sem6 (1127949), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Будем искать решение уравнения utt = a2 uxx с краевыми условиямиux (0, t) = ux (l, t) + hu(l, t) = 0 в видеU (x, t) = X(x)T (t).Сразу заметим, что краевые условия означают для функции X(x) следующее:X 0 (0) = X 0 (l) + hX(l) = 0.(2.44)Подставим U (x, t) в уравнение, получим:X(x)T 0 (t) = a2 X”(x)T (t)Предположив, что X(x)T (t) 6= 0, поделим это равенство на a2 X(x)T (t) 6= 0:X”(x)T 0 (t)= 2= −λ.X(x)a T (t)Отсюда для функции X(x) имеем задачуX”(x) + λX(x) = 0,X (0) = X 0 (l) + hX(l) = 0,0(2.45)(2.46)а для функции T (t) – уравнение:T 0 (t) + λa2 T (t) = 0,t > 0.(2.47)Задача (2.45)–(2.46) есть задача Штурма–Лиувилля. Общее решение уравнения (2.45)имеет вид√√X(x) = c1 sin( λ x) + c2 cos( λ x)при λ > 0;(2.48)√X(x) = c1 e −λ x + c2 e−X(x) = c1 x + c2• При λ > 0 имеем√−λ xпри λ < 0;при λ = 0;√√√√X 0 (x) = c1 λ cos( λ x) − c2 λ sin( λ x)(2.49)(2.50)√И из краевогоусловияX 0 (0) = 0 следует, что c1 = 0, ⇒ X(x) = c2 cos( λ x) ⇒√√0X 0 (x) = −c2 λ sin(√ λ x).√ Поэтому из√второго краевого условия X (l) + hX(l) = 0получаем, что − λ sin( λ l) + h cos( λ l) = 0, откуда (очевидно, косинус не может быть равен нулю, т.к.

тогда синус равнялся бы (±1), и равенство не было бывыполнено)√√λ tg( λ l) = h(2.51)-15-УМФ – семинар – Метод ФурьеЭто уравнение, как легко увидеть из графика, имеет бесконечно много решений λn ,n ∈ N. Сами эти решения явным образом выписать нельзя, но любое может бытьнайдено со сколь угодно большой точностью численно.

Мы их искать не будем, удовлетворившись знанием, что они есть, и их можно найти.Таким образом, существует бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма–Лиувилля:ppλn tg( λn l) = h,n ∈ N.(2.52)λn > 0 − решения уравненияИм соответствует бесконечное множество собственных функций:pXn (x) = cosλn x ,n ∈ N.(2.53)• При λ < 0 задача Штурма–Лиувилля никогда не имеет нетривиальных решений.• При λ = 0 имеем из краевого условия X 0 (0) = 0, что c1 = 0, ⇒ X(x) = c2 ⇒X 0 (x) = 0), и второе краевое условие X 0 (l) + hX(l) = 0 даёт требование c2 = 0,т.е. данная задача Штурма–Лиувилля при λ = 0 также не имеет нетривиальныхрешений.Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решенийpλn x ,λn − решения уравнения (2.51),Xn (x) = cosn∈Nзадачи (2.45), (2.46).

