в искомый вид решенияu(x, y; t) =∞∞ XXXk (x)Yn (y)Tkn (t),k=1 n=1получим, что от ряда останется только одно слагаемое:u(x, y; t) = X1 (x)Y1 (y)T11 (t).Ответ:u(x, y; t) = sinгде λ11 =π2s2+π2p2 πx ssinπyppcos( λ11 at),.2.

№ 684 в).Пренебрегая реакцией окружающей среды, определить поперечные колебанияоднородной прямоугольной мембраны, 0 6 x 6 s, 0 6 y 6 p с жёстко закреплённым краем для случая, когда колебаниянепрерывно распределённой вызваны2πy−tпо мембране силой с плотностью x sin p · e .Записав эти условия математически, получим задачу:Найти функцию u(x, y; t) из условий 2πyx2u=a(u+u)+sin· e−t ,(x, y) ∈ Π, t > 0;xxyyρp tt u(x, y; 0) = ϕ(x, y) ≡ 0,(x, y) ∈ Π;(2.1)u(x,y;0)=ψ(x,y)≡0,(x, y) ∈ Π;tu(0, y; t) = u(s, y; t) = 00 < y < p, 0 < t < T,u(x, 0; t) = u(x, p; t) = 00 < x < s, 0 < t < T,где ρ – поверхностная плотность массы мембраны, а через Π обозначен прямоугольникΠ = {(x, y) :c Д.С.

Ткаченко0 6 x 6 s,-3-0 6 y 6 p} .УМФ – семинар – Ф 5 – 11Шаг 1. Предварительные рассуждения.Если искать решение задачи (2.1) в виде двойного рядаu(x, y; t) =∞ X∞XXk (x)Yn (y)Tkn (t),(2.2)Xk (x)Yn (y)fkn (t),(2.3)k=1 n=1то, подставив этот ряд и рядf (x, y; t) =∞ X∞Xk=1 n=1в уравнение utt = a2 (uxx + uyy ) + f , получим, что оно заведомо выполняется, если равнычлены рядов в левой и правой частях с одинаковыми номерами:Xk (x)Yn (y)T00kn (t) = a2 · (X00k (x)Yn (y) + Xk (x)Yn00 (y)) Tkn (t) + Xk (x)Yn (y)fkn (t).Поделив это равенство на a2 · Xk (x)Yn (y)Tkn (t), получим:X00k (x) Yn00 (y)fkn (t)T00kn (t)=++ 22a Tkn (t)Xk (x) Yn (y) a Tkn (t)илиT00kn (t) − fkn (t)X00k (x) Yn00 (y)=+.a2 Tkn (t)Xk (x) Yn (y)(2.4)Так как слева стоит функция, зависящая только от t, а справа – от (x, y), то это возможнотолько если и левая, и правая части этого равенства равны константе. Итак, ∃ λkn такая, чтоT00kn (t) + a2 λkn Tkn (t) = fkn (t),X00k (x) Yn00 (y)+= λkn .Xk (x) Yn (y)Но сумма функций, одна из которых зависит только от x, а вторая – только от y, может бытьконстантой только в случае, если обе эти функции – константы.

Тогда ∃ µk и νn такие, чтоX00k (x) + µk Xk (x) = 0,Yn00 (y) + νn Yn (x) = 0,µk + νn = λkn .(2.5)Таким образом, естественно начать решение задачи (2.1) с решения двух задач ШтурмаЛиувилля – для Xk (x) и для Yn (y).Шаг 2. Решение двух задач Штурма-ЛиувилляКраевые условия дают для функций Xk (x) и Yn (y) выполнение равенств:X(0) = X(s) = 0,Y(0) = Y(p) = 0.Таким образом, функции Xk (x) и Yn (x) есть решения задачи Штурма-Лиувилля 00 00Xk (x) + µk Xk (x) = 0,Yn (y) + νn Yn (y) = 0,Xk (0) = Xk (s) = 0,Yn (0) = Yn (p) = 0,Эти задачи мы уже решали много раз. Выпишем результат:существует бесконечное множество нетривиальных решений 2πkπkxµk =, Xk (x) = sin, k∈Nssпервой задачи (2.7) и бесконечное множество нетривиальных решений 2πnπnyνn =, Yn (y) = sin,n ∈ N.ppc Д.С.

