Семинар 10 для Ф-5. Метод Фурье для неоднородного уравнения теплопроводности в прямоугольнике (1127966)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

УМФ – семинар – Ф 5 – 10Задачи для неоднородного уравнения теплопроводности впрямоугольнике.1. № 713.Найти функцию u(x, y; t) из условийut = a2 (uxx + uyy ) + f (x, y; t),u(x, y; 0) = 0, u(0, y; t) = ux (p, y; t) = 0u(x, 0; t) = u(x, s; t) = 0(x, y) ∈ Π, t > 0;(x, y) ∈ Π;0 < y < s, 0 < t < T,0 < x < p, 0 < t < T,(1.1)где через Π обозначен прямоугольникΠ = {(x, y) :0 6 x 6 p,0 6 y 6 s} .Шаг 1. Предварительные рассуждения.Если искать решение задачи (1.1) в виде двойного рядаu(x, y; t) =∞ X∞XXk (x)Yn (y)Tkn (t),(1.2)Xk (x)Yn (y)fkn (t),(1.3)k=1 n=1то, подставив этот ряд и рядf (x, y; t) =∞ X∞Xk=1 n=1в уравнение ut = a2 (uxx + uyy )+f , получим, что оно заведомо выполняется, если равны членырядов в левой и правой частях с одинаковыми номерами:Xk (x)Yn (y)T0kn (t) = a2 · (X00k (x)Yn (y) + Xk (x)Yn00 (y)) Tkn (t) + Xk (x)Yn (y)fkn (t).Поделив это равенство на a2 · Xk (x)Yn (y)Tkn (t), получим:X00k (x) Yn00 (y)fkn (t)T0kn (t)=++ 22a Tkn (t)Xk (x) Yn (y) a Tkn (t)илиT0kn (t) − fkn (t)X00k (x) Yn00 (y)=+.a2 Tkn (t)Xk (x) Yn (y)(1.4)Так как слева стоит функция, зависящая только от t, а справа – от (x, y), то это возможнотолько если и левая, и правая части этого равенства равны константе.

Итак, ∃ λkn такая, чтоT0kn (t) + a2 λkn Tkn (t) = fkn (t),X00k (x) Yn00 (y)+= λkn .Xk (x) Yn (y)Но сумма функций, одна из которых зависит только от x, а вторая – только от y, может бытьконстантой только в случае, если обе эти функции – константы. Тогда ∃ µk и νn такие, чтоX00k (x) + µk Xk (x) = 0,Yn00 (y) + νn Yn (x) = 0,µk + νn = λkn .(1.5)Таким образом, естественно начать решение задачи (1.1) с решения двух задач ШтурмаЛиувилля – для Xk (x) и для Yn (y).c Д.С. Ткаченко-1-УМФ – семинар – Ф 5 – 10Шаг 2. Решение двух задач Штурма-ЛиувилляКраевые условия дают для функций Xk (x) и Yn (y) выполнение равенств:X(0) = X0 (p) = 0,Y(0) = Y(s) = 0.Таким образом, функции Xk (x) и Yn (x) есть решения задачи Штурма-Лиувилля 00 00Xk (x) + µk Xk (x) = 0,Yn (y) + νn Yn (y) = 0,Xk (0) = X0k (p) = 0,Yn (0) = Yn (s) = 0,(1.6)(1.7)Общее решение уравнения X00 (x) + µX(x) = 0 имеет вид√√X(x) = c1 sin( µ x) + c2 cos( µ x)√−µ xпри µ > 0;√− −µ x+ c2 eX(x) = c1 eX(x) = c1 x + c2при µ < 0;при µ = 0;(1.8)(1.9)(1.10)√• При µ > 0 имеем из краевого условия X(0) = 0, что c2 = 0, ⇒ X(x) = c1 sin( µ x) ⇒√√X 0 (x) = c1 µ cos( µx).

