Семинар 14 для К-5. Многомерное преобразование Фурье для задач УМФ (1127974), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ткаченко-8-УМФ – семинар – К 5 – 14Z+∞ Z+∞Z+∞Z+∞ −a2 ξ2 t −a2 η2 t1= 2ϕ(z, s)dsdzcos (x−z)ξ edξ·cos (y−s)η −cos (y+s)η edη =π−∞ 000ih√= по формуле (1.9) с p = a t и q = x − z, либо q = y − s, либо q = y + s =1= 2πZ+∞ Z+∞2(y−s)2(y+s)2π − (x−z)−−222e 4a t − e 4a t dsdz =ϕ(z, s) 2 e 4a t4a t−∞ 01=4πa2 tZ+∞ Z+∞(x−z)2 +(y−s)2(x−z)2 +(y+s)2−−224a t4a tdsdz.ϕ(z, s) e−e−∞ 0Ответ:u(x, t) =14πa2 t+∞R +∞Rϕ(z, s)−e(x−z)2 +(y−s)24a2 t−e−(x−z)2 +(y+s)24a2 tdsdz.−∞ 05. № 825.Пользуясь интегральным преобразованием Фурье решить задачу:ut − a2 (uxx + uyy ) = 0,u(x, 0; t) = µ(x; t),u(x, y; 0) = 0,x ∈ (−∞, +∞), y > 0, t > 0,x ∈ (−∞, +∞), t ∈ (0, +∞).x ∈ (−∞, +∞), y ∈ (0, +∞).(5.1)(5.2)(5.3)Шаг 1. Применение sin-ИПФ.Поскольку задача рассматривается на полуплоскости x ∈ R, y > 0, а краевое условиепервого рода, в соответствии с правилом, применяем sin-ИПФ (1.7) – по пространственнымпеременным (x, y) к равенствам (5.1) – (5.3).ПустьZ+∞ Z+∞1U (ξ, η; t) =e−i(ξx) sin(ηy)u(x, y; t)dydx.π−∞ 0При действии sin-ИПФ на ut получим, очевидно, Ut , а при действии на uxx , как при обычном ИПФ, получим −ξ 2 U .
Воспользуемся формулой (1.11) (стр. 2):1πZ+∞ Z+∞Z+∞ηe−i(ξx) sin(ηy)uyy (x, y; t)dydx =e−i(ξx) u(x, 0; t) dx − η 2 U (ξ, η; t). (5.4)π−∞ 0−∞C учётом, что в данном примере u(x, 0; t) = µ(x; t), окончательно получаем:1πZ+∞ Z+∞Z+∞ηe−i(ξx) sin(ηy)uyy (x, y; t)dydx =e−i(ξx) µ(x; t) dx − η 2 U (ξ, η; t) ≡π−∞ 0−∞r2≡ηµb − η 2 U (ξ, η; t).πИтак, результатом действия sin-ИПФ на (5.1) – (5.3) будет задача:r2Ut (ξ, η; t) + a2 ξ 2 + η 2 U (ξ, η; t) = a2ηµb,ξ ∈ R, η > 0, t > 0,πU (ξ, η; 0) = 0,ξ ∈ R, η > 0.c Д.С.
Ткаченко-9-(5.5)(5.6)УМФ – семинар – К 5 – 14Шаг 2. Решение задачи Коши (5.5) – (5.6) для ОДУ.Общее решение однородного линейного уравнения (5.5) имеет вид:222Uoo (ξ, η; t) = c(ξ, η) e−a (ξ +η ) t ,ξ, η ∈ (−∞, +∞).поэтому МЕТОДОМ ВАРИАЦИИ "ПОСТОЯННОЙ" c(ξ, η) получаем:222UoHo (ξ, η; t) = c(ξ, η; t) e−a (ξ +η ) t ,ξ, η ∈ (−∞, +∞).(5.7)откуда для c(ξ, η; t), подставив искомый вид решения (5.7) в уравнение (5.5), получаем условие:r22222ηµb ea (ξ +η ) t .ct (ξ, η; t) = aπЗная производную ct , найдём c:rZt2222c(ξ, η; t) = a2ηµb(ξ; τ ) ea (ξ +η ) τ dτ + c1 (ξ, η).π0Таким образом, общее решение неоднородного уравнения (5.5) имеет вид:rZt22222222µb(ξ; τ ) e−a (ξ +η ) (t−τ ) dτ + c1 (ξ, η) e−a (ξ +η ) t .ηUoHo (ξ, η; t) = aπ(5.8)0Используя начальное условие (5.6), находим c1 (ξ, η) ≡ 0, откуда, наконец получаем решениезадачи Коши (5.5) – (5.6):rZt22222U (ξ, η; t) = aηµb(ξ; τ ) e−a (ξ +η ) (t−τ ) dτ.(5.9)π0Перепишем это выражение при помощи определения µb:rU (ξ, η; t) = a22ηπZt222µb(ξ; τ ) e−a (ξ +η ) (t−τ ) dτ ≡0≡a2ηπZ t Z+∞222e−i(ξx) µ(x; τ ) e−a (ξ +η ) (t−τ ) dxdτ.
