Семинар 13 для К-5. Интегральное преобразование Фурье для задач УМФ (1127972)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

УМФ – семинар – К 5 – 131. Преобразование Фурье для задач УМФ.№ 815, 819, 821, 817, 818, 820, 816.Опр. 1.1. Пусть f (x) ∈ C(R) и для неё сходится интеграл +∞Z f (x)dx < +∞.−∞Тогда для функции f (x) существует преобразование Фурье:1F (ξ) = fd(x) = √2πZ+∞e−iξx) f (x)dx.(1.1)−∞При этом функцию f (x) можно восстановить по её образу Фурье по следующей формуле:d1f (x) = F (ξ) = √2πZ+∞ei(ξ, x) F (ξ)dξ.(1.2)−∞Пусть f (x) ∈ C[0, +∞), и для неё сходится интегралZ+∞|f (x)| dx < +∞.0Тогда для функции f (x) существует косинус–преобразование Фурье:r2πFc (ξ) =Z+∞cos(ξx)f (x)dx,(1.3)0rf (x) =Z+∞2cos(ξx)Fc (ξ)dξ,πx > 0.(1.4)0При этом для x < 0 правая часть (1.4) сходится к чётному продолжению f (x) на отрицательную полуось.Аналогично, для функции f (x) существует синус–преобразование Фурье:rFs (ξ) =2πZ+∞sin(ξx)f (x)dx,(1.5)0rf (x) =2πZ+∞sin(ξx)Fs (ξ)dξ,x > 0.(1.6)0При этом для x < 0 правая часть (1.6) сходится к нечётному продолжению f (x) на отрицательную полуось.Очевидно следующее утверждение:c Д.С.

Ткаченко-1-УМФ – семинар – К 5 – 13Утверждение 1.1.Утв. 1. Если f (x) – чётная функция, тоrF (ξ) = Fc (ξ),f (x) =2πZ+∞cos(ξx)Fc (ξ)dξ,x > 0;0Утв. 2. Если f (x) – нечётная функция, тоrF (ξ) = −i Fs (ξ),f (x) = −i2πZ+∞sin(ξx) Fs (ξ)dξ,x > 0;0Утверждение 1.2 (Свойства преобразования Фурье).Усл.F (ξ) – образ Фурье функции f (x) при ИПФ (1.1).Утв.Верны формулы:0 (x) = iξF (ξ),1o f[(n) (x) = iξ n F (ξ);f\2o f[∗ g = F (ξ) · G(ξ), гдеZ+∞Z+∞f (x − t)g(t)dt − свёртка функций f (x) и g(x).f ∗g =f (t)g(x − t)dt =−∞−∞Кроме этих общих формул нам потребуется также важная формула:Утверждение 1.3.√Z+∞π − 4pq22−p2 u2eecos(qu)du =2p(1.7)0Доказательство. Пусть I(p, q) =+∞Re−p2 u2cos(qu)du – искомый интеграл.

Рассмотрим0∂I=−∂q"Z+∞222 2ue−p u sin(qu)du = по частям: ue−p u =2 2∂e−p u1·−2p2∂u∂I:∂q#=01=−−2p2u=∞ −p2 u2· esin(qu)−qu=0|{z}Z+∞2 u2e−pqcos(qu)du ≡ − 2p2 I.0=0Таким образом, для I, как функции переменной q, получаем однородное линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами (уравнение Эйлера):∂Iq+I = 0.∂q2p2c Д.С. Ткаченко-2-УМФ – семинар – К 5 – 13Его общее решение имеет вид:−Ioo (p, q) = c(p)eq24p2.Чтобы найти "константу" c(p), положим в этом равенстве q = 0 и возьмём интеграл I(p, 0):Z+∞hi 1 Z+∞ 222c(p) = I(p, 0) =e−p u · 1 · du = t = pu =e−t dt.p00√Последний интеграл – интеграл Эйлера – Пуассона, и он равен√πc(p) =2pи окончательно получаем:π,2откуда√I(p, q) =π − 4pq22e.2pПрежде чем перейти к рассмотрению примеров, сформулируем ПРАВИЛО:Если задача рассматривается при• x ∈ (−∞, +∞),то надо использовать ИПФ по формулам (1.1)-(1.2);• x ∈ (0, +∞) с краевым условием I-го рода,лам (1.5)-(1.6);то надо использовать sin-ИПФ по форму-• x ∈ (0, +∞) с краевым условием II-го рода,мулам (1.3)-(1.4).то надо использовать cos-ИПФ по фор-2.