Поэтому из второго краевого условия X 0 (p) = 0 получаем,√что µ p = π − 12 + k откуда имеем бесконечное множество собственных чисел задачиШтурма–Лиувилля:2π(2k − 1),k ∈ N.(1.11)µk =2pИм соответствует бесконечное множество собственных функций:π(2k − 1)xXk (x) = sin,k ∈ N.2p(1.12)• При µ < 0 задача Штурма–Лиувилля не имеет нетривиальных решений.• При µ = 0 имеем из краевого условия X(0) = 0, что c2 = 0, ⇒ X(x) = c1 x ⇒X 0 (x) = c1 ).

Поэтому из второго краевого условия X 0 (p) = 0 получаем, что c1 = 0, т.е.задача Штурма–Лиувилля не имеет собственного числа, равного нулю.Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений2π(2k − 1)π(2k − 1)xµk =, Xk (x) = sin, k∈N2p2pзадачиX00k (x) + µk Xk (x) = 0,Xk (0) = X0k (p) = 0.Задачи, подобные задаче для Yn (y), рассматривались уже не раз (№ 687 из файла Sem7, №705 из semS1 и др.). Поэтому запишем результат:существет бесконечное множество нетривиальных решенийνn =π 2 n2,s2Yn (y) = sin πny s,n ∈ N.В силу соотношения µk + νn = λkn , для функций Tkn имеем уравнение:T0kn (t) + a2 λkn Tkn (t) = fkn (t),c Д.С. Ткаченкоt > 0,-2-λkn =π 2 (2k − 1)2 π 2 n2+ 2 .(2p)2sУМФ – семинар – Ф 5 – 10А поскольку начальное условие u(x, y; 0) = 0 будет заведомо выполнено, если Tkn (0) = 0, тодля функций Tkn (t) имеем задачу Коши:(222 2t > 0,λkn = π (2k−1)T0kn (t) + a2 λkn Tkn (t) = fkn (t),+ π s2n ;2(2p)(1.13)Tkn (0) = 0.Шаг 3.

Решаем задачу (1.13).Решение этого линейного неоднородного уравнения первого порядка получим методом вариации постоянной.Сначала решим соответствующее однородное уравнение:T0o (t) + a2 λkn To (t) = 0Его решение имеет вид:To (t) = ce− a2λkn tt > 0,где c – произвольная постоянная.Далее будем искать общее решение неоднородного уравненияT0kn (t) + a2 λkn Tkn (t) = fkn (t)в видеTkn (t) = c(t)e− a2λkn tt > 0.(1.14)Подставив (1.14) в уравнение, получим, что неизвестная функция c(t) должна удовлетворятьтребованию2c0 (t)e− a λkn t = fkn (t),откудаZtc(t) = Tkn (0) +fkn (τ )ea2λkn τdτ.0Итак, наконец, решение задачи Коши (1.13) задаётся формулой:ZtTkn (t) =fkn (τ )e−a2λkn (t−τ )dτt > 0.(1.15)0Нам ещё надо найти, по какой формуле вычислять коэффициенты fkn (t) разложения функции f (x, y; t) по собственным функциямизадачШтурма-Лиувилля.

Получим эту формулу. Дляsin πmyи проинтегрируем по Π. Учитывая ортогональэтого, как обычно, домножим (1.3) на sin π(2l−1)x2psность собственных функций задач Штурма-Лиувилля, получим:Zpf, Xl · Ym = flm (t)2sinπ(2l − 1)x2pZs0dxsin2 πmy sdy =0flm (t)=4Zp 1 − cosπ(2l − 1)xp0Zs 1 − cosdx2πmys0Отсюда,4fkn (t) =psZp Zsf (x, y; t) sin0c Д.С. Ткаченко0-3-π(2l − 1)x2psin πmy sdy.dy = flm (t) ·ps.4УМФ – семинар – Ф 5 – 10Всё, что нам осталось сделать, – это подставить в формулу (1.2) функции Xk (x) = sinYn (y) = sin πnyи только что найденные функции Tkn (t) из (1.15).sОтвет: tZ∞∞XXπny π(2k − 1)x2sinfkn (τ )e−a λkn (t−τ ) dτ  ,u(x, y; t) =sin2psk=1 n=1π(2k−1)x2p0где λkn =π 2 (2k−1)2(2p)2+π 2 n2,s2а fkn (t) находятся по формуле4fkn (t) =psZp Zsf (x, y; t) sin0π(2l − 1)x2psin πmy sdy.02.