Ткаченко-4-(2.6)(2.7)УМФ – семинар – Ф 5 – 11второй задачи (2.7).В силу соотношения µk + νn = λkn , для функций Tkn имеем уравнение:T00kn (t) + a2 λkn Tkn (t) = fkn (t),t > 0,λkn =π 2 k 2 π 2 n2+ 2 .s2pИспользуем начльные условия.Разложим функции f (x, y; t), ϕ(x, y) и ψ(x, y) в ряд по собственным функциям задач ШтурмаЛиувилля:f (x, y; t) =∞ X∞XXk (x)Yn (y)fkn ,(2.8)k=1 n=1ϕ(x, y) =ψ(x, y) =∞ X∞Xk=1 n=1∞ X∞XXk (x)Yn (y)ϕkn ,(2.9)Xk (x)Yn (y)ψkn .(2.10)k=1 n=1В данном случае коэффициенты разложения ϕkn и ψkn найти гораздо проще, чем обычно,поскольку ϕ = ψ ≡ 0, а ряд для f (x, y; t) получается не двойной, а одинарный. А именно:∞πkxY2 (y) · e−t Xαk sin·,f (x, y; t) ≡ρsk=1(2.11)где2αk =sZsx sinπkxs0 x=s Zs 2s(−1)k+1πkx2 s πkx=+cosdx = ·−xcosdxdx.s kπ sskπx=0{z}|0=0Поэтому(fkn (t) =2s(−1)k+1πkρ· e−t ,0,n = 2;n 6= 2;ϕkn = 0,ψkn = 0 при всех k и n.(2.12)А поскольку начальное условие u(x, y; 0) = ϕ(x, y) будет заведомо выполнено, еслиTkn (0) = ϕkn = 0, а второе начальное условие ut (x, y; 0) = ψ(x, y) ≡ 0, – еслиT0kn (0) = ψkn = 0, то для функций Tkn (t) имеем задачу Коши: 00 Tkn (t) + a2 λkn Tkn (t) = fkn (t),π 2 k 2 π 2 n2Tkn (0) = 0;(2.13)λkn = 2 + 2 0spTkn (0) = 0,Шаг 3.

Решаем задачу (2.13).Можно решить эту задачу Коши методом вариации постоянной, как в № 713. Но в данномслучае правая часть уравнения есть ce−t , и частное решение неоднородного уравнения легкоугадывается:fkn (t)Tчно =.1 + a2 λknc Д.С. Ткаченко-5-УМФ – семинар – Ф 5 – 11Поэтому общее решение неоднородного уравненияT00kn (t) + a2 λkn Tkn (t) = fkn (t)имеет видTkn (t) = Tчно + Tоо =ppfkn (t)+csin(λat)+ccos(λkn at).1kn21 + a2 λkn(2.14)fkn (0), а подставив вПодставив в (6.14) условие Коши Tkn (0) = 0, получим, что c2 = − 1+a2λknполученноеppfkn (t)fkn (0)Tkn (t) =+csin(λat)−cos(λkn at)1kn1 + a2 λkn1 + a2 λknf 0 (0)во второе условие Коши T0kn (0) = 0, получим, что c1 = − (1+a2 λknkn )a√λkn , и, наконец,1Tkn (t) =1 + a2 λkn0ppfkn(0)fkn (t) − √sin( λkn at) − fkn (0) cos( λkn at) .a λkn(2.15)Теперь осталось выписать в явном виде все Tkn (t) во всех случаях, использовав вид fkn (t) и2 22 2λkn = πs2k + πpn2 .Tkn (t) =1+a2 π 21k2+ 42s2p·· e−t +2s(−1)k+1·πkρr4k2sin+ats2p2r4k2a2+ 2s− cosqk2s2+4p2at  ,k ∈ N, n = 2;(2.16)pk ∈ N, n 6= 2.0,Поэтому после подстановки найденных Tkn (t) в искомый вид решенияu(x, y; t) =∞∞ XXXk (x)Yn (y)Tkn (t),k=1 n=1получим, что от двойного ряда останется только одинарный:u(x, y; t) = Y2 (y)∞XXk (x)Tk2 (t).k=1Ответ:2su(x, y; t) =· sinπρ2πypX∞k=1sinπkxs1 + a2 π 2· e−t +sin1qaгде ρ – поверхностная плотность массы мембраны.c Д.С.

Ткаченко-6-k2s2+k2s2qk2s24p2(−1)k+1·ks!at2k4− cos+ 2 at  ,2sp·+4p2+4p2УМФ – семинар – Ф 5 – 113. № 685 а).В однородной прямоугольной мембране 0 6 x 6 s, 0 6 y 6 p часть границыx = s, 0 < y < p и y = p, 0 < x < s свободна, а остальная часть закрепленажёстко. Пренебрегая реакцией окружающей среды, найти поперечные колебания мембраны, вызванные начальным отклонением Axy.Записав эти условия математически, получим задачу:Найти функцию u(x, y; t) из условий2(x, y) ∈ Π, t > 0; ut = a (uxx + uyy ) ,(x, y) ∈ Π; u(x, y; 0) = ϕ(x, y) ≡ Axy,ut (x, y; 0) = ψ(x, y) ≡ 0,(x, y) ∈ Π;(3.1)u(0,y;t)=u(s,y;t)=00<y<s,0<t<T,xu(x, 0; t) = uy (x, p; t) = 00 < x < p, 0 < t < T,где через Π обозначен прямоугольникΠ = {(x, y) :0 6 x 6 s,0 6 y 6 p} .Шаг 1.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов семинаров