№ 815.Пользуясь интегральным преобразованием Фурье, решить задачу:utt − a2 uxx = 0,u(x, 0) = ϕ(x),ut (x, 0) = ψ(x),x ∈ (−∞, +∞), t > 0,x ∈ (−∞, +∞),x ∈ (−∞, +∞).(2.1)(2.2)(2.3)Шаг 1. Применение ИПФ.Поскольку задача рассматривается на всей прямой x ∈ (−∞, +∞), в соответствии с правилом, применяем полное ИПФ (1.1) по пространственной переменной x к равенству (2.1).ПустьZ1\U (ξ; t) = u(x; t) = √e−iξx u(x; t)dx,2πRТогда результатом действия ИПФ на (2.1) будет равенство:Utt (ξ; t) + a2 ξ 2 U (ξ; t) = 0,ξ ∈ (−∞, +∞), t > 0.(2.4)Шаг 2.

Решение ОДУ (2.4).Общее решение однородного линейного уравнения (2.4) имеет вид:U (ξ; t) = c1 (ξ) eiaξt + c2 (ξ)e−iaξt ,c Д.С. Ткаченко-3-ξ ∈ (−∞, +∞).(2.5)УМФ – семинар – К 5 – 13Шаг 3. Обратное преобразование Фурье.Применим к (2.5) обратное преобразование Фурье (1.2). Получим1u(x; t) = √2πZeiξx U (ξ; t)dξ =R1=√2πZc1 (ξ) eiξ(x+at) + c2 (ξ) eiξ(x−at) dξ = A(x − at) + B(x + at),Rгде A и B – некоторые, пока неизвестные функции, которые мы найдём из требований начальных условий.Шаг 4. Использование начальных условий.В силу начальных условий (2.2) – (2.3), получаем: u(x, 0) = A(x) + B(x) = ϕ(x, y),00=⇒ B(x) − A(x) = ut (x, 0) = a (B (x) − A (x)) = ψ(x, y),Rx1ψ(s)ds,2A(x)=ϕ(x,y)−a0Rx1 2B(x) = ϕ(x, y) + a ψ(s)ds,1axR=⇒ψ(s)ds + c ,0=⇒0ϕ(x − at) + ϕ(x + at)1u(x, t) = A(x − at) + B(x + at) =−22ax−atZ1ψ(s)ds +2a0Ответ:u(x, t) =ϕ(x−at)+ϕ(x+at)2+12ax+atRx+atZψ(s)ds.0ψ(s)ds.x−at3.