№ 714.Найти функцию u(x, y; t) из условий 3πx2(u+u)+Asinu=acosxxyyt2pcos 3πyu(x, y; 0) = B sin πx,2p2s u(0, y; t) = ux (p, y; t) = 0uy (x, 0; t) = u(x, s; t) = 0πy2s(x, y) ∈ Π,,t > 0;(x, y) ∈ Π;0 < y < s, 0 < t < T,0 < x < p, 0 < t < T,(2.1)где через Π обозначен прямоугольникΠ = {(x, y) :0 6 x 6 p,0 6 y 6 s} .Шаг 1. Предварительные рассуждения.Если искать решение задачи (2.1) в виде двойного рядаu(x, y; t) =∞∞ XXXk (x)Yn (y)Tkn (t),(2.2)k=1 n=1то, подставив этот ряд и рядf (x, y; t) ≡ A sin3πx2pcos πy 2s=∞ X∞XXk (x)Yn (y)fkn ,(2.3)k=1 n=1в уравнение ut = a2 (uxx + uyy )+f , получим, что оно заведомо выполняется, если равны членырядов в левой и правой частях с одинаковыми номерами:Xk (x)Yn (y)T0kn (t) = a2 · (X00k (x)Yn (y) + Xk (x)Yn00 (y)) Tkn (t) + Xk (x)Yn (y)fkn .Поделив это равенство на a2 · Xk (x)Yn (y)Tkn (t), получим:T0kn (t)X00k (x) Yn00 (y)fkn=++a2 Tkn (t)Xk (x) Yn (y) a2 Tkn (t)илиc Д.С.

ТкаченкоT0kn (t) − fknX00k (x) Yn00 (y)=+.a2 Tkn (t)Xk (x) Yn (y)-4-(2.4),УМФ – семинар – Ф 5 – 10Так как слева стоит функция, зависящая только от t, а справа – от (x, y), то это возможнотолько если и левая, и правая части этого равенства равны константе. Итак, ∃ λkn такая, чтоX00k (x) Yn00 (y)+= λkn .Xk (x) Yn (y)T0kn (t) + a2 λkn Tkn (t) = fkn ,Но сумма функций, одна из которых зависит только от x, а вторая – только от y, может бытьконстантой только в случае, если обе эти функции – константы.

Тогда ∃ µk и νn такие, чтоX00k (x) + µk Xk (x) = 0,Yn00 (y) + νn Yn (x) = 0,µk + νn = λkn .(2.5)Таким образом, естественно начать решение задачи (2.1) с решения двух задач ШтурмаЛиувилля – для Xk (x) и для Yn (y).Шаг 2. Решение двух задач Штурма-ЛиувилляКраевые условия дают для функций Xk (x) и Yn (y) выполнение равенств:X(0) = X0 (p) = 0,Y0 (0) = Y(s) = 0.Таким образом, функции Xk (x) и Yn (x) есть решения задачи Штурма-Лиувилля 00 00Xk (x) + µk Xk (x) = 0,Yn (y) + νn Yn (y) = 0,Xk (0) = X0k (p) = 0,Yn0 (0) = Yn (s) = 0,(2.6)(2.7)Задачу для Xk (x) мы уже решили в № 713, стр. 2. Выпишем результат:существует бесконечное множество нетривиальных решений2π(2k − 1)π(2k − 1)xµk =, Xk (x) = sin, k∈N2p2pпервой задачи из (2.7).Задача для Yn (y) была решена на Шаге 2 в № 712(б).

