Семинар 13 для К-5. Интегральное преобразование Фурье для задач УМФ (1127972), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Решение задачи Коши (5.3) – (5.4).Общее решение однородного линейного уравнения (5.3) имеет вид:2 ξ2 tU (ξ; t) = c(ξ) e−a,ξ ∈ (−∞, +∞).А в силу начального условия (5.4) имеем:c(ξ) = Φ(ξ),2 ξ2 tU (ξ, t) = Φ(ξ) e−a=⇒ξ ∈ (−∞, +∞).,(5.5)Шаг 3. Обратное преобразование Фурье.Применим к (5.5) обратное преобразование Фурье (1.2). ПолучимZ+∞Z+∞12 2eiξx U (ξ; t)dξ = √Φ(ξ)eiξx · e−a ξ t dξ =2π−∞−∞ +∞Z+∞Z112 2ϕ(s)  eiξ(x−s) · e|−a{zξ }t dξ  ds ==√ ·√2π2πчётная−∞−∞Z+∞Z+∞ −a2 ξ2 t2q=x−s,√=ϕ(s)  cos ξ(x − s) · edξ  ds = по формуле (1.7), при=p=a t2π1u(x; t) = √2π−∞01=π√Z+∞(x−s)2πϕ(s) · √ · e− 4a2 t ds.2a t−∞Ответ:u(x, t) =1√2a πt+∞Rϕ(s)e−(x−s)24a2 tds.−∞6. № 818.Пользуясь интегральным преобразованием Фурье решить задачу:ut − a2 uxx = f (x, t),u(x, 0) = 0,x ∈ (−∞, +∞), t > 0,x ∈ (−∞, +∞),Шаг 1.

Применение ИПФ.c Д.С. Ткаченко-8-(6.1)(6.2)УМФ – семинар – К 5 – 13Поскольку задача рассматривается на всей прямой x ∈ (−∞, +∞), в соответствии с правилом, применяем полное ИПФ (1.1) по пространственной переменной x к равенству (6.1).ПустьZ1\U (ξ; t) = u(x; t) = √e−iξx u(x; t)dx,2πRZ1e−iξx f (x, t)dx.F (ξ, t) = f\(x, t) = √2πRТогда результатом действия ИПФ на (6.1) – (6.2) будет задача:Ut (ξ; t) + a2 ξ 2 U (ξ; t) = F (ξ, t),U (ξ; 0) = 0,ξ ∈ (−∞, +∞), t > 0.ξ ∈ (−∞, +∞).(6.3)(6.4)Шаг 2.

Решение задачи Коши (6.3) – (6.4).Данный шаг полностью повторяет Шаг 2. № 821.Общее решение однородного линейного уравнения (6.3) имеет вид:2 ξ2 tU (ξ; t) = c(ξ) e−aξ ∈ (−∞, +∞).,По МЕТОДУ ВАРИАЦИИ ПОСТОЯННОЙ, общее решение неоднородного линейного уравнения ищется в виде2 2Uоно = c(ξ, t)e−a ξ t .(6.5)Подставляя (6.5) в уравнение (6.3), получим2 ξ2 tct = F (ξ, t) · eaZtc(ξ, t) =,=⇒2 ξ2 τF (ξ, τ ) · eadτ + c1 (ξ).0Итак,−a2 ξ 2 tUоно = c1 (ξ)eZt+2 ξ 2 (t−τ )F (ξ, τ ) · e−adτ.0Осталось применить начальное условие:U (ξ, 0) = c1 (ξ) + 0 = 0,ZtUоно ==⇒2 ξ 2 (t−τ )F (ξ, τ ) · e−a0Шаг 3. Обратное преобразование Фурье.c Д.С.

Ткаченкоc1 (ξ) = 0,-9-dτ.=⇒(6.6)УМФ – семинар – К 5 – 13Применим к (6.6) обратное преобразование Фурье (1.2). Получим1u(x; t) = √2πZ+∞Z+∞Z t Z+∞112 2iξxiξxe U (ξ; t)dξ = √ · √ee−iξs f (s, τ )ds · e−a ξ (t−τ ) dτ dξ =2π2π−∞−∞0 −∞|{z}=F (ξ, τ )12π=ZtZ+∞dτ22πf (s, τ )ds−∞0=Zt−∞Z+∞dτ0Z+∞2 2ξ (t−τ )eiξ(x−s) e|−a {z} dξ =чётная по ξZ+∞2 2cos ξ(x − s) e−a ξ (t−τ ) dξ =f (s, τ )ds−∞0q = x√− s,= по формуле (1.7), приp=a t−τ√ ZtZ+∞(x−s)21πdτ− 24a(t−τ ) ds.√f (s, τ )e= ·π 2at−τ0Ответ:u(x, t) =1√2a πRt0√dτt−τ+∞Rf (s, τ )e−(x−s)24a2 (t−τ )−∞ds.−∞Замечание 6.1.

