Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Колебания и волны. Волновая оптика

§ 2. Дифракция Френеля на полуплоскости и щели

М етод зон Френеля оказывается весьма полезным и при решении задач о дифракции волн на препятствиях с прямолинейными границами (полуплоскости или щели). Рассмотрим сначала дифракцию плоской монохроматической волны на прямолинейном краю непрозрачной полуплоскости. Экран, на котором регистрирует­ся дифракционная картина, находится на расстоянии l за препятствием. При выполнении закона прямолинейного распространения света на экране наблюдалась бы тень с резким прямо-линейным краем. В действительности же вблизи проекции края полуплоскости наблюдается типичная интерференцион-ная картина – чередования светлых и темных полос – результат дифракции света (см. рис. 4.9).

Разобьем плоский волновой фронт, совпадающий с плоскостью преграды, на зоны Френеля. На этот раз они представляют собой полоски, параллельные краю преграды. Определим сначала интенсивность в точке В, расположенной строго напротив края препятствия. Расстояния от границ соседних зон до этой точки, как и ранее, отличаются на /2 (см. рис.4.10). Повторяя выкладки, приведен­ные на стр.88, получим, что граница зоны с номером m нахо­дится на расстоянии h_m от линии ОВ:

. (4.10)

П лощадь m-ой зоны пропорциональ­на ширине соответствующей поло­ски, т.е.

s_m  (4.11)

Отсюда следует, что в рассмат-риваемой ситуации площади разных зон Френеля^*) не равны, а именно:

s₁ : s₂ : s₃ : s₄ = 1 : 0,41 : 0,32 : 0,27. (4.12)

Другая особенность этой задачи – наличие двух симметричных семейств зон – “правого” (цифры без штрихов на рис.4.10) и “левого” (цифры со штрихами). В рассматриваемом случае все зоны левого семейства закрыты преградой.

Амплитуду результирующих колебаний в точке В определим, как и ранее, выполняя сложение колебаний графическим способом. Сначала представим на векторной диаграмме результат действия только одной первой (“нештрихованной”) зоны. Для этого разобьем её дополнительно на большое число (n) равных по ширине параллельных краю препятствия полосок (“нитевидных” вторичных источников), узких настолько, что волны, приходящие в точку В от двух соседних полосок, лишь немного отличаются по фазе. Колебание, возбуждаемое в точке В волнами от первого вторичного источника, находящегося на волновом фронте точно напротив точки В, изобразим вектором , направленным горизонтально вправо – см. рис.4.11. Колебания от каждого следующего вторичного источника, располагающегося чуть дальше от края препятствия, п риходят в точку В с некоторым запаз-дыванием по фазе _i ­– соответствующий вектор должен быть повернут угол _i по часовой стрелке. Как и в задаче о дифракции на круглом отвер­стии, будем добавлять к вектору векторы , …, , изо­бражающие действие следующих полосок. Однако в рассматриваемом случае необходимо учесть существенную разницу в площади зон Френеля–Шустера. Действительно, первая зона почти в 2,5 раза больше второй, причём площадь первой половины первой зоны, соответствующая m = ½ в соотношении (4.10), в 2,5 раза больше площади второй её половины. Кроме того, сдвиг фаз между колебаниями от соседних полосок одинаковой ширины сначала изменяется сравнительно медленно (для полосок, близких к точке О), а затем (при возрастании номера полоски) нарастает всё быстрее. В отличие от этого, при дифракции на круглом отверстии отставание по фазе нарастает равномерно, поскольку постепенно уменьшается ширина кольцевых вторичных источников.

Всё это приводит к сильному искажению формы векторной диаграммы по сравнению с показанной на рис.4.5,в.

В результате “выстраивания” векторов , , …, от всех полосок первой зоны Френеля получаем векторную диаграмму, показанную на рис.4.11.

Общим для кривых, показанных на рис.4.4 и 4.11, является сдвиг фаз между крайними векторами, равный в обоих случаях  – соответствующие колебания приходят в точку В в противофазе.

С права от точки О волновой фронт неограничен – число открытых зон Френеля бесконечно велико. Выстраивая аналогичным образом векторы, изображающие действие всех последующих “правых” вторичных источников, получим кривую, показанную на рис.4.12. Отметим, что по мере возрастания номера зоны различие в ширине соседних зон становится все меньше (см. (4.12)), поэтому, чем больше номер зоны, тем ближе соответствующий участок спи­рали на рис.4.12 к полуокруж-ности. Амплитуда колебания напряженности электрического поля в точке В пропорциональна квадрату длины результирующего вектора на рис.4.12.