№ 819.Пользуясь интегральным преобразованием Фурье, решить задачу:ut − a2 uxx = 0,u(x, 0) = 0,u(0, t) = µ(t),x > 0, t > 0,x > 0,t > 0.(3.1)(3.2)(3.3)Шаг 1. Применение sin −ИПФ.Поскольку задача рассматривается на полупрямой x ∈ (0, +∞), а заданное краевое условие – I-го рода, то в соответствии с правилом, применяем sin −ИПФ (1.5) по пространственнойпеременной x к равенству (3.1).Пустьr Z+∞2U (ξ; t) =sin(ξx)u(x; t)dx,π0c Д.С. Ткаченко-4-УМФ – семинар – К 5 – 13Тогда:r2πZ+∞rsin(ξx)uxx (x; t)dx =0x=+∞2  sin(ξx)ux (x; t)−ξπ x=0|{z}Z+∞cos(ξx)ux (x, t)dx=0=0r= −ξ ·x=+∞Z+∞2 cos(ξx)u(x; t)+ξsin(ξx)u(x, t)dx =πx=00rhi2= u(0, t) = µ(t) = ξ ·· µ(t) − ξ 2 U (ξ, t) (3.4)πи задача (3.1) – (3.3) преобразуется в задачу Коши для ОДУ:(qUt (ξ, t) + a2 ξ 2 U (ξ, t) = a2 · π2 · ξ · µ(t);U (ξ, 0) = 0.(3.5)Шаг 2.

Решение задачи Коши (3.5).Общее решение однородного линейного уравнения, соответствующего (3.5), имеет вид:2 ξ2 tUоо = c(ξ)e−a.По МЕТОДУ ВАРИАЦИИ ПОСТОЯННОЙ, общее решение неоднородного линейного уравнения ищется в виде2 2Uоно = c(ξ, t)e−a ξ t .(3.6)Подставляя (3.6) в ОДУ задачи (3.5), получимr22 22· ξ · µ(t) · ea ξ t ,ct = a ·πr2c(ξ, t) = a ·Zt2·ξπ2 ξ2 τµ(τ ) · ea=⇒dτ + c1 (ξ).0Итак,−a2 ξ 2 tUоно = c1 (ξ)er+ a2 ·2·ξπZt2 ξ 2 (t−τ )µ(τ ) · e−adτ.0Осталось применить начальное условие:U (ξ, 0) = c1 (ξ) + 0 = 0,r2U =a ·2·ξπ=⇒Zt2 ξ 2 (t−τ )µ(τ ) · e−a0Шаг 3.

Обратное преобразование Фурье.c Д.С. Ткаченкоc1 (ξ) = 0,-5-dτ.=⇒(3.7)УМФ – семинар – К 5 – 13Применим к (3.7) обратное синус-преобразование Фурье (1.6). ПолучимZ+∞Z+∞Zt22 2u(x; t) =sin(ξx) U (ξ; t)dξ = a2 ·ξ sin(ξx)dξ µ(τ )e−a ξ (t−τ ) dτ =π00 0 2 −a2 ξ2 (t−τ )2a ξe=ξ=+∞ZtZ+∞1µ(τ ) −a2 ξ 2 (t−τ ) −a2 ξ 2 (t−τ )=· sin(ξx)e−xcos(ξx)edξ  dτ ==−∂ −a2 ξ2 (t−τ )πt−τ eξ=000|{z}= − ∂ξ t−τr2π=0q = x,√= по формуле (1.7), приp=a t−τx=πZt r2µ(τ )π1− 2x4a(t−τ)dτ =··et−τ2a t − τ0x= √2a πZtx√2a πu(x, t) =Rt0µ(τ )3(t−τ ) 2−·ex24a2 (t−τ )−30Ответ:µ(τ )(t − τ ) 2·ex24a2 (t−τ )dτ.dτ .4. № 821.Пользуясь интегральным преобразованием Фурье, решить задачу:ut − a2 uxx = f (x, t),u(x, 0) = 0,u(0, t) = 0,x > 0, t > 0,x > 0,t > 0.(4.1)(4.2)(4.3)Шаг 1.

Применение sin −ИПФ.Поскольку задача рассматривается на полупрямой x ∈ (0, +∞), а заданное краевое условие – I-го рода, то в соответствии с правилом, применяем sin −ИПФ (1.5) по пространственнойпеременной x к равенству (4.1).ПустьrU (ξ; t) =2πZ+∞sin(ξx)u(x; t)dx,rF (ξ, t) =2π0Z+∞sin(ξx)f (x; t)dx0Тогда, по формуле (3.4) при µ(t) ≡ 0:r2πZ+∞sin(ξx)uxx (x; t)dx = −ξ 2 U (ξ, t)0и задача (4.1) – (4.3) преобразуется в задачу Коши для ОДУ:Ut (ξ, t) + a2 ξ 2 U (ξ, t) = F (ξ, t);U (ξ, 0) = 0.(4.4)Шаг 2.

