r_t1_02 (1122874), страница 4
Текст из файла (страница 4)
ðÏÜÔÏÍÕ ÏÂÝÅÅ ×ÒÅÍÑ ÄÏÓÔÉÖÅÎÉÑ ÓÔÁÃÉÏÎÁÒÎÏÇÏ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑ x; y, ÌÅÖÁÝÅÇÏ ÎÁ ËÒÉ×ÏÊF (x; y) = 0, ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÈÁÒÁËÔÅÒÏÍ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ×ÄÏÌØ ÜÔÏÊ ËÒÉ×ÏÊ, Ô. Å. ÆÁËÔÉÞÅÓËÉÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÍÅÄÌÅÎÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ y É ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÎÁÞÁÌØÎÏÇÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÂÙÓÔÒÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x.÷ÙÒÏÖÄÅÎÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ (II.3.2) ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÏÄÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅdy=dt = G(x; y)(II.3.3)É ÏÄÎÏ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÅF (x; y) = 0;(II.3.4)ÚÁÄÁÀÝÅÅ Ó×ÑÚØ ÍÅÖÄÕ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ x É y.
ðÌÏÓËÏÓÔØ xy ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙÓÏÄÅÒÖÉÔ ÌÉÛØ ÏÄÎÕ ËÒÉ×ÕÀ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÕÀ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ F (x; y) = 0 É, ÐÏ ÓÕÝÅÓÔ×Õ,e-ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉdyG x; ydxF x; y52çÌÁ×Á II. ôÉÐÙ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÐÏ×ÅÄÅÎÉÑ ÂÉÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÓÉÓÔÅÍÏÔÒÁÖÁÀÝÕÀ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÓÔÁÃÉÏÎÁÒÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ x ÏÔ ÐÁÒÁÍÅÔÒÁ y ÄÌÑÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (II.3.3).÷ ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ (II.3.2) ÎÅ ÏÔÒÁÖÁÀÔÓÑ ÂÙÓÔÒÙÅ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÙÅ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÐÏ ÆÁÚÏ×ÙÍ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÑÍ ÐÏÌÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ.
éÚ ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÉ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ x0 , y0 , ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÝÁÑ ÔÏÞËÁ ÓÉÓÔÅÍÙ (II.3.2) ÓËÁÞËÏÍ(y = y0 = const, x ÍÇÎÏ×ÅÎÎÏ ÍÅÎÑÅÔÓÑ) ÐÅÒÅÈÏÄÉÔ ÎÁ ËÒÉ×ÕÀ F (x; y) = 0. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ËÒÉ×ÁÑ ÓÔÁÃÉÏÎÁÒÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÐÁÒÁÍÅÔÒÁ y×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ÉÚÏËÌÉÎÏÊ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÈ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÈ ÐÏÌÎÏÊÓÉÓÔÅÍÙ.äÌÑ ÐÒÁ×ÏÍÅÒÎÏÓÔÉ ÚÁÍÅÎÙ ÐÏÌÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ, ÞÔÏÂÙ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÏÔ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÝÁÑ ÔÏÞËÁ ÐÏÌÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙÂÙÓÔÒÏ ÐÅÒÅÈÏÄÉÌÁ ÎÁ ÉÚÏËÌÉÎÕ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÈ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÈ F (x; y) = 0. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÎÁÞÁÌØÎÙÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ x0 ÄÏÌÖÎÙ ÐÏÐÁÓÔØ × ÏÂÌÁÓÔØ ×ÌÉÑÎÉÑ ÏÓÏÂÏÊ ÔÏÞËÉÐÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ e dx=dt = F (x; y), ÐÏÓËÏÌØËÕ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ËÁË ÒÁÚ ÒÁÓÐÏÌÏÖÅÎÙ ÎÁ ËÒÉ×ÏÊ F (x; y) = 0.
éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ,ÞÔÏÂÙ ÒÅÛÅÎÉÅ x = x(y) ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ F (x; y) = 0 ÂÙÌÏ × ÔÏ ÖÅ ×ÒÅÍÑ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÊ ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÏÓÏÂÏÊ ÔÏÞËÏÊ ÐÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÎÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ e dx=dt = F (x; y) ÐÒÉ ×ÓÅÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ y, ÇÄÅ y ÕÖÅ ÉÇÒÁÅÔ ÒÏÌØ ÐÁÒÁÍÅÔÒÁ(ÔÅÏÒÅÍÁ á. î. ôÉÈÏÎÏ×Á, 1952). åÓÌÉ ÓÉÓÔÅÍÁ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, ÏÐÉÓÙ×ÁÀÝÁÑ ÐÒÏÃÅÓÓÙ × ÂÉÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ, ÓÏ-ÄÅÒÖÉÔ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ Ó ÍÁÌÙÍ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏÍ ÐÅÒÅÄ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ, ×ÓÅ ÜÔÉÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÏÐÉÓÙ×ÁÀÝÉÅ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ ÂÙÓÔÒÙÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ, ÍÏÖÎÏ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÍÉ, ÐÒÉÞÅÍ, ÅÓÌÉ ÉÍÅÀÔÓÑ ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ ÒÁÚÌÉÞÎÏÊ ÓÔÅÐÅÎÉ ÍÁÌÏÓÔÉ, ÒÅÄÕËÃÉÀ ÓÌÅÄÕÅÔ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÉÔØ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ.÷ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÈ ÈÉÍÉÞÅÓËÏÊ É ÂÉÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ËÉÎÅÔÉËÉ ÒÏÌØ ÍÁÌÙÈ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏ×ÞÁÓÔÏ ÉÇÒÁÀÔ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÅ ×ÒÅÍÅÎÉ ÂÙÓÔÒÙÈ ÐÒÏÃÅÓÓÏ× ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÐÏÒÑÄËÏ×. ÷ ÄÒÕÇÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÍÁÌÏÇÏ ÐÁÒÁÍÅÔÒÁ ×ÙÓÔÕÐÁÅÔ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÁÌÙÈ ËÏÎÃÅÎÔÒÁÃÉÊ Ë ÂÏÌØÛÉÍ.
üÔÏ ÔÁËÖÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍ ÓËÏÒÏÓÔÑÍ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ, ÐÏÓËÏÌØËÕ ÓËÏÒÏÓÔØ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ ÂÏÌØÛÏÊ ËÏÎÃÅÎÔÒÁÃÉÉ, ËÁË ÐÒÁ×ÉÌÏ, ÍÅÎØÛÅ,ÞÅÍ ÓËÏÒÏÓÔØ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ ÍÁÌÏÊ ËÏÎÃÅÎÔÒÁÃÉÉ. ôÁËÁÑ ÓÉÔÕÁÃÉÑ ÞÁÓÔÏ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÐÒÉÁÎÁÌÉÚÅ ÆÅÒÍÅÎÔÁÔÉ×ÎÙÈ ÐÒÏÃÅÓÓÏ× (ÓÍ. ÇÌ. III).÷ ÓÌÕÞÁÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÄÌÑ Ä×ÕÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ, ÏÄÎÁ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÂÙÓÔÒÁÑ(II.3.1 Á), ÍÏÖÎÏ ÌÅÇËÏ ÓÄÅÌÁÔØ ×Ù×ÏÄ Ï ÔÏÍ, ËÁËÉÅ ÉÚ ÔÏÞÅË ËÒÉ×ÏÊ F (x; y) = 0 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÙÍ ÒÅÛÅÎÉÑÍ x = x(y) ÐÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ e dx=dt == F (x; y), ÇÄÅ y | ÐÁÒÁÍÅÔÒ (ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÓÔØ ÔÏÞÅË ÜÔÏÊ ËÒÉ×ÏÊ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÚÎÁËÏÍÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ Fx0 (x; y) = 0, ÐÒÉÞÅÍ ÔÅ ÔÏÞËÉ ËÒÉ×ÏÊ F (x; y) = 0, × ËÏÔÏÒÙÈ Fx0 > 0,Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÎÅÕÓÔÏÊÞÉ×ÙÍÉ, Á ÔÅ ÔÏÞËÉ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ Fx0 < 0 | ÕÓÔÏÊÞÉ×ÙÍÉ).