Стало быть, рассматривать задачу (2.47) имеет смысл только приλ = λn , и мы получаем семейство задач:Tn0 (t) + λn a2 Tn (t) = 0,t > 0.(2.54)Общее решение этого линейного однородного уравнения второго порядка имеет вид:Tn (t) = An e−√λn t,t > 0,(2.55)где An – произвольные постоянные.Шаг 2. Решаем задачу (2.43).Будем искать решение задачи (2.43) в виде u(x, t) =∞PXn (x)Tn (t), т.е.n=1u(x, t) =∞Xcospλn x · An e−√λn t.(2.56)n=1Из условий задачи мы ещё не использовали только начальное условиеu(x, 0) = ϕ(x). Для функции u(x, t) искомого вида они означают:ϕ(x) = u(x, 0) =∞XXn (x)Tn (0) =n=1∞XAn Xn (x),(2.57)n=1Пусть функция ϕ(x), входящая в начальное условие, разлагается в рядϕ(x) =∞Xαn Xn (x),n=1-16-(2.58)УМФ – семинар – Метод ФурьеВыясним, какимидолжны быть коэффициенты αn ≡ An . Для этого домножим (2.58) на√Xm = cos λm x скалярно в смысле L2 [0, l] и учтём, что система собственных функций задачи Штурма–Лиувилля всегда является ортогональной в смысле этого скалярногопроизведения:Zl(ϕ, Xm ) = αm2cospαmλm x dx =2Zl p1 + cos 2 λm x dx =00αm=2! px=l1αml+ √sin 2 λm x =22 λmx=0откуда, пользуясь тождествами cos2 α =1,1+tg2 α!√sin 2 λm l√l+.2 λmsin 2α = 2 sin α cos α, получаем: h√√√ippsin 2 λm lsin λm l cos λm lh√√l+==l+tg( λm l) =λm =h2 λmtg( λm l)√√2hiλm l1 − cos2λm lsin1=l+= cos2 α ===l+hh1 + tg2 α1 − 1+tg2 1√λ lmhp1 − λmλ+hh2 i2( m)2=l+λm l == tg=l+=hλmhh2l (λm + h2 ) + h=l+=.h (λm + h2 )λm + h2В итоге для коэффициентов αn ≡ An получаем равенство:λn + h2λn + h2(ϕ,X)=2An = αn = 2nl (λn + h2 ) + hl (λn + h2 ) + hZlϕ(x) cospλn l dx.(2.59)0Всё, что нам осталось сделать, – это подставить в формулу (2.56) найденные коэффициенты An из (2.59).

∞ √Rl√√Pλn +h2Ответ: u(x, t) =2 l(λn +h2 )+h ϕ(x) cos λn l dx cos λn x e− λn t .n=130Метод Фурье для неоднородного параболического уравнения с однородными краевыми условиями второгорода.Рассмотрим неоднородную начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности соднородными краевыми условиями второго рода.ut − a2 uxx = f (x, t),ux (0, t) = ux (l, t) = 0,u(x, 0) = ϕ(x),x ∈ (0, l), t > 0,t > 0,x ∈ [0, l].(3.1)(3.2)(3.3)Шаг 1. Решение задачи Штурма–Лиувилля.Рассмотрим задачуX”(x) + λX(x) = 0,X 0 (0) = X 0 (l) = 0.-17-(3.4)(3.5)УМФ – семинар – Метод ФурьеЗадача (3.4)–(3.5) есть задача Штурма–Лиувилля. Общее решение уравнения (3.4) имеетвид√√X(x) = c1 sin( λ x) + c2 cos( λ x)при λ > 0;(3.6)√X(x) = c1 e −λ x + c2 e−X(x) = c1 x + c2√−λ xпри λ < 0;при λ = 0;(3.7)(3.8)0• При λ√> 0 имеем из краевого√условияX(x) =√ X (0) = 0, что c1 = 0, ⇒0c2 cos( λ x) ⇒ X (x)√= −c2 λ sin( λ x).

Поэтому из второго краевого условияX 0 (l) = 0 получаем, что λ l = πk откуда имеем бесконечное множество собственныхчисел задачи Штурма–Лиувилля: πn 2λn =,n ∈ N.(3.9)lИм соответствует бесконечное множество собственных функций: πnx 2Xn (x) = cos,n ∈ N.ll(3.10)(множитель 2l появляется, чтобы система этих функций превратилась из ортогональной в ортонормированную)0• При λ√ < 0 имеем из краевогоX(x) =√ условия√ X (0) = 0, что c1 = c2 , ⇒02c1 ch −λ x ⇒ X (x) = 2c1 −λ sh( −λ x). Поэтому из второго краевого условияX 0 (l) = 0 получаем, что c1 = 0, т.е. задача Штурма–Лиувилля не имеет отрицательных собственных чисел.• При λ = 0 имеем из краевого условия X 0 (0) = 0, что c1 = 0, ⇒ X(x) = c2 .