(5.10)0−∞Шаг 3. Обратное преобразование Фурье.Применим к (5.10) обратное sin-преобразование Фурье (1.8). Получим1u(x, y; t) =πZ+∞ Z+∞ei(ξx) sin(ηy)U (ξ, η; t)dξdη =−∞ 0=1πZ t Z+∞η222ei(ξx) sin(ηy) a2e−i(ξz) µ(z; τ ) e−a (ξ +η ) (t−τ ) dzdτ dξdη =πZ+∞ Z+∞−∞ 0=a2π2Z+∞ Z+∞222ei(x−z)ξ e−a (ξ +η ) (t−τ ) · η · sin(ηy)dξdη =µ(z; τ ) dzdτ0 −∞a2= 2π−∞ 0Z t Z+∞Z+∞Z+∞222 2µ(z; τ ) dzdτei(x−z)ξ e−a ξ (t−τ ) dξ ·e−a η (t−τ ) · η · sin(ηy)dη =0 −∞c Д.С. Ткаченко−∞0Z t Z+∞−∞0-10-УМФ – семинар – К 5 – 14hi2 2= в силу чётности функции e−a ξ t по переменной ξ =Z t Z+∞Z+∞Z+∞ −a2 ξ2 (t−τ )2 2µ(z; τ ) dzdτcos (x − z)ξ edξ ·e−a η (t−τ ) · η · sin(ηy)dη =2a2= 2π0 −∞0hq =x−ziи возьмём по частям последний интеграл == по формуле (1.9) с2a2= 2π· −122a (t − τ )y= 2·π0√p=a t−τZ t Z+∞µ(z; τ )√(x−z)2π− 24a(t−τ)√·e2a t − τ0 −∞Z+∞η=∞ −a2 η2 (t−τ )−a2 η 2 (t−τ )e dzdτ =sin(ηy)−y·ecos(ηy)dηη=0|{z}0=0hi√= по формуле (1.9) с p = a t − τ и q = y = √ 2 Z t Z+∞Z t Z+∞2 +y 22 +y 2πµ(z; τ ) − (x−z)µ(z; τ ) − (x−z)y22 (t−τ )4a(t−τ)4adzdτ =dzdτ.ee2a(t − τ )24πa2(t − τ )20 −∞Ответ:иu(x, t) =y4πa20 −∞Rt +∞R µ(z; τ )0 −∞(t−τ )2−e(x−z)2 +y 24a2 (t−τ )dzdτ .6.
№ 826.Пользуясь интегральным преобразованием Фурье решить задачу:ut − a2 (uxx + uyy ) = 0,uy (x, 0; t) = 0,u(x, y; 0) = ϕ(x, y),x ∈ (−∞, +∞), y ∈ (0, +∞), t > 0,x ∈ (−∞, +∞), y ∈ (0, +∞).x ∈ (−∞, +∞), y ∈ (0, +∞).(6.1)(6.2)(6.3)Шаг 1. Применение cos-ИПФ.Поскольку задача рассматривается на полуплоскости x ∈ R, y > 0, а краевое условиевторого рода, в соответствии с правилом, применяем cos-ИПФ (1.7) – по пространственнымпеременным (x, y) к равенствам (6.1) – (6.3).ПустьZ+∞ Z+∞1e−i(ξx) cos(ηy)u(x, y; t)dydx,U (ξ, η; t) =π−∞ 01Φ(ξ, η) =πZ+∞ Z+∞e−i(ξx) cos(ηy)ϕ(x, y)dydx.−∞ 0При действии cos-ИПФ на ut получим, очевидно, Ut , а при действии на uxx , как при обычном ИПФ, получим −ξ 2 U .
