Глава 11. Линейный гармонический осциллятор (1121331), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

.

Если частица локализована внутри области размером x, то, согласно принципу Гайзенберга, её импульс не может быть меньше, чем

.

Таким образом, первое слагаемое в (3.1) уменьшается по мере увеличения x, а второе — растёт:

.

Полная энергия как функция x имеет минимум в точке

,

равный

.

Полученное значение в два раза отличается от результата точного расчёта. Это не удивительно, так как принцип неопределёности имеет характер оценки по порядку величины. Правильное выражение для энергии нулевых колебаний получается на основе формулы, содержащей точное неравенство для дисперсий момента и координаты:

.

Формально она выводится следующим образом. Пусть состояние частицы описывается функцией (x), причём средние значения импульса и координаты для простоты вывода предполагаются равными нулю. Напишем очевидное неравенство

где  — действительная постоянная. Далее вычислим три полезных выражения:

Они позволяют преобразовать левую часть (3.3) в квадратичный по  трёхчлен:

Этот трёхчлен не меняет знака ни при каких значениях , если его дискриминант отрицателен, либо равен нулю. Отсюда вытекает условие

Легко видеть, что оно тождественно (3.2).

Плотность энергии нулевых колебаний

При выводе формулы Планка (2.4.7) мы представили спектральную плотность энергии излучения U_ω dω как произведение частоты мод колебаний dN_ω в единице объёма на среднюю энергию осциллятора <E>. Вычисление средней энергии выполнялось в рамках гипотезы Планка. Планк исходил из правила квантования осциллятора (2.4.1) – (2.4.3), не учитывающего нулевые колебания осциллятора. Повторим вычисления второй главы, заменив в определении средней энергии (2.4.4) выражение для энергии осциллятора E_n (2.4.1) – (2.4.3) на выведенное в этой главе правило квантования (1.9):

Сократим числитель и знаменатель на постоянный множитель :

Первая сумма в правой части (3.5) уже была вычислена в разделе 2.2.4 второй главы, когда при расчёте средней энергии осциллятора из (2.4.4) мы получили (2.4.6). Вынесем за скобки множитель ћω и напишем окончательный результат:

Его, конечно, можно было предвидеть: усреднение постоянной величины ћω, добавляемой к энергии (2.4.2), может дать только саму добавку.

Учёт нулевых колебаний приводит к переопределению чисел заполнения n_ω: вместо (2.4.7) теперь надо писать

Подставляя среднюю энергию (3.6) и спектральную плотность числа осцилляторов (2.2.8) в (2.2.1), получим новое выражение для плотности энергии излучения чёрного тела с учётом нулевых колебаний:

Последнее слагаемое в правой части и есть плотность энергии нулевых колебаний:

Нулевые колебания имеют хаотический характер и поэтому не дают вклада в вектор Умова–Пойнтинга. Попытка проинтегрировать формулу (3.9) по всему диапазону частот даёт расходящуюся величину. Такого рода расходимости часто возникают в квантовой электродинамике, и предложены различные рецепты их устранения. В вопросах, рассматриваемых в данном учебном пособии, положение спасает то обстоятельство, что нулевые колебания проявляются только во взаимодействии с другими физическими объектами. При этом всегда находится способ устранения расходимостей, поскольку интервал частот, участвующих во взаимодействии, ограничивается по естественным физическим причинам. Далее мы увидим, как это делается при решении задачи о сдвиге атомных уровней под влиянием нулевых колебаний — в задаче о лэмбовском сдвиге.

Характеристики

Список файлов лекций