Второекраевое условие X 0 (l) = 0 выполнено, поэтому задача Штурма–Лиувилля (3.4)–(3.5)имеет собственное число, равное нулю: λ0 = 0. Ему соответствует собственная функиця X0 (x) ≡ 1l .Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений πn 2 πnx λ0 = 0, X0 (x) ≡ 1; λn =, Xn (x) = cos,lln∈Nзадачи (3.4)–(3.5).Шаг 2. Будем искать решение уравнения ut − a2 uxx = f (x, t) с краевыми условиями ux (0, t) = ux (l, t) = 0 в виде∞Pu(x, t) =Xn Tn (t), где функции Xn (x) имееют вид:n=01X0 (x) ≡ ,lXn (x) = πnx 2cos.ll(3.11)Заметим сразу, что каждое слагаемое приведённого ряда удовлетворяет краевым условиям(3.2), что достаточно (если ряд допускает почленный переход к пределу при x → 0 +0, x → l = −0) для того, чтобы функция u(x, t), определённая таким образом, такжеудовлетворяла краевым условиям (3.2).Пусть функция f (x, t) разложена при каждом t ∈ [0, T ] в ряд Фурье по косинусам∞ πnx f0 (t) Xf (x, t) =+cosfn (t).2ln=1-18-(3.12)УМФ – семинар – Метод ФурьеПри этом, в силу утверждения 8.1 (лекция 8),2fn (t) = (f, Xn ) =lZlf (x, t) cos πnx ldx.(3.13)0Тогда уравнение 3.1 приобретает вид∞Xn=0∞ πnx f0 (t) X+fn (t) cos.Xn (x)Tn0 (t) − a2 X”n (x)Tn (t) =2ln=1Для его выполнения достаточно, чтобы1 0f0 (t)T0 (t) =l2 πnx Xn (x)Tn0 (t) − a2 X”n (x)Tn (t) = fn (t) coslдля n = 0для n ∈ N,то естьf0 (t)·lT00 (t) =2 πnx πnx (πna)20Tn (t) +T(t)cos=f(t)cosnnl2llдля n = 0для n ∈ N.Это заведомо выполнено, еслиf0 (t)·l2(πna)2Tn0 (t) +Tn (t) = fn (t)l2T00 (t) =для n = 0(3.14)для n ∈ N,(3.15)Итак мы получили условия на функции Tn (t), достаточные для того, чтобы функция∞Pбыла (если ряд – "хороший") решением уравнения ut − a2 uxx =u(x, t) =Tn (t) cos πnxln=0f (x, t) с краевыми условиями ux (0, t) = ux (l, t) = 0.Шаг 3.

Решаем задачу (3.1) – (3.3).Из условий задачи (3.1) – (3.3) мы ещё не использовали только начальные условияu(x, 0) = ϕ(x). Пусть функция ϕ(x), входящая в начальное условие, разлагается в ряд покосинусам∞ϕ(x) = πnx ϕ0 X,+ϕn cos2ln=12ϕn =lZlϕ(x) cosx ∈ [0, l] πnx ldx.где(3.16)(3.17)0Подставим функцию u(x, t) =∞PTn (t) cosn=0πnxl(опять-таки в предположении, что ряд –"хороший") в начальное условие:∞Xn=0Tn (0) cos πnx l∞ πnx ϕ0 X=+ϕn cos.2ln=1-19-УМФ – семинар – Метод ФурьеДля выполнения этого равенства достаточно, чтобыϕ02Tn (0) = ϕnT0 (0) =для n = 0для n ∈ N.Таким образом, для функций Tn (t) имеем задачу Коши: T00 (t) = f02(t) · lT0 (0) = ϕ202 Tn0 (t) + (πna)Tn (t) = fn (t)l2для n = 0(3.18)для n ∈ N.(3.19)Tn (0) = ϕnЭти задачи Коши имеют единственное решение при любых fn ∈ C[0, T ] и любых значенияхϕn ∈ R.Всё, что нам осталось сделать, – это подставить решения задач (3.18), (3.19) в формулу∞P.u(x, t) =Tn (t) cos πnxln=0-20-.

Характеристики

Список файлов семинаров