sem6 (1127949), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Общее решение уравнения (1.47)имеет вид√√X(x) = c1 sin( λ x) + c2 cos( λ x)при λ > 0;(1.50)√X(x) = c1 e −λ x + c2 e−X(x) = c1 x + c2• При λ > 0 имеем√−λ xпри λ < 0;при λ = 0;(1.51)(1.52)√√√√X 0 (x) = c1 λ cos( λ x) − c2 λ sin( λ x)√И из краевогоусловияX 0 (0) = 0 следует, что c1 = 0, ⇒ X(x) = c2 cos( λ x) ⇒√√X 0 (x) =√−c2 λ sin( λ x). Поэтому из второго краевого условия X 0 (l) = 0 получаем, что λ l = πn откуда имеем бесконечное множество собственных чисел задачиШтурма–Лиувилля:π 2 n2n ∈ N.(1.53)λn = 2 ,lИм соответствует бесконечное множество собственных функций: πnx Xn (x) = cos,n ∈ N.(1.54)l• При λ < 0 имеем√√√√X 0 (x) = c1 −λe −λ x − c2 −λe− −λ x√И из краевогоусловияX 0 (0) = 0 следует, что c1 = c2 , ⇒ X(x) = 2c1 ch −λ x ⇒√√X 0 (x) = 2c1 −λ sh( −λ x).

Поэтому из второго краевого условия X 0 (l) = 0 получаем, что c1 = 0, т.е. задача Штурма–Лиувилля не имеет отрицательных собственныхчисел• При λ = 0 имеем из краевого условия X 0 (0) = 0, что c1 = 0, ⇒ X(x) = c2 ⇒X 0 (x) = 0), и второе краевое условие X 0 (l) = 0 выполняется автоматически, т.е.данная задача Штурма–Лиувилля имеет собственное число, равное нулю и соответствующую ему собственную функцию:λ0 = 0,X0 (x) = 1.(1.55)Заметим, что эта пара (собственное число–собственная функция) может быть записана в том же виде, что и λn в (1.53) и Xn и(1.54) при n = 0:2 2λ0 = π l20 = 0,X0 = cos π0x= 1.lИтак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решенийπ 2 n2λn = 2 ,lXn (x) = cos πnx l-7-,n ∈ {0, 1, 2, . .

.}.УМФ – семинар – Метод Фурьезадачи (1.47), (1.48). Стало быть, рассматривать задачу (1.49) имеет смысл только приλ = λn , и мы получаем семейство задач:T ”n (t) + λn a2 Tn (t) = 0,t > 0.(1.56)При n = 0 это уравнение вырождается вT ”0 (t) = 0,t > 0.Его решение:T0 = A0 + B0 t,(1.57)где A0 , B0 – произвольные постоянные.При n > 0 решение этого линейного однородного уравнения второго порядка имеет вид: πna πna t + Bn sint ,t > 0,(1.58)Tn (t) = An cosllгде An , Bn – произвольные постоянные.Шаг 2.

Решаем задачу (1.45).Будем искать решение задачи (1.45) в виде u(x, t) =∞PXn (x)Tn (t), т.е.n=0u(x, t) = A0 + B0 t +∞X πnx cosln=1 πna πna An cost + Bn sint .ll(1.59)Из условий задачи мы ещё не использовали только начальные условияu(x, 0) = ϕ(x), ut (x, 0) = ψ(x). Для функции u(x, t) искомого вида они означают:ϕ(x) = u(x, 0) =∞XXn (x)Tn (0) = A0 +n=0ψ(x) = ut (x, 0) =∞X∞XAn Xn (x),(1.60)n=1Xn (x)Tn0 (0) = B0 +n=0∞Xπnan=1lBn Xn (x).(1.61)Пусть функции ϕ(x) и ψ(x), входящие в начальные условия, разлагаются в ряд Фурье покосинусам:∞ϕ(x) =∞α0 Xπnx+αn cos,2ln=1ψ(x) =β0 Xπnx+βn cos,2ln=1(1.62)где коэффициенты αn , βn имеют вид:2αn =lZlϕ(x) cos πnx l2βn =ldx,0Zlψ(x) cos πnx ldx.0(Конечно, эти формулы для вычисления αn , βn мы могли получить тем же способом, чтои формулы (1.37), (1.38), но мы воспользовались знанием стадартных формул для рядаФурье).Таким образом, для коэффициентов An , Bn из представления (1.59) решения u(x, t),имеем:2An = αn =lZlϕ(x) cos πnx ldx n > 0,0α02A0 ==2lZlϕ(x)dx n = 0;0-8-(1.63)УМФ – семинар – Метод Фурье2llβn=Bn =πnaπnaZlψ(x) cos πnx ldx n > 0,0β02B0 ==2lZlψ(x)dx n = 0.