Решение задачи Коши (4.4).Общее решение однородного линейного уравнения, соответствующего (4.4), имеет вид:2 ξ2 tUоо = c(ξ)e−ac Д.С. Ткаченко-6-.УМФ – семинар – К 5 – 13По МЕТОДУ ВАРИАЦИИ ПОСТОЯННОЙ, общее решение неоднородного линейного уравнения ищется в виде2 2Uоно = c(ξ, t)e−a ξ t .(4.5)Подставляя (4.5) в ОДУ задачи (4.4), получим2 ξ2 tct = F (ξ, t) · eaZtc(ξ, t) =,=⇒2 ξ2 τF (ξ, τ ) · eadτ + c1 (ξ).0Итак,Uоно = c1 (ξ)e−a2 ξ 2 tZt+2 ξ 2 (t−τ )F (ξ, τ ) · e−adτ.0Осталось применить начальное условие:U (ξ, 0) = c1 (ξ) + 0 = 0,ZtUоно ==⇒c1 (ξ) = 0,2 ξ 2 (t−τ )F (ξ, τ ) · e−a=⇒dτ.(4.6)0Шаг 3.

Обратное преобразование Фурье.Применим к (4.6) обратное синус-преобразование Фурье (1.6). Получимru(x; t) =2πZ+∞Z+∞Z t Z+∞22 2sin(ξx) U (ξ; t)dξ =sin(ξx)sin(ξs)f (s, τ )ds · e−a ξ (t−τ ) dτ dξ =π000{z}|0=F (ξ, τ )i1= sin α sin β =cos(α − β) − cos(α + β) =2 +∞t+∞ZZ+∞ZZ12 22 2=cos ξ(x + s) e−a ξ (t−τ ) dξ  =dτf (s, τ )ds  cos ξ(x − s) e−a ξ (t−τ ) dξ −π0000q = x√± s,= по формуле (1.7), при=p=a t−τ +∞√ ZtZZ+∞22(x−s)(x+s)πdτ− f (s, τ )e− 4a2 (t−τ ) ds −√=f (s, τ )e 4a2 (t−τ ) ds .2πat−τh0Ответ:u(x, t) =1√2a πRt0√dτt−τ0 +∞R−f (s, τ )e0(x−s)24a2 (t−τ )0ds −+∞R−f (s, τ )e(x+s)24a2 (t−τ )ds .05.

№ 817.Пользуясь интегральным преобразованием Фурье, решить задачу:ut − a2 uxx = 0,u(x, 0) = ϕ(x, y),c Д.С. Ткаченкоx ∈ (−∞, +∞), t > 0,x ∈ (−∞, +∞),-7-(5.1)(5.2)УМФ – семинар – К 5 – 13Шаг 1. Применение ИПФ.Поскольку задача рассматривается на всей прямой x ∈ (−∞, +∞), в соответствии с правилом, применяем полное ИПФ (1.1) по пространственной переменной x к равенству (5.1).ПустьZ1\e−iξx u(x; t)dx,U (ξ; t) = u(x; t) = √2πRZ[ = √1Φ(ξ) = ϕ(x)e−iξx ϕ(x)dx.2πRТогда результатом действия ИПФ на (5.1) – (5.2) будет задача:Ut (ξ; t) + a2 ξ 2 U (ξ; t) = 0,U (ξ; 0) = Φ(ξ),ξ ∈ (−∞, +∞), t > 0.ξ ∈ (−∞, +∞).(5.3)(5.4)Шаг 2.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов семинаров