Объединив результаты № 817, 818, мы получим формулу Пуассона (формулурешения задачи Коши для уравнения теплопроводности на прямой для случая одной пространственной переменной). Мы уже пользовались этой формулой, решая № 581 и далее всеминарском занятии 5 (semT5, формула (1.3)):2Z+∞Z t Z+∞ − 4a(x−ξ)2 (t−τ )(x−ξ)2epe− 4a2 t · ϕ(ξ)dξ +· f (ξ, τ )dξdτ.u(x, t) =2a πt2a π(t − τ )1√−∞(6.7)0 −∞7. № 820.Пользуясь интегральным преобразованием Фурье решить задачу:ut − a2 uxx = 0,u(x, 0) = 0,ux (0, t) = ν(t),x > 0, t > 0,x > 0,t > 0.(7.1)(7.2)(7.3)Шаг 1. Применение cos −ИПФ.Поскольку задача рассматривается на полупрямой x ∈ (0, +∞), а заданное краевое условие – II-го рода, то в соответствии с правилом, применяем cos −ИПФ (1.3) по пространственнойпеременной x к равенству (7.1).Пустьr Z+∞2U (ξ; t) =cos(ξx)u(x; t)dx,π0c Д.С.

Ткаченко-10-УМФ – семинар – К 5 – 13Тогда:r x=+∞Z+∞Z+∞22 +ξsin(ξx)ux (x, t)dx =cos(ξx)uxx (x; t)dx =cos(ξx)ux (x; t)ππx=000r+∞Zhix=+∞2  == ux (0, t) = ν(t) =cos(ξx)u(x,t)dx−ν(t)+ξsin(ξx)u(x;t)−ξπ x=0|{z}0=0r2=−· ν(t) − ξ 2 U (ξ, t) (7.4)πrи задача (7.1) – (7.3) преобразуется в задачу Коши для ОДУ:(qUt (ξ, t) + a2 ξ 2 U (ξ, t) = −a2 · π2 · ν(t);U (ξ, 0) = 0.(7.5)Шаг 2. Решение задачи Коши (7.5).Общее решение однородного линейного уравнения, соответствующего (7.5), имеет вид:2 ξ2 tUоо = c(ξ)e−a.По МЕТОДУ ВАРИАЦИИ ПОСТОЯННОЙ, общее решение неоднородного линейного уравнения ищется в виде2 2Uоно = c(ξ, t)e−a ξ t .(7.6)Подставляя (7.6) в ОДУ задачи (7.5), получимr22 22· ν(t) · ea ξ t ,ct = −a ·πr2c(ξ, t) = −a ·2πZt=⇒2 ξ2 τν(τ ) · eadτ + c1 (ξ).0Итак,−a2 ξ 2 tUоно = c1 (ξ)er− a2 ·2πZt2 ξ 2 (t−τ )ν(τ ) · e−adτ.0Осталось применить начальное условие:U (ξ, 0) = c1 (ξ) + 0 = 0,r2Uоно = −a ·=⇒2πZt2 ξ 2 (t−τ )ν(τ ) · e−a0Шаг 3.

Обратное преобразование Фурье.c Д.С. Ткаченкоc1 (ξ) = 0,-11-dτ.=⇒(7.7)УМФ – семинар – К 5 – 13Применим к (7.7) обратное косинус-преобразование Фурье (1.4). Получимru(x; t) =2πZ+∞Z+∞Zt2 22 2cos(ξx) U (ξ; t)dξ = −a ·cos(ξx)dξ ν(τ )e−a ξ (t−τ ) dτ =π00=−2a2πZt0Z+∞2 2ν(τ )dτcos(ξx)e−a ξ (t−τ ) dξ =00q = x,√= по формуле (1.7), приp=a t−τ2a2=−πZt1ν(τ ) ·2ar2π− 2x4a(t−τ)dτ =·et−τ0a=− √πZtx2ν(τ )−√· e 4a2 (t−τ ) dτ.t−τ0Ответ:u(x, t) = −√aπRt0ν(τ )√t−τ·e−x24a2 (t−τ )dτ .8. № 816.Пользуясь интегральным преобразованием Фурье решить задачу:utt − a2 uxx = f (x, t),u(x, 0) = 0,ut (x, 0) = 0,x ∈ (−∞, +∞), t > 0,x ∈ (−∞, +∞),x ∈ (−∞, +∞).(8.1)(8.2)(8.3)Шаг 1.

