Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Колебания и волны. Волновая оптика

Таблица 6.1.

Необходимо при этом учитывать, что в случае дифракции от одной ще­ли , а при рассмотрении дополнительных максимумов и минимумов дифракционной картины от решётки .

Несколько забегая вперед, отметим, что в современной физике теорема о ширине частотной полосы переходит в принцип неопределенности Гейзенберга. В квантовой механике каждой частице соответствует волна, параметры которой (частота  и длина волны ) определяются энергией W и импульсом р частицы:

, , (6.13)

где h – по­стоянная Планка. Подставляя в равенства (6.11) и (6.12) величины и , получим:

или . (6.14)

Точные формулировки принципа неопределенности в квантовой механике записываются несколько иначе:

или . (6.15)

§ 3. Распространение волновых пакетов

Из условия максимума волнового пакета (6.10) следует, что с течением времени пакет перемещается по оси X со скоростью

. (6.16)

Именно с такой скоростью, называемой групповой скоростью волнового пакета, распространяется энергия пакета и, следовательно, информация, которую мы можем передавать с помощью волн.

Учитывая, что  = vk, где v – фазовая скорость волн (см. стр. 42), можно записать выражение для групповой скорости несколько иначе:

. (6.17)

Эта формула впервые получена Рэлеем и носит его имя.

Д ля электромагнитных волн в вакууме (см. гл. II, §5) фазовая скорость – постоянная величина , не зависящая от длины волны . В этом случае групповая скорость равна фазовой. В вакууме информация может быть передана с помощью электромагнитных волн со скоростью, равной с.

Однако в большинстве случаев при распространении как электромагнитных, так и упругих волн в различных веществах фазовая скорость волн оказывается зависящей от . В принципе возможны три вида зависимостей (k) – т.н. «дисперсионных кривых » – см. рис.6.7. Прямая 1, проходящая через начало координат, соответ­ствует среде, в которой v_г = v = const (принято говорить в этом случае об от­сутствии дисперсии волн). Кривая 2 характерна для сред, в которых фазовая скорость растёт с ростом длины волны:

(6.18)

Дисперсия (т.е. зависимость  от k, или v от ) для таких сред называет­ся нормальной.

Дисперсия волн называется аномальной для веществ, в которых фазовая скорость уменьшается с ростом длины волны:

(6.19)

Р ассмотрим качественно характер дисперсии электромагнитных волн в диэлектрике. При прохождении электро-магнитной волны через диэлектрик электрическое поле волн создает вынуж-дающую переменную силу, вызывающую смещение заряженных частиц (электро­нов и ионов). Поскольку диэлектрическая проницаемость вещества определяется его способностью поляризоваться в электрическом поле, вид зависимости () качественно должен повторять зависимость амплитуды дисперсии от частоты вынуждающей силы (см. гл. II, §5). На рис.6.8 показан характер зависимостей амплитуды поглощения (а), амплитуды дисперсии (б) и диэлектрической проницаемости () (в) от частоты вынуждающей силы. Величина _с равна диэлектрической проницаемости вещества в постоянном электрическом поле. При резонансной частоте ₀ диэлектрик не поляризуется (нет смещения заряженных частиц в фазе с вынуждаю­щей силой), поэтому  = 1. На высоких частотах заряженные ча­стицы вообще не успевают реагировать на переменное электриче­ское поле, следовательно, при   , также   1. Учитывая, что фазовая скорость распространения электромагнитных волн , а магнитная проницаемость  для большинства веществ – постоянная порядка единицы, получаем:

. (6.20)

Отсюда групповая скорость электромагнитных волн может быть за­писана в форме: . (6.21)

Из соотношения (6.20) следует, что во всем спектральном диапазоне, кроме области вблизи полосы поглощения, дисперсия электромаг­нитных волн нормальная, (соответст­вующие области спектра обозначены на рис.6.8 цифрой I). В интервале II, соответствующей полосе поглоще­ния электромагнитных волн в данном материале, дисперсия аномальна.

Обсудим теперь некоторые осо­бенности распространения волновых пакетов в диспергирующих средах. На рис.6.9 показан волновой пакет в три последовательных момента времени (t₃ > t₂ > t₁).