(1.64)0Всё, что нам осталось сделать, – это подставить в формулу (1.59) найденные коэффициенты An , Bn из (1.63), (1.64).-9-УМФ – семинар – Метод Фурье2Метод Фурье для однородного параболического уравнения с однородными краевыми условиями.№ 688.Найти решение u(x, t) уравнения ut = a2 uxx ,u(0, t) = ux (l, t) = 0,u(x, 0) = ϕ(x)(2.1)Шаг 1.

Будем искать решение уравнения ut = a2 uxx с краевыми условиямиu(0, t) = ux (l, t) = 0 в видеU (x, t) = X(x)T (t).Сразу заметим, что краевые условия означают для функции X(x) следующее:X(0) = X 0 (l) = 0.(2.2)Подставим U (x, t) в уравнение, получим:X(x)T 0 (t) = a2 X”(x)T (t)Предположив, что X(x)T (t) 6= 0, поделим это равенство на a2 X(x)T (t) 6= 0:−X”(x)T 0 (t)=− 2= λ.X(x)a T (t)Отсюда для функции X(x) имеем задачуX”(x) + λX(x) = 0,X(0) = X 0 (l) = 0,(2.3)(2.4)а для функции T (t) – уравнение:T 0 (t) + λa2 T (t) = 0,t > 0.(2.5)Задача (2.3)–(2.4) есть задача Штурма–Лиувилля. Общее решение уравнения (2.3) имеет вид√√при λ > 0;(2.6)X(x) = c1 sin( λ x) + c2 cos( λ x)√X(x) = c1 e −λ x + c2 e−X(x) = c1 x + c2√−λ xпри λ < 0;при λ = 0;(2.7)(2.8)• При λ√ > 0 имеем из краевогоX(x) =√ условия√ X(0) = 0, что c2 = 0, ⇒0c1 sin( λ x) ⇒ X (x)√= c1 λ cos( λ x).

Поэтому из второго краевого условияX 0 (l) = 0 получаем, что λ l = π 21 + k откуда имеем бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма–Лиувилля:2π(2n − 1),n ∈ N.(2.9)λn =2lИм соответствует бесконечное множество собственных функций:π(2n − 1)Xn (x) = sinx ,n ∈ N.2l-10-(2.10)УМФ – семинар – Метод Фурье• При λ√ < 0 имеем из краевогоX(x) =√ X(0) = 0, что c1 = −c2 , ⇒√ условия2c1 sh −λ x ⇒ X 0 (x) = 2c1 −λ ch( −λ x). Поэтому из второго краевого условияX 0 (l) = 0 получаем, что c1 = 0, т.е.

