Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Колебания и волны. Волновая оптика.

Учитывая равенства (6.23) и (6.24), легко понять, что полученные ранее соотношения (6.11) и (6.12) справедливы совершен­но строго только в недиспергирующих средах. Использование этих соотношений возможно на начальном этапе распространения пакета (при малых t₁ – t₀ “расплыванием” пакета можно пренебречь, (x)₁  (x)₀); а также в том случае, когда мала величина v_г в пределах пакета. В противном случае вместо (6.11) и (6.12) нужно писать

, (6.26)

, . (6.27)

Такие же поправки следует внести и в соотношения (6.14), что коррелирует с формулами (6.15).

§ 4. Волновые пакеты и импульсы произвольной формы

До сих пор мы имели дело только с “прямоугольным” волновым пакетом. Нам удалось установить, что такому пакету соответ­ствует импульсный сигнал, форма которого показана на рис.6.5 и рис.6.6. Таким образом, если наблюдатель зарегистрировал сигнал, имеющий такую форму, можно сразу сделать вывод о спектральном составе волнового пакета (с учетом соотношений (6.11) и (6.12)).

Очевидно, что если изменять вид волнового пакета, варьируя амплитуду отдельных составляющих, то будет также изменяться форма соответствующего сигнала. Важно установить, насколько ши­рок диапазон сигналов, которые можно получать, создавая различные по форме волновые пакеты (т.е. задавая разные зависимости амплитуд гармонических компонент от частоты и изменяя спектральный состав пакета).

Некоторые соображения на этот счет можно привести, основываясь только на классическом волновом уравнении (2.5). Ранее упоминалось, что любая достаточно плавная функция вида f(t – x/v) удовлетворяет этому уравнению. С другой стороны, решениями уравнения (2.5) являются также гармонические функции вида:

Аsin[(t – x/v)] или Вcos[(t – x/v)] . (6.28)

Логично предположить, что любая плавная функция может быть представлена в виде некоторого набора гармоник (6.28).

Для того чтобы точно определить этот набор для какой-то функции f(t), воспользуемся методом разложения функций в ряд Фурье. Сначала рассмотрим периодическую функцию времени F(t), полагая, что она удовлетворяет условиям Дирихле. Приведенное ниже рассмотрение автоматически переносится на функцию координаты, если провести замену t  x.

Ряд Фурье для функции F(t) выглядит так:

. (6.29)

Здесь А_n и B_n – коэффициенты, определяемые соотношениями:

,

,

. (6.30)

Коэффициент B₀ отличается от нуля для функций, среднее значение которых за период не равно нулю (см. рис.6.11,а). Если функция F(t) – чётная (рис.6.11,б), то все А_n = 0; для нечётных функций В₁ = В₂ = … = В_n = 0 (рис.6.11,в).

В
качестве примера, на рисунке 6.12 показаны три периодические функции (верхняя – чётная, средняя и нижняя – нечётные), приведены ряды Фурье для этих функций ( = 2/Т), а также соответствующие частотные спектры (по горизон­тали – частоты, по вертикали – амплитуды гармоник). Видно, что для периодических функций основной вклад в разложение Фурье вносят низкочастотные гармонические составляющие. Чем более плавной является функция, тем быстрее убывают амплитуды гармо­ник с возрастанием номера n в разложении периодической функции (6.29).

Д ля приближенного описания периодических функций, как правило, достаточно небольшого числа первых членов ряда (6.29). Это хорошо видно из рис.6.13, на котором показаны графики суммы первых трех (а) и пяти (б) членов ряда Фурье для “прямоугольной волны” (рис.6.12,a).

Перейдём теперь к обсуждению возможности представления в виде су­перпозиции гармоник непериодических функций.

Пусть в некоторую точку х₀, при­ходит непериодический сигнал (t), имеющий форму импульса ограниченной длительности (т.е. функция (t) равна нулю за пределами интервала времени t₀ < t < t₀+T₀ – см. рис.6.14,а). Для того, чтобы иметь возможность использовать результаты, полученные при рассмотрении периодиче­ских функций, воспользуемся следующим приёмом. Построим функцию f(t), точно равную функции (t) в интерва­ле t₀ < t < t₀+T₀, а вне этого интервала представляющую собой периодическое повторение функции (t) с периодом Т₀, так что f(t) = f(t+T₀) – см. рис.6.14,б. Будем считать, что функция f(t) удовлетворяет условиям Дирихле и её можно разложить в ряд Фурье (6.29). Если среднее значение функции (t) равно нулю, т.е. отсутствует постоянный “сдвиг” сигнала (см. рис.6.11,а), то коэффициент B₀ в разложении (6.29) равен нулю. Очевидно, что чётная функция f(t), как и ранее, будет содержать в разложении (6.29) только косинусы, нечётная – только синусы. В обоих случаях первые члены соответствующих рядов Фурье – гармоники с ча­стотой ₀ = 2/Т₀. Поскольку выбор периода Т₀, в общем, про­изволен, его можно выбрать столь большим, что частота ₀ = 2/Т₀ будет очень малой. При этом отличие частот с оседних гармоник (с близкими номерами n) будет тоже малым ( = ₀n).

В итоге суммирование отдельных гармоник в ряду (6.29) можно заменить интегрированием по частоте:

, (6.31)

где А() = А(n₀) = А_n/₀, B() = B(n₀) = B_n/₀. (6.32)

Нижние пределы в интегралах (6.31) взяты равными нулю, так как при бесконечном возрастании T₀ частоты самых низкочастотных составляющих ряда (6.29) стремятся к нулю. Детальный анализ трансформации частотного спектра периодической функции F(t) при увеличении периода и перехода в пределе к одиночному, сигна­лу (t) будет проведён в следующем параграфе (п.3).

Амплитуды гармоник можно определить, воспользовавшись со­отношениями (6.30) и (6.31):

,

, (6.32)

В последних равенствах учтено, что ₀Т₀ = 2, а величина интеграла на интервале, равном одному периоду от искусственно сформированной периодической функции f(t) точно равна интегралу в интервале времени от – до + от одиночного непериодического импульса (t).

Резюмируя вышесказанное, запишем представление непериодической функции времени в виде т.н. “интеграла Фурье”:

, (6.33)

где коэффициенты А() и В() определяются равенствами (6.32).

Мы уже неоднократно убеждались в полной идентичности описания функций времени и пространства, поэтому очевидно, что “пространственный импульс” – зафиксированная в какой-то момент картина распространяющегося по оси Х одиночного сигнала – также может быть представлена в виде совокупности гармонических волн, аналогично (6.33), только t при этом нужно заменить на kx.

Соотношения (6.32), таким образом, позволяют определять спектральный состав сигналов произвольной формы. Процедура, опи­сываемая формулами (3.32), называется Фурье–анализом сигнала или волнового пакета. В следующем параграфе мы проиллюстрируем возможности Фурье–анализа на примере нескольких сигналов, с которыми довольно часто приходится встречаться на практике.

194

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов книги