П оскольку в диспергирующей среде групповая скорость (характеризующая скорость переноса вдоль оси Х огибающей волно­вого пакета) не равна фазовой скорости волн (которая характери­зует скорость перемещения по оси Х максимумов «несущей» часто­ты <>), волновой пакет при его перемещении будет постоянно видоизменяться. В частности, в случае нормальней дисперсии (v_г < v) в левой части пакета будет все время как бы “нарождаться” волна частоты <> и, перемещаясь быстрее огибающей пакета, исчезать на его правой границе.

Если волны, составляющие пакет, занимают достаточно узкий диапазон частот , так что соответствующий участок дисперсионной кривой можно считать линейным, то производная одинакова во всем интервале , и вопрос об опре­делении групповой скорости, характери­зующей перемещение максимума огибающей волнового пакета (см. формулу (6.16)), не требует специального обсуждения. Однако если величина в диапазоне частот  претерпевает заметные изменения, то определение скорости пе­ремещения максимума огибающей волнового пакета требует некоторого уточнения. Так как основной вклад в формирование максимума вносят волны средней частоты <> (именно такова частота “несущей гармо­ники”), очевидно, что скорость перемещения максимума нужно вы­числять по величине производной вблизи частоты <>, т.е.:

. (6.22)

О становимся вкратце на вопросе об изменениях формы волно­вого пакета при распространении его в диспергирующих средах. Для этого проделаем мысленно следующую процедуру – разобьём ин­тервал  на несколько (например, на пять) равных частей  = /5 – см. рис.6.10. Каждая такая часть может рассматри­ваться как отдельный волновой пакет (будем называть такой пакет “паке­тиком”). Каждый “пакетик” даст вол­новой импульс, показанный на рис.6.6, только длительность t и пространственная протяженность x “пакетика” будут, в соответствии с теоремой о ширине частотной полосы, в 5 раз больше, чем целого пакета. Если групповые скорости, соответствующие средним часто­там всех “пакетиков”, одинаковы, то волновые импульсы пяти “пакетиков” будут распространяться вместе. Между колебаниями в этих импульсах будет происходить интерференция, и в итоге ширина суммарного волнового импульса уменьшится в 5 раз (точно так же, как уменьшается в 5 раз ширина главного дифракционного мак­симума при увеличении количества щелей в 5 раз – см. стр. 120).

Ситуация коренным образом меняется, если частотный диапа­зон, занимаемый пакетом (), не очень мал, а среда, в которой распространяется пакет – диспергирующая. Тогда величины производной для частот, соответствующих серединам разных “пакетиков”, будут разными. Поэтому волновые импульсы от пяти “пакетиков” будут распространяться с различными скоростями, и с течением времени будут постепенно расходиться. В ре­зультате условия интерференции волновых “пакетиков” нарушатся, что неминуемо приведет к “расплыванию” результирующего волново­го пакета. Подчеркнём вместе с тем, что скорость распростране­ния результирующего волнового пакета может быть определена по формуле (6.22).

Если в момент времени t₀ волновой пакет характеризовался длительностью (t)₀ и пространственной протяженностью (x)₀, то в диспергирующей среде из-за разброса величин групповых скоростей волн v_г в пределах пакета параметры, характеризующие протяженность волнового пакета во времени и пространстве в момент t₁ > t₀, будут с учетом “расплывания” таковы:

, (6.23)

. (6.24)

Величина разброса групповых скоростей по пакету v_г может быть записана в виде:

(6.25)

Учитывая равенства (6.23) и (6.24), легко понять, что полученные ранее соотношения (6.11) и (6.12) справедливы совершен­но строго только в недиспергирующих средах. Использование этих соотношений возможно на начальном этапе распространения пакета (при малых t₁ – t₀ “расплыванием” пакета можно пренебречь, (x)₁  (x)₀); а также в том случае, когда мала величина v_г в пределах пакета. В противном случае вместо (6.11) и (6.12) нужно писать

, (6.26)

, . (6.27)

Такие же поправки следует внести и в соотношения (6.14), что коррелирует с формулами (6.15).

192

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов книги