Применение ИПФ.Поскольку задача рассматривается на всей прямой x ∈ (−∞, +∞), в соответствии с правилом, применяем полное ИПФ (1.1) по пространственной переменной x к равенству (8.1).ПустьZZ11−iξx\t) = √U (ξ; t) = u(x;eu(x; t)dx,F (ξ, t) = f\(x, t) = √e−iξx f (x, t)dx.2π2πRRТогда результатом действия ИПФ на (8.1) – (8.3) будет задача:Utt (ξ; t) + a2 ξ 2 U (ξ; t) = F (ξ, t),U (ξ; 0) = 0,Ut (ξ; 0) = 0,ξ ∈ (−∞, +∞), t > 0.ξ ∈ (−∞, +∞),ξ ∈ (−∞, +∞),(8.4)(8.5)(8.6)Шаг 2. Решение задачи Коши (8.4) – (8.6).Общее решение однородного линейного уравнения, соответствующего уравнению (8.4),имеет вид:Uoo (ξ; t) = c1 (ξ) sin(aξt) + c2 (ξ) cos(aξt),ξ ∈ (−∞, +∞).(8.7)В соответствии с МЕТОДОМ ВАРИАЦИИ ПОСТОЯННЫХ, будем искать решение (8.4) ввидеUoHo (ξ; t) = c1 (ξ, t) sin(aξt) + c2 (ξ, t) cos(aξt),ξ ∈ (−∞, +∞).(8.8)c Д.С. Ткаченко-12-УМФ – семинар – К 5 – 13Для нахождения функций c1,2 (ξ, t) имеем систему: sin(aξt)aξ cos(aξt) c1 t =1aξ c2 t = −cos(aξt)  c1 t   0   =   −aξ sin(aξt)c2 tF (ξ, t) c1 =· F (ξ, t) cos(aξt)=⇒1aξ c2 = −· F (ξ, t) sin(aξt).Rt1aξ=⇒F (ξ, τ ) cos(aξτ )dτ + c3 (ξ)01aξRtF (ξ, τ ) sin(aξτ )dτ + c4 (ξ).0Подставим найденные c1,2 в (8.8) и получим: tZZt1 UoHo (ξ; t) =F (ξ, τ ) cos(aξτ )dτ · sin(aξt) − F (ξ, τ ) sin(aξτ )dτ · cos(aξt) +aξ00+ c3 (ξ) sin(aξt) + c4 (ξ) cos(aξt) ==1aξZtF (ξ, τ ) sin aξ(t − τ ) dτ + c3 (ξ) sin(aξt) + c4 (ξ) cos(aξt).

(8.9)0Подставим найденную функцию U в первое начальное условие (8.5):U (ξ; 0) = c4 (ξ) = 0,откуда U (ξ; t) =1aξRtF (ξ, τ ) sin aξ(t − τ ) dτ + c3 (ξ) sin(aξt) и011Ut (ξ; t) =F (ξ, t) sin aξ(t − t) +aξaξZtF (ξ, τ ) cos aξ(t − τ ) dτ + aξ · c3 (ξ) cos(aξt).0Тогда второе начальное условие (8.6) даст намUt (ξ; 0) = aξ · c3 (ξ) = 0.Итак, c3 (ξ) = c4 (ξ) = 0 и:1U (ξ; t) =aξZtF (ξ, τ ) sin aξ(t − τ ) dτ.(8.10)0Шаг 3. Обратное преобразование Фурье.Применим к (8.10) обратное преобразование Фурье (1.2).

Получим1u(x; t) = √2πZ+∞Z+∞Z t iξxesinaξ(t−τ)1eiξx U (ξ; t)dξ = √F (ξ, τ )dτ dξ =ξa 2π−∞−∞ 0x+αZiξxiαξ−iαξiξxiξ(x+α)iξ(x−α)ee −ee sin (αξ)e−e1====eiξη dη  =ξ2iξ2iξ2x−αc Д.С. Ткаченко-13-УМФ – семинар – К 5 – 13=1√2a 2πZ+∞Z teiξη dη  F (ξ, τ )dτ dξ =−∞ 0x+a(t−τZ )x−a(t−τ )1=2aZtx+a(t−τZ )0 x−a(t−τ )Z+∞Z t x+a(t−τZ )11√eiξη F (ξ, τ )dξ dηdτ =f (η, τ )dηdτ.2a2π−∞0 x−a(t−τ )|{z}=f (η, τ )Ответ:u(x, t) =12aRtx+a(t−τR )f (η, τ )dηdτ .0 x−a(t−τ )Замечание 8.1.

Объединив результаты № 815, 816, мы получим формулу Даламбера (формулурешения задачи Коши для уравнения колебаний на прямой для случая одной пространственной переменной). Мы уже пользовались этой формулой, решая задачи семинарского занятия3 (semT3, формула (2.2)):1ϕ(x − at) + ϕ(x + at)+u(x, t) =2a2ax+atZ1ψ(s)ds +2ax−atc Д.С. Ткаченко-14-Ztx+a(t−τZ )f (s, τ )dsdτ.0 x−a(t−τ )(8.11).

Характеристики

Список файлов семинаров