задача Штурма–Лиувилля не имеет отрицательных собственных чисел• При λ = 0 имеем из краевого условия X(0) = 0, что c2 = 0, ⇒ X(x) = c1 x ⇒X 0 (x) = c1 ). Поэтому из второго краевого условия X 0 (l) = 0 получаем, что c1 = 0,т.е. задача Штурма–Лиувилля не имеет собственного числа, равного нулю.2, Xn (x) =Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений λn = π(2n−1)2lsin π(2n−1)x , n ∈ N задачи (2.3), (2.4). Стало быть, рассматривать задачу (1.25) имеет2lсмысл только при λ = λn , и мы получаем семейство задач:Tn0 (t) + λn a2 Tn (t) = 0,t > 0.(2.11)Решение этого линейного однородного уравнения первого порядка имеет вид:−Tn (t) = An e(π(2n−1)a)2t(2l)2(2.12)где An – произвольные постоянные.Шаг 2. Решаем задачу (2.1).Будем искать решение задачи (2.1) в виде u(x, t) =∞PXn (x)Tn (t), т.е.n=1u(x, t) =∞Xsinn=1(π(2n−1)a)2π(2n − 1)−t(2l)2x An e.2l(2.13)Из условий задачи мы ещё не использовали только начальные условияu(x, 0) = ϕ(x).

Для функции u(x, t) искомого вида они означают:ϕ(x) = u(x, 0) =∞XXn (x)Tn (0) =n=1∞XAn Xn (x),(2.14)n=1(2.15)Пусть функция ϕ(x), входящая в начальное условие, разлагается в рядϕ(x) =∞Xαn Xn (x),(2.16)n=1Выясним, какими должны быть коэффициенты αn . Для этого домножим (2.16) на Xm =sin π − 21 + m x скалярно в смысле L2 [0, l]:Zl(ϕ, Xm ) = αmsin02Zl π(2n − 1)π(2n − 1)αmx dx =1 − cosxdx =2l22l0αm=2Zldx =0-11-lαm,2УМФ – семинар – Метод Фурьеоткуда22αn = (ϕ, Xn ) =llZlϕ(x) sinπ(2n − 1)x dx.2l(2.17)0Таким образом, для коэффициентов An из представления (2.14) решения u(x, t), имеем:2An = αn =lZlϕ(x) sinπ(2n − 1)x dx.2l(2.18)0Всё, что нам осталось сделать, – это подставить в формулу (2.14) найденные коэффициенты An из (2.18).№ 687M .Найти решение u(x, t) начально-краевой задачи ut = a2 uxx ,u(x, 0) = ϕ(x),u(0, t) = u(l, t) = 0.(2.19)Шаг 1.

Будем искать решение уравнения ut = a2 uxx с краевыми условиямиu(0, t) = u(l, t) = 0 в видеU (x, t) = X(x)T (t).Сразу заметим, что краевые условия означают для функции X(x) следующее:X(0) = X(l) = 0.(2.20)Подставим U (x, t) в уравнение, получим:X(x)T 0 (t) = a2 X”(x)T (t)Предположив, что X(x)T (t) 6= 0, поделим это равенство на a2 X(x)T (t) 6= 0:−T 0 (t)X”(x)=− 2= λ.X(x)a T (t)Отсюда для функции X(x) имеем задачуX”(x) + λX(x) = 0,X(0) = X(l) = 0,(2.21)(2.22)а для функции T (t) – уравнение:T 0 (t) + λa2 T (t) = 0,t > 0.(2.23)Задача (2.21)–(2.22) есть задача Штурма–Лиувилля (мы уже изучали её в № 643).Общее решение уравнения (2.21) имеет вид√√X(x) = c1 sin( λ x) + c2 cos( λ x)при λ > 0;(2.24)√X(x) = c1 e −λ x + c2 e−X(x) = c1 x + c2√-12-−λ xпри λ < 0;при λ = 0;(2.25)(2.26)УМФ – семинар – Метод Фурье• При λ > 0 существует бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма–Лиувилля:π 2 n2λn = 2 ,n ∈ N.(2.27)lИм соответствует бесконечное множество собственных функций: πnx ,n ∈ N.(2.28)Xn (x) = sinl• При λ < 0 задача Штурма–Лиувилля не имеет нетривиальных решений.• При λ = 0 данная задача Штурма–Лиувилля не имеет нетривиальных решений.Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений πnx π 2 n2, n∈Nλn = 2 , Xn (x) = sinllзадачи (2.21), (2.22).