Чтобы выяснить, в какое равенство перейдёт уравнение (6.1), осталось применить формулу (1.12) (стр. 2) – результат действия cos-ИПФ на uyy , и учесть, что вданном примере uy (x, 0; t) = 0. Окончательно получаем:c Д.С. Ткаченко-11-УМФ – семинар – К 5 – 141πZ+∞ Z+∞e−i(ξx) cos(ηy)uyy (x, y; t)dydx = −η 2 U (ξ, η; t)−∞ 0Итак, результатом действия cos-ИПФ на (6.1) – (6.3) будет задача:ξ ∈ R, η > 0, t > 0,Ut (ξ, η; t) + a2 ξ 2 + η 2 U (ξ, η; t) = 0,U (ξ, η; 0) = Φ(ξ, η),ξ ∈ R, η > 0.(6.4)(6.5)Шаг 2. Решение задачи Коши (6.4) – (6.5) для ОДУ.Общее решение однородного линейного уравнения (6.4) имеет вид:222Uoo (ξ, η; t) = c(ξ, η) e−a (ξ +η ) t ,ξ, η ∈ (−∞, +∞).а из начального условия (6.5) получаем, что "константа" c(ξ, η) равна Φ(ξ, η), откуда222U (ξ, η; t) = Φ(ξ, η) e−a (ξ +η ) t .(6.6)Шаг 3.
Обратное преобразование Фурье.Применим к (6.6) обратное cos-преобразование Фурье (1.8). ПолучимZ+∞ Z+∞Z+∞ Z+∞1222i(ξx)ecos(ηy)U (ξ, η; t)dξdη =ei(ξx) cos(ηy)Φ(ξ, η) e−a (ξ +η ) t dξdη =π−∞ 0−∞ 0 +∞ +∞Z+∞ Z+∞Z Z11222ei(ξx) cos(ηy) e−i(ξz) cos(ηs)ϕ(z, s)dsdz e−a (ξ +η ) t dξdη ==ππ1u(x, y; t) =π−∞ 0−∞ 0Z+∞ Z+∞Z+∞ Z+∞12 22 2ϕ(z, s)dzdsei(x−z)ξ e−a ξ t · cos(ηy) cos(ηs)e−a η t dξdη == 2π−∞ 0−∞ 01= в силу cos α cos β =cos(α − β) + cos(α + β) =2Z+∞ Z+∞Z+∞Z+∞ −a2 η2 t1i(x−z)ξ −a2 ξ 2 tϕ(z, s)dsdzeedξ ·cos (y − s)η + cos (y + s)η edη == 22π−∞ 0−∞−∞h2 2= в силу чётности функций cos (y ± s)η и e−a η t по переменной η,i2 2а также чётности функций e−a ξ t по переменной ξ =Z+∞ Z+∞Z+∞Z+∞ 2 2 −a2 ξ2 t1= 2ϕ(z, s)dsdzcos (x−z)ξ edξ ·cos (y −s)η +cos (y +s)η e−a η t dη =π−∞ 000hi√= по формуле (1.9) с p = a t и q = x − z, либо q = y − s, либо q = y + s =1= 2πZ+∞ Z+∞2(y−s)2(y+s)2π − (x−z)−−2t2t2t4a4a4aϕ(z, s) 2 ee+edsdz =4a t−∞ 01=4πa2 tZ+∞ Z+∞(x−z)2 +(y−s)2(x−z)2 +(y+s)2−−2t2t4a4aϕ(z, s) e+edsdz.−∞ 0Ответ:c Д.С.
Ткаченкоu(x, t) =14πa2 t+∞R +∞Rϕ(z, s)−e(x−z)2 +(y−s)24a2 t−∞ 0-12-+e−(x−z)2 +(y+s)24a2 tdsdz.УМФ – семинар – К 5 – 147. № 827.Пользуясь интегральным преобразованием Фурье решить задачу:ut − a2 (uxx + uyy ) = 0,uy (x, 0; t) = µ(x; t),u(x, y; 0) = 0,x ∈ (−∞, +∞), y > 0, t > 0,x ∈ (−∞, +∞), t ∈ (0, +∞).x ∈ (−∞, +∞), y ∈ (0, +∞).(7.1)(7.2)(7.3)Шаг 1. Применение cos-ИПФ.Поскольку задача рассматривается на полуплоскости x ∈ R, y > 0, а краевое условиевторого рода, в соответствии с правилом, применяем cos-ИПФ (1.7) – по пространственнымпеременным (x, y) к равенствам (7.1) – (7.3).ПустьZ+∞ Z+∞1e−i(ξx) cos(ηy)u(x, y; t)dydx.U (ξ, η; t) =π−∞ 0При действии cos-ИПФ на ut получим, очевидно, Ut , а при действии на uxx , как при обычном ИПФ, получим −ξ 2 U .