У неё такжесуществует бесконечное множество нетривиальных решений2π(2n − 1)π(2n − 1)yνn =, Yn (y) = cos, n∈N2s2sвторой задачи из (2.7)В силу соотношения µk + νn = λkn , для функций Tkn имеем уравнение:T0kn (t) + a2 λkn Tkn (t) = fkn ,Пусть функция ϕ(x, y) ≡ B sint > 0,πx2pϕ(x, y) =cos3πy2s∞ X∞Xλkn =π 2 (2k − 1)2 π 2 (2n − 1)2+.(2p)2(2s)2(2.8)начального условия разлагается в рядXk (x)Yn (y)ϕkn .(2.9)k=1 n=1В данном случае коэффициенты разложения ϕkn и fkn найти гораздо проще, чем обычно, поскольку функции ϕ(x, y) и f (x, y; t) имеют в точности вид ОДНОГО из слагаемыхсоответствующего ряда.

А именно: πx3πyϕ(x, y) ≡ BX1 (x)Y2 (y) = B sincos.(2.10)2p2sc Д.С. Ткаченко-5-УМФ – семинар – Ф 5 – 10f (x, y; t) ≡ AX2 (x)Y1 (y) = A sin3πx2pcos πy 2s.(2.11)Поэтомуϕkn =B,0,k = 1, n = 2;в остальных случаях;fkn =A,0,k = 2, n = 1;в остальных случаях.(2.12)Поскольку начальное условиеu(x, y; 0) = ϕ(x, y)будет заведомо выполнено, если Tkn (0) = ϕkn , то для функций Tkn (t) имеем задачу Коши: 02 2π(2n − 1)π(2k − 1)t > 0;Tkn (t) + a2 λkn Tkn (t) = fkn ,λkn =+(2.13)Tkn (0) = ϕkn .2p2sШаг 3. Решаем задачу (2.13).Можно решить эту задачу Коши методом вариации постоянной, как в № 713 (стр.3). Но вданном случае правые части есть константы, и частное решение неоднородного уравнениялегко угадывается:fkn.Tчно = 2a λknПоэтому общее решение неоднородного уравненияT0kn (t) + a2 λkn Tkn (t) = fknимеет видTkn (t) = Tчно + Tоо =fkn2+ ce− a λkn t .2a λkn(2.14)Подставив в (2.14) условие Коши Tkn (0) = ϕkn , получим, что c = ϕkn −Tkn (t) =fkn 2− a2 λkn t·1−e+ ϕkn e− a λkn t ,2a λknfkna2 λknиt > 0.Теперь осталось выписать в явном виде все Tkn (t) во всех случаях.− a2 λ12 tk = 1, n = 2; Be ,2λ tA−a21Tkn (t) =· 1−e,k = 2, n = 1;a2 λ210,в остальных случаяхt > 0.(2.15)(2.16)Шаг 4.

Подготовка к ответу.Всё, что нам осталось сделать, – это подставить в формулу (2.2) функции Xk (x) = sin π(2k−1)x,2pYn (y) = cos π(2n−1)yи учесть, что только что найденные функции Tkn (t) из (2.16) равны2sнулю при всех k и n, кроме случаев k = 1, n = 2 и k = 2, n = 1. Поэтому двойной рядu(x, y; t) =∞ X∞XXk (x)Yn (y)Tkn (t)k=1 n=1превратится в сумму всего двух слагаемых:u(x, y; t) = X1 (x)Y2 (y)T12 (t) + X2 (x)Y1 (y)T21 (t),c Д.С. Ткаченко-6-УМФ – семинар – Ф 5 – 10то естьu(x, y; t) = B sinπx2pcosНаконец, с учётом, что λkn =λ12 =3πy2s− a2 λ12 t·eπ 2 (2k−1)2(2p)2+A+ 2sina λ21π 2 (2n−1)2,(2s)2π29π 2π 2 (s2 + 9p2 )+=,4p24s24p2 s23πx2pcos πy 2· 1 − e− a λ21 t .2sполучаемλ21 =9π 2π2π 2 (9s2 + p2 )+=.4p2 4s24p2 s2Ответ:u(x, y; t) = B sinгдеλ12 =π24p2+9π 24s2πx2p=cos3πy2sπ 2 (s2 +9p2 ),4p2 s2− a2 λ12 t·eλ21 =A+ 2sina λ219π 24p2+π24s2=3πx2p πy − a2 λ21 tcos· 1−e,2sπ 2 (9s2 +p2 ).4p2 s23.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов семинаров