Стало быть, рассматривать задачу (2.23) имеет смысл только приλ = λn , и мы получаем семейство задач:Tn0 (t) + λn a2 Tn (t) = 0,t > 0.(2.29)Решение этого линейного однородного уравнения второго порядка имеет вид:π 2 n2 a2tl2Tn (t) = An e−t > 0,(2.30)где An – произвольные постоянные.Шаг 2. Решаем задачу (2.19).∞PБудем искать решение задачи (2.19) в виде u(x, t) =Xn (x)Tn (t), т.е.n=1u(x, t) =∞Xsin πnx ln=1An e−π 2 n2 a2tl2.(2.31)Из условий задачи мы ещё не использовали только начальное условиеu(x, 0) = ϕ(x). Для функции u(x, t) искомого вида они означают:ϕ(x) = u(x, 0) =∞XXn (x)Tn (0) =n=1∞XAn Xn (x),(2.32)n=1Пусть функция ϕ(x), входящая в начальное условие, разлагается в ряд Фурье по синусам:ϕ(x) =∞Xbn sin πnx n=12bn =lZlϕ(x) sinl,где πnx ldx.(2.33)(2.34)0(2.35)Сопоставляя (2.32) и (2.33), (2.34) для коэффициентов An ≡ bn получим:2An ≡ b n =lZlϕ(x) sin0-13- πnx ldx.(2.36)УМФ – семинар – Метод ФурьеВсё, что нам осталось сделать, – это подставить в формулу (2.31) найденные коэффициенты An из (2.36).№ 687.Найти решение u(x, t) начально-краевой задачи ut = a2 uxx ,u(x, 0) = Ax,u(0, t) = u(l, t) = 0.(2.37)Шаг 1.

Будем искать решение уравнения ut = a2 uxx с краевыми условиямиu(0, t) = u(l, t) = 0 в видеU (x, t) = X(x)T (t).Мы уже несколько раз решали эту задачу, в частности в № 687M . У неё есть бесконечноемножество нетривиальных решений πnx π 2 n2, n∈Nλn = 2 , Xn (x) = sinllПоэтому для функций Tn (t) у нас получается семейство задач:Tn0 (t) + λn a2 Tn (t) = 0,t > 0.(2.38)Решение этого линейного однородного уравнения второго порядка имеет вид:Tn (t) = An e−π 2 n2 a2tl2t > 0,(2.39)где An – произвольные постоянные.Шаг 2. Решаем задачу (2.37).Будем искать решение задачи (2.37) в виде u(x, t) =∞PXn (x)Tn (t), т.е.n=1u(x, t) =∞Xsinn=1 πnx lAn e−π 2 n2 a2tl2.(2.40)Из условий задачи мы ещё не использовали только начальное условиеu(x, 0) = ϕ(x). Но в данном случае функция ϕ(x) нам задана:ϕ(x) = Ax.Поэтому воспользуемся формулами, полученными в № 687M .2An ≡ b n =lZlϕ(x) sin πnx ldx,где(2.41)02bn =lZlϕ(x) sin πnx ldx.(2.42)0Найдём коэффициенты An ≡ bn :An =2lAx sin0lZ2l πnx x=lπnxdx = −Ax cos− cosdx  =πnll x=0l0! πnx x=l2l2Al(−1)n+1= −A(l(−1)n − 0) −sin=.πnπnl x=0πnZl πnx l-14-УМФ – семинар – Метод ФурьеТаким образом,2Al(−1)n+1.πnПодставляем найденные коэффициенты An в формулу (2.40):An =∞u(x, t) = πnx π2 n2 a22Al X (−1)n+1sine− l2 t .π n=1nl№ 691.Найти решение u(x, t) уравнения ut = a2 uxx ,u(x, 0) = ϕ(x),ux (0, t) = ux (l, t) + hu(l, t) = 0,(2.43)h > 0.Шаг 1.

Характеристики

Список файлов семинаров