éÚÏÂÒÁÖÁÀÝÁÑ ÔÏÞËÁ × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÚÎÁËÁ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ Fx0 (x; y) ÂÕÄÅÔ ÂÙÓÔÒÏ Ä×ÉÇÁÔØÓÑÌÉÂÏ ÐÏ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÀ Ë Ë×ÁÚÉÓÔÁÃÉÏÎÁÒÎÏÊ ËÒÉ×ÏÊ ÐÒÉ Fx0 < 0, ÌÉÂÏ ÏÔ ÎÅÅ ÐÒÉFx0 > 0. ä×ÉÖÅÎÉÅ ÐÏ ÓÁÍÏÊ ËÒÉ×ÏÊ F (x; y) = 0 ÅÓÔØ ÍÅÄÌÅÎÎÏÅ Ä×ÉÖÅÎÉÅ, É ÏÎÏ ÐÒÏÉÓÈÏÄÉÔ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ dy=dt = G(x; y). åÓÌÉ G(x; y) > 0, ÔÏ Ä×ÉÖÅÎÉÅÐÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ×ÄÏÌØ F (x; y) = 0 ÔÁË, ÞÔÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ y ÒÁÓÔÕÔ, ÅÓÌÉ ÖÅ G(x; y) < 0, ÔÏÐÒÉ Ä×ÉÖÅÎÉÉ y ÕÍÅÎØÛÁÅÔÓÑ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ÄÌÑ ÓÌÕÞÁÑ, ËÏÇÄÁ F (x; y) = 0ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÎÅÍÏÎÏÔÏÎÎÕÀ ËÒÉ×ÕÀ.53x 3.
éÅÒÁÒÈÉÑ ×ÒÅÍÅÎ × ÂÉÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÓÉÓÔÅÍÁÈîÁ ÒÉÓ. II.10 ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÓÉÔÕÁÃÉÑ, ËÏÇÄÁ ÏÓÏÂÁÑ ÔÏÞËÁ ÐÏÌÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÒÁÓÐÏÌÏÖÅÎÁ ÎÁ ÎÅÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÊ ×ÅÔ×É AB ËÒÉ×ÏÊ F (x; y) = 0. åÓÌÉ ÖÅ ÏÓÏÂÁÑ ÔÏÞËÁ ÐÏÌÎÏÊÓÉÓÔÅÍÙ ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÊ ×ÅÔ×É ËÒÉ×ÏÊ F (x; y) = 0, ÔÏ ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ ÒÁ×ÎÏ×ÅÓÉÑÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ ÐÏÓÌÅ ÏÄÎÏÇÏ ËÏÌÅÂÁÎÉÑ.òÉÓ.
II.10æÁÚÏ×ÙÊ ÐÏÒÔÒÅÔ ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ (II.3.2)F x; yF x; yïÓÏÂÁÑ ÔÏÞËÁ ÒÁÓÐÏÌÏÖÅÎÁ ÎÁ ÎÅÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÊ ×ÅÔ×É ËÒÉ×ÏÊ () = 0. ÷ ÔÏÞËÁÈ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ ÚÎÁËÁÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ x0 () ÐÒÏÉÓÈÏÄÑÔ ÓËÁÞËÉ (ÔÏÞËÉÉ ). ÷ ÜÔÉÈ ÔÏÞËÁÈ ÓÍÅÎÑÅÔÓÑ ÈÁÒÁËÔÅÒ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÓÔÉ, ÔÁË ËÁË × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ ÓÏ ÚÎÁËÏÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ x0 () ×ÅÔ×ÉÉÕÓÔÏÊÞÉ×Ù, Á×ÅÔ×ØÎÅÕÓÔÏÊÞÉ×Á. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÔÏÞËÉÉÑ×ÌÑÀÔÓÑ ÂÉÆÕÒËÁÃÉÏÎÎÙÍÉ. ÷ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉÓÏ ÚÎÁËÏÍ= () ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÝÁÑ ÔÏÞËÁ ÓÉÓÔÅÍÙ ÍÅÄÌÅÎÎÏ ÄÏÈÏÄÉÔ ÐÏ ×ÅÔ×ÉÄÏ ÔÏÞËÉ .äÁÌØÛÅ ÐÏ ËÒÉ×ÏÊ () = 0 ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÝÁÑ ÔÏÞËÁ Ä×ÉÇÁÔØÓÑ ÎÅ ÍÏÖÅÔ, ÔÁË ËÁË ×ÅÔ×ØÎÅÕÓÔÏÊÞÉ×Á. ðÏÜÔÏÍÕ ÓÉÓÔÅÍÁ ÂÙÓÔÒÏ ÐÅÒÅÈÏÄÉÔ ÐÏ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÏÊ ÉÚÏËÌÉÎÅÎÁ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÕÀ ×ÅÔ×ØËÒÉ×ÏÊ () = 0. ïÄÎÁËÏ ÎÁ ÜÔÏÊ ×ÅÔ×É × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ ÓÏ ÚÎÁËÏÍ= ()0 Ä×ÉÖÅÎÉÅÐÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ×ÎÉÚ × ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÉ ÔÏÞËÉ , ËÏÔÏÒÁÑ, ÔÁË ÖÅ ËÁË É ÔÏÞËÁ , Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÉÆÕÒËÁÃÉÏÎÎÏÊ.