Воспользуемся формулой (1.12) (стр. 2):1πZ+∞ Z+∞Z+∞1−i(ξx)ecos(ηy)uyy (x, y; t)dydx = −e−i(ξx) uy (x, 0; t) dx − η 2 U (ξ, η; t). (7.4)π−∞ 0−∞C учётом, что в данном примере uy (x, 0; t) = µ(x; t), окончательно получаем:1πZ+∞ Z+∞Z+∞1−i(ξx)ecos(ηy)uyy (x, y; t)dydx = −e−i(ξx) µ(x; t) dx − η 2 U (ξ, η; t) ≡π−∞ 0−∞r2µb − η 2 U (ξ, η; t).≡−πИтак, результатом действия cos-ИПФ на (7.1) – (7.3) будет задача:r22222Ut (ξ, η; t) + a ξ + η U (ξ, η; t) = −aµb,ξ ∈ R, η > 0, t > 0,πU (ξ, η; 0) = 0,ξ ∈ R, η > 0.(7.5)(7.6)Шаг 2.
Решение задачи Коши (7.5) – (7.6) для ОДУ.Общее решение однородного линейного уравнения (7.5) имеет вид:222Uoo (ξ, η; t) = c(ξ, η) e−a (ξ +η ) t ,ξ, η ∈ (−∞, +∞).поэтому МЕТОДОМ ВАРИАЦИИ "ПОСТОЯННОЙ" c(ξ, η) получаем:222UoHo (ξ, η; t) = c(ξ, η; t) e−a (ξ +η ) t ,ξ, η ∈ (−∞, +∞).(7.7)откуда для c(ξ, η; t), подставив искомый вид решения (7.7) в уравнение (7.5), получаем условие:r2222ct (ξ, η; t) = −a2µb ea (ξ +η ) t .πc Д.С. Ткаченко-13-УМФ – семинар – К 5 – 14Зная производную ct , найдём c:rc(ξ, η; t) = −a2Zt2π222µb(ξ; τ ) ea (ξ +η ) τ dτ + c1 (ξ, η).0Таким образом, общее решение неоднородного уравнения (7.5) имеет вид:rUoHo (ξ, η; t) = −a22πZt222222µb(ξ; τ ) e−a (ξ +η ) (t−τ ) dτ + c1 (ξ, η) e−a (ξ +η ) t .(7.8)0Используя начальное условие (7.6), находим c1 (ξ, η) ≡ 0, откуда, наконец получаем решениезадачи Коши (7.5) – (7.6):rU (ξ, η; t) = −a22πZt222µb(ξ; τ ) e−a (ξ +η ) (t−τ ) dτ.(7.9)0Перепишем это выражение при помощи определения µb:rU (ξ, η; t) = −a22πZt222µb(ξ; τ ) e−a (ξ +η ) (t−τ ) dτ ≡0a2≡−πZ t Z+∞222e−i(ξx) µ(x; τ ) e−a (ξ +η ) (t−τ ) dxdτ.
(7.10)0−∞Шаг 3. Обратное преобразование Фурье.Применим к (7.10) обратное cos-преобразование Фурье (1.8). Получим1u(x, y; t) =πZ+∞ Z+∞ei(ξx) cos(ηy)U (ξ, η; t)dξdη =−∞ 0t Z+∞Z+∞ Z+∞2 Za1222=ei(ξx) cos(ηy) −e−i(ξz) µ(z; τ ) e−a (ξ +η ) (t−τ ) dzdτ dξdη =ππ−∞ 00−∞Z+∞ Z+∞Z t Z+∞a2222µ(z; τ ) dzdτei(x−z)ξ e−a (ξ +η ) (t−τ ) · cos(ηy)dξdη ==− 2π0 −∞−∞ 0Z t Z+∞Z+∞Z+∞a22 2i(x−z)ξ −a2 ξ 2 (t−τ )=− 2µ(z; τ ) dzdτeedξ ·e−a η (t−τ ) · cos(ηy)dη =π0 −∞−∞0hi−a2 ξ 2 t= в силу чётности функции eпо переменной ξ =2a2=− 2πZ t Z+∞Z+∞Z+∞ −a2 ξ2 (t−τ )2 2µ(z; τ ) dzdτcos (x − z)ξ edξ ·e−a η (t−τ ) · cos(ηy)dη =0 −∞c Д.С. Ткаченко00-14-УМФ – семинар – К 5 – 14h= по формуле (1.9) с2a2=− 2π√p=a t−τZ t Z+∞µ(z; τ )иq = x − z,iлибо q = y = √√2(x−z)2ππ− 2− 2y4a(t−τ)4a(t−τ)√√·dzdτ =ee2a t − τ2a t − τ0 −∞1=−2πZ t Z+∞0 −∞Ответ:c Д.С.
Ткаченкоu(x, t) = −12πRt +∞R µ(z; τ )0 −∞t−τe−(x−z)2 +y 24a2 (t−τ )-15-dzdτ .2 +y 2µ(z; τ ) − (x−z)e 4a2 (t−τ ) dzdτ.t−τ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