Какова интенсивность света в точке В? Чтобы ответить на этот вопрос, мысленно уберём препятствие на пути световых волн. Тогда и вторичные источники, принадлежащие левым “штрихованным” (на рис.4.10) зонам Френеля будут давать вклад в освещенность экрана в точке В. Для них, очевидно, может быть построена точно такая же векторная диаграмма, только векторы придется выстраивать симметрично относительно начала координат влево. Полную векторную диаграмму для открытого волнового фронта получим, “сшивая” две векторные диаграммы, для “правых” и “левых” вторичных источников. При этом нужно учесть, что два начальных вектора и (от двух центральных полосок спра­ва и слева от линии ОВ) практически параллельны (фазы колебаний почти одинаковы); по мере удаления от центральной по­лоски к периферийным соответствующие векторы , , …, все больше поворачиваются относительно по часовой стрелке (отставание по фазе). В результате получим полную векторную диа­грамму колебаний в точке В в виде т.н. “ спирали Корню” – см. рис.4.13.

Интенсивность света в отсутствии преграды I₀ пропорциональна квадрату длины результирующего вектора на рис.4.13. Нетрудно видеть, что длина этого вектора вдвое больше, чем вектора на рис.4.12. Таким образом, на месте края геометрической тени (проекции края препятствия на экран) интенсивность света в четыре раза меньше, чем в отсутствии преграды (I = 0,25 I₀).

Посмотрим теперь, как меняется освещенность экрана при перемещении точки наблюдения влево от края геометрической тени – точки В на рис.4.10. (Это эквивалентно перемещению препятствия на рис.4.10 вправо относительно неподвижной точки В). При этом постепенно закрываются “нештрихованные” зоны Френеля и из спирали, представленной на рис.4.12, последовательно исключаются векторы , , … Конец результирующего вектора остается на прежнем месте, а вот его начало “скользит” вдоль спирали вправо от точки М (см. вектор на рис.4.12). Длина результирующего вектора монотонно убывает по мере удаления точки наблюдения от края препятствия “вглубь” (рис.4.10). Соответственно ведёт себя и освещённость экрана в области геометрической тени.

При смещении от точки В вправо, т.е. в область, где при выполнении законов геометрической оптики наблюдалась бы равномерная освещённость всего экрана, растёт число открытых вторичных источников “штрихованных” зон – начало результирующего вектора “скользит” вдоль спирали Корню (рис. 4.13) влево от точки М. Длина его достигает максимального и минимального значений, когда начало вектора оказывается в точках и спирали (вблизи краев первой и второй “штрихованных” зон Френеля–Шустера, соответственно). Конец же результирующего вектора всегда находится в центре “правой” спирали.

Дальнейшее смещение от границы геометрической тени приводит к чередованию локальных минимумов и максимумов освещённости, поскольку длина результирующего вектора при “ скольжении” его начала по “левой” спирали осциллирует. При удалении от края геометрической тени макси-мумы и минимумы распола-гаются всё ближе друг к другу и становятся менее резко выраженными – см. рис.4.14. Это и объясняет представ-ленную в начале параграфа на рис.4.9 дифракционную картину.

Пользуясь спиралью Корню (рис.4.13), можно качественно провести построе­ние дифракционной картины от щели.

Рассмотрим сначала интенсивность интерференционной картины в центре экрана, расположенного за щелью. Пусть ширина щели такова, что она оставляет открытыми чуть меньше двух первых зон Френеля–Шустера (по одной “штрихованной” и “нештрихованной”), так что результирующее колебание в центре экрана на векторной диаграмме (рис.4.13) изображается вектором, соединяющим точки и М₁^*). Его амплитуда максимальна (больше амплитуды вектора ), освещённость в центре экрана заметно превышает освещённость экрана в отсутствии преграды. При приближении экрана к щели ширина всех зон Френеля–Шустера уменьшается (см. формулу (4.10)), щель начинает “вмещать” больше зон и, соответственно, амплитуда вектора результирующих колебаний в центре экрана уменьшается. В частности, когда вектор результирующих колебаний соединяет точки и М₂ ^**) (рис.4.13), длина этого вектора минимальна и меньше, чем в отсутствии преграды. Дальнейшее приближение экрана ведёт к затухающим осцилляциям освещённости в центре дифракционной картины. Очевидно, что качественно все происходит так же, как и при дифракции Френеля на круглом отверстии (см. §1), только теперь симметрия дифракционной картины иная.

Характер пространственного распределения интенсивности по всему экрану (справа и слева от центральной полоски) качественно такой же, как и от круглого отверстия. На экране наблюдается система светлых и темных областей, симметрия которых соответствует симметрии препятствия. В случае дифракции на щели дифракционная картина представляет собой семейство светлых и темных полос, параллельных щели. Точные положения максимумов и минимумов интерференции при дифракции света на щели зависят от длины световой волны, ширины щели и расстояния от щели до экрана. Соответствующие соотношения для одного наиболее важного частного случая дифракции на щели будут получены в следующем параграфе.

*⁾ Зоны в форме полосок часто называют «зонами Шустера».

*⁾ Ширина щели при этом . Или, иначе говоря, расстояние до экрана l = b²/4.

*^*) При этом щель “вмещает” приблизительно по две “правых” и две “левых” зоны Френеля–Шустера, ; расстояние до экрана l = b²/8.

105

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов книги