äÁÌÅÅ ÓÎÏ×Á ÓÌÅÄÕÅÔ ÂÙÓÔÒÙÊ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÙÊ ÓËÁÞÏË. úÁÔÅÍ ÔÏÞËÁ Ä×ÉÖÅÔÓÑ ÐÏ ×ÅÔ×É. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÉÓÔÅÍÁ ÓÏ×ÅÒÛÁÅÔ ÒÁÚÒÙ×ÎÙÅ Á×ÔÏËÏÌÅÂÁÎÉÑ ÐÏ ÚÁÍËÎÕÔÏÊ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÉ |ÒÁÚÒÙ×ÎÏÍÕ ÐÒÅÄÅÌØÎÏÍÕ ÃÉËÌÕ.F x; yA BA BABdy=dt G x; yF x; yF x; yCABBCCA BDCAABADdy=dt G x; y 6AAADBC÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÐÏ×ÅÄÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÅÅ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ É ÈÁÒÁËÔÅÒÁ ÐÒÏÔÅËÁÀÝÉÈ × ÎÅÊ ÐÒÏÃÅÓÓÏ×, Ô. Å. ÏÔ ×ÉÄÁ ÐÏÌÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÍÏÄÅÌÉ, × ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔÉ ÏÔ ÒÁÓÐÏÌÏÖÅÎÉÑ ÏÓÏÂÙÈ ÔÏÞÅË, É ÔÒÅÂÕÅÔ × ËÁÖÄÏÍ ËÏÎËÒÅÔÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅÓÐÅÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ.ôÁË, × ÓÉÓÔÅÍÅ (II.3.2) ÐÅÒÅÍÅÎÎÕÀ y ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÕÐÒÁ×ÌÑÀÝÉÊÐÁÒÁÍÅÔÒ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÁ ÓÉÓÔÅÍÅ (I.2.5) (a |ÐÁÒÁÍÅÔÒ):dx=dt = f (x; a):(II.3.5)÷ ÜÔÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ÎÅ ÚÁÄÁÎÏ × Ñ×ÎÏÍ ×ÉÄÅ ÉÚÍÅÎÅÎÉÅ ×Ï ×ÒÅÍÅÎÉ ×ÅÌÉÞÉÎÙ a, × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ËÏÔÏÒÏÇÏ, ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏ, É ÐÒÏÉÓÈÏÄÉÔ Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÐÏ ËÒÉ×ÏÊ ÓÔÁÃÉÏÎÁÒÎÙÈÓÏÓÔÏÑÎÉÊ x = x(a).
äÌÑ ÐÏÌÎÏÇÏ ÏÐÉÓÁÎÉÑ ÜÔÏÇÏ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÚÁÄÁÔØ ÄÏÐÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁda=dt = f(a; x);(II.3.6)ÏÐÉÓÙ×ÁÀÝÅÅ ÉÚÍÅÎÅÎÉÅ a ×Ï ×ÒÅÍÅÎÉ ÚÁ ÓÞÅÔ ÎÅËÉÈ ÓÉÌ, ×ÎÅÛÎÉÈ ÐÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ ËÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x.54çÌÁ×Á II. ôÉÐÙ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÐÏ×ÅÄÅÎÉÑ ÂÉÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÓÉÓÔÅÍõÒÁ×ÎÅÎÉÑ (II.3.5), (II.3.6) ÏÂÒÁÚÕÀÔ ×ÍÅÓÔÅ ÓÉÓÔÅÍÕ Ä×ÕÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ Ó Ä×ÕÍÑÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉ x, a:dx=dt = f (x; a); da=dt = f(x; a):(II.3.7)ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÓËÏÒÏÓÔØ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ a ×Ï ×ÒÅÍÅÎÉ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ (II.3.6) ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏ ÍÅÎØÛÅ ÓËÏÒÏÓÔÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ x, Ô. Å.f(a; x) f (x; a): éÍÅÎÎÏ ÐÒÉ ×ÙÐÏÌÎÅÎÉÉ ÕÓÌÏ×ÉÑ (II.3.8) ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ(II.3.8)a ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏÍ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ (II.3.5). äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÐÒÉ ÜÔÏÍ a ÎÅ ÕÓÐÅ×ÁÅÔ ÓËÏÌØËÏÎÉÂÕÄØ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÉÚÍÅÎÉÔØÓÑ ÚÁ ×ÒÅÍÑ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x. ÷ ÔÏ ÖÅ ×ÒÅÍÑÓÔÁÃÉÏÎÁÒÎÙÅ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑ × ÓÉÓÔÅÍÅ (II.3.7) ÐÏ ËÏÎÃÅÎÔÒÁÃÉÑÍ x ÂÕÄÕÔ ËÁÖÄÙÊ ÒÁÚÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÔØÓÑ ÚÁÎÏ×Ï ÐÏ ÍÅÒÅ ÐÏÓÔÅÐÅÎÎÏÇÏ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ a.
îÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏÄÌÑ ÔÁËÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ x ÉÇÒÁÅÔ ÒÏÌØ ÂÙÓÔÒÏÇÏ, a | ÍÅÄÌÅÎÎÏÇÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄf (x; a) = 0; da=dt = f(a; x):(II.3.9)ðÏÄÒÏÂÎÙÊ ÐÒÉÍÅÒ, ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÀÝÉÊ ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ ôÉÈÏÎÏ×Á ÐÒÉ ÒÁÓÓÌÏÅÎÉÉ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÂÉÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÎÁ ÂÙÓÔÒÙÅ É ÍÅÄÌÅÎÎÙÅ, ÒÁÚÏÂÒÁÎ ×ÇÌ. III.x4. óÔÏÈÁÓÔÉÞÅÓËÉÅ ÍÏÄÅÌÉ ×ÚÁÉÍÏÄÅÊÓÔ×ÉÑòÏÌØ ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÅÊ × ÒÁÚÎÙÈ Ñ×ÌÅÎÉÑÈ ÒÁÚÌÉÞÎÁ. ÷ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ Ñ×ÌÅÎÉÑÈ ÓÌÕÞÁÊÎÙÅÏÔËÌÏÎÅÎÉÑ ÏÔ ÚÁËÏÎÏÍÅÒÎÏÓÔÅÊ ÎÁÓÔÏÌØËÏ ÍÁÌÙ, ÞÔÏ ÉÈ ÍÏÖÎÏ ÎÅ ÕÞÉÔÙ×ÁÔØ. ïÄÎÁËÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÔÁËÉÅ Ñ×ÌÅÎÉÑ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÐÏÄÍÅÔÉÔØ ÎÉËÁËÉÈ ÚÁËÏÎÏÍÅÒÎÏÓÔÅÊ É ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔØ ÉÇÒÁÅÔ ÏÓÎÏ×ÎÕÀ ÒÏÌØ.
ðÒÉÍÅÒÏÍ ÔÁËÏÇÏ Ñ×ÌÅÎÉÑ ÍÏÖÅÔÓÌÕÖÉÔØ Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÍÁÌÏÊ ÞÁÓÔÉÃÙ Ô×ÅÒÄÏÇÏ ×ÅÝÅÓÔ×Á, ×Ú×ÅÛÅÎÎÏÊ × ÖÉÄËÏÓÔÉ, ÔÁËÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÅ ÂÒÏÕÎÏ×ÓËÏÅ Ä×ÉÖÅÎÉÅ. ðÏÄ ÄÅÊÓÔ×ÉÅÍ ÔÏÌÞËÏ× ÍÏÌÅËÕÌ ÖÉÄËÏÓÔÉ ÞÁÓÔÉÃÁ Ä×ÉÖÅÔÓÑ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÂÅÓÐÏÒÑÄÏÞÎÏ, ÂÅÚ ×ÓÑËÏÊ ×ÉÄÉÍÏÊ ÚÁËÏÎÏÍÅÒÎÏÓÔÉ. ðÒÉÄ×ÉÖÅÎÉÉ ÉÎÄÉ×ÉÄÕÁÌØÎÏÊ ÞÁÓÔÉÃÙ ÓÁÍÁ ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔØ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÚÁËÏÎÏÍÅÒÎÏÓÔØÀ.ïÄÎÁËÏ ÅÓÌÉ ÂÒÏÕÎÏ×ÓËÉÈ ÞÁÓÔÉà ÍÎÏÇÏ, ÉÈ ËÏÎÃÅÎÔÒÁÃÉÑ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÍÅÎÑÅÔÓÑ,ÐÏÄÞÉÎÑÑÓØ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍ ÚÁËÏÎÏÍÅÒÎÏÓÔÑÍ, ÐÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÄÉÆÆÕÚÉÑ ÔÁËÉÈ ÞÁÓÔÉÃÉÚ ÏÂÌÁÓÔÉ ×ÙÓÏËÉÈ ËÏÎÃÅÎÔÒÁÃÉÊ × ÏÂÌÁÓÔØ ÂÏÌÅÅ ÎÉÚËÉÈ ËÏÎÃÅÎÔÒÁÃÉÊ. üÔÏÔÐÒÏÃÅÓÓ ÄÉÆÆÕÚÉÉ × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÉÉ ÍÏÖÎÏ ÏÐÉÓÙ×ÁÔØ ÄÅÔÅÒÍÉÎÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÍÏÄÅÌØÀ. ÷ ÄÅÔÅÒÍÉÎÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÍÏÄÅÌÑÈ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÍÏÖÎÏ ÔÏÞÎÏÐÒÅÄÓËÁÚÁÔØ.ðÒÉ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÉ ÍÎÏÇÉÈ ÐÒÏÃÅÓÓÏ× × ÆÉÚÉËÅ, ÈÉÍÉÉ, ÂÉÏÌÏÇÉÉ ÂÙÌÏ ÚÁÍÅÞÅÎÏ:× ÒÑÄÅ ÓÌÕÞÁÅ× Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ×ÏÓÐÒÏÉÚ×ÏÄÉÍÏÓÔÉ ÏÂÌÁÄÁÀÔ ÎÅ ÓÁÍÉ ÞÉÓÌÏ×ÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑËÁËÏÊ-ÌÉÂÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ, Á ÉÈ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ | ÞÁÓÔÏÔÙ, Ó ËÏÔÏÒÙÍÉ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÜÔÏÊÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÔÏÍÕ ÉÌÉ ÉÎÏÍÕ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÕ ÎÁ ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÐÒÑÍÏÊ.
÷ ÔÁËÉÈÓÌÕÞÁÑÈ ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ÍÏÖÎÏ ÏÐÉÓÙ×ÁÔØ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ, Á Ü×ÏÌÀÃÉÀ ÓÉÓÔÅÍÙ ×Ï ×ÒÅÍÅÎÉ | Ü×ÏÌÀÃÉÅÊ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÊ. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÍÏÄÅÌÉÑ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÅÓËÉÍÉ.x 4. óÔÏÈÁÓÔÉÞÅÓËÉÅ ÍÏÄÅÌÉ ×ÚÁÉÍÏÄÅÊÓÔ×ÉÑ55 ÷ ÂÉÏÌÏÇÉÉ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÐÒÏÃÅÓÓÏ× Ñ×ÌÑÅÔÓÑ, ÐÏ ÓÕÝÅÓÔ×Õ, ÓÌÕÞÁÊÎÙÍÉ, ÎÁÞÉ-ÎÁÑ ÏÔ ÐÒÏÃÅÓÓÏ× ÐÏÇÌÏÝÅÎÉÑ É ÉÓÐÕÓËÁÎÉÑ Ë×ÁÎÔÏ× Ó×ÅÔÁ ÏÐÔÉÞÅÓËÉ ÁËÔÉ×ÎÙÍÉÂÉÏÍÁËÒÏÍÏÌÅËÕÌÁÍÉ ÉÌÉ ÐÒÏÃÅÓÓÏ× ÂÉÏÈÉÍÉÞÅÓËÉÈ ÒÅÁËÃÉÊ É ËÏÎÞÁÑ ÐÒÏÃÅÓÓÁÍÉÒÁÚÍÎÏÖÅÎÉÑ ÏÒÇÁÎÉÚÍÏ×.
ðÏÜÔÏÍÕ ÓÌÅÄÕÅÔ × ÍÏÄÅÌÑÈ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÐÏÇÌÏÝÅÎÉÑ ÉÌÉ ÉÓÐÕÓËÁÎÉÑ Ë×ÁÎÔÏ× Ó×ÅÔÁ ÉÌÉ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ÒÏÖÄÅÎÉÑ ÏÓÏÂÅÊ. ïÄÎÁËÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÁÐÐÁÒÁÔ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÙÈ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÊ ÇÏÒÁÚÄÏ ÂÏÌÅÅ ÇÒÏÍÏÚÄÏË É ÍÅÎÅÅ ÎÁÇÌÑÄÅÎ, ÞÅÍ ÁÐÐÁÒÁÔ ÄÅÔÅÒÍÉÎÉÓÔÉÞÅÓËÉÈÍÏÄÅÌÅÊ, ËÏÔÏÒÙÊ ÂÙÌ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎ ÄÏ ÓÉÈ ÐÏÒ.
ðÒÉ ÉÚÕÞÅÎÉÉ ËÁÖÄÏÊ ËÏÎËÒÅÔÎÏÊÓÉÓÔÅÍÙ ×ÓÔÁÅÔ ×ÏÐÒÏÓ Ï ÅÅ ÓÔÁÔÉÓÔÉÞÅÓËÉÈ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÈ É ÐÒÁ×ÏÍÅÒÎÏÓÔÉ ÄÅÔÅÒÍÉÎÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÏÐÉÓÁÎÉÑ ÓÉÓÔÅÍÙ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ×ÁÖÎÏ, ËÁËÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÓÔÁ×ÑÔÓÑ × ÐÒÏÃÅÓÓÅÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ. äÌÑ ÉÚÕÞÅÎÉÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ Ó×ÏÊÓÔ× ÓÉÓÔÅÍÙ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÐÉÓÙ×ÁÔØ ÅÅËÁË ÄÅÔÅÒÍÉÎÉÒÏ×ÁÎÎÕÀ, ÄÒÕÇÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÕÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÙ ÔÏÌØËÏ ÐÒÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÏÍ ÏÐÉÓÁÎÉÉ.÷ ÎÁÓÔÏÑÝÅÍ ÐÁÒÁÇÒÁÆÅ ÂÕÄÅÔ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÏ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÐÒÏÓÔÙÈ ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÅÓËÉÈÍÏÄÅÌÅÊ É ÎÁ ÉÈ ÐÒÉÍÅÒÅ ÐÏÑÓÎÅÎÏ, Ë ËÁËÉÍ ÎÏ×ÙÍ ÜÆÆÅËÔÁÍ ÐÒÉ×ÏÄÉÔ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÏÅ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅ É ËÏÇÄÁ ÍÏÖÎÏ ÏÇÒÁÎÉÞÉÔØÓÑ ÄÅÔÅÒÍÉÎÉÒÏ×ÁÎÎÙÍÉ ÍÏÄÅÌÑÍÉ,ÏÐÉÓÙ×ÁÀÝÉÍÉ Ü×ÏÌÀÃÉÀ ÓÒÅÄÎÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ.ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÕÀ ÍÏÄÅÌØ ÐÒÏÓÔÅÊÛÅÊ ÂÉÍÏÌÅËÕÌÑÒÎÏÊÒÅÁËÃÉÉ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
