Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Колебания и волны. Волновая оптика

ГЛАВА IV. ДИФРАКЦИЯ ВОЛН

§ 1. Принцип Гюйгенса-Френеля. Метод зон Френеля

Под дифракцией обычно понимают явление огибания волнами препятствий. В частности, свет может проникать в область геометрической тени за непрозрачными объектами на пути его распространения^*). При этом за препятствием наблюдается чередование максимумов и минимумов освещённости, как и при интерференции когерентных световых пучков. Это позволяет сделать вывод о том, что природа явлений дифракции и интерференции одна и та же. Дифракция проявляет себя и в тех случаях, когда форма фронта волны нарушается прозрачными телами с оптическими характеристиками, отличными от остальной среды. Таким образом, в широком смысле дифракцией света мож­но назвать любое отклонение от за­конов геометрической оптики при распространении света в среде с резкими ^**) оптическими неоднородностями.

Наше дальнейшее рассмотрение дифракции состоит в расчёте распределения освещённости в пространстве за препятствием определенных размеров и формы. Основой методологии решения этой задачи, а также понимания дифрак­ционных явлений служит принцип Гюйгенса-Френеля, сформулированный в законченной форме в первой чет­верти XIX в.

Принцип Гюйгенса-Френеля состоит из двух положений:

1. Любой малый элемент волнового фронта может рассматриваться как самостоятельный источник сферических волн. Эти волны обычно называют “вторичными”.

2. Интенсивность волн в любой точке пространства можно найти, вычислив результат интерференции когерентных вторичных волн в этой точке.

П роиллюстрируем принцип Гюйгенса-Френеля таким примером. Пусть имеется точечный источник монохроматических волн А. Пусть поверхность  – положение волнового фронта света, испущенного этим источником, в некоторый момент времени – рис.4.1. Разобьём эту поверхность на ма­лые элементы , каждый из которых и будем считать “вторичным” то­чечным источником. Для вычисления амплитуды колебаний электромагнитного поля в некото­рой произвольной точке В, лежащей в области за волновым фронтом, можно, по Френелю, вместо волн от источника А рассматривать только вторичные волны от всех элементов . Результирующее колебание в точке В есть результат сложения колебаний, возбуждённых волнами от всех вторичных источников. Вторичные ис­точники (расстояние от каждого вторичного источника r_i до точки В должно быть много больше размера элемента) считаем точечными, а распространяющиеся от них волны – сферическими:

x_i = cos(wt – kr_i + ₀), (4.1)

Частота колебаний  для всех вторичных волн такая же, как частота первичного источника А; k = 2/ – волновое число; поскольку все вторичные источники принадлежат волновому фронту начальные фазы ₀ для них одинаковы и определяются фазой колебаний, дошедших до соответствующего элемента поверхности dS_i из точки А.

Суммирование колебаний согласно равенству (4.1) может быть выполнено методами интегрального исчисления. Однако в ряде простейших, но практически весьма важных случаев, его можно заменить алгебраическим или геометрическим сложением. В частности, использование принципа Гюйгенса-Френеля позволяет пред­сказать основные закономерности дифракции волн на преградах простой формы – круглых отверстиях и дисках.

Дифракция на круглом отверстии.

Н ачнём с наиболее простого случая – рассмотрим дифракцию плоской монохроматической волны, падающей нормально на непрозрачную плоскую преграду с круг­лым отверстием (это соответствует случаю, когда источник удалён от преграды на бесконечность) – см. рис.4.2. Определим интенсивность волн в точке В за препятствием, которая лежит на перпендикуляре к плоскости преграды, проходящем через центр отверстия О. Френель предложил изящный способ решения такой задачи – «метод зон Френеля».

Метод зон Френеля состоит в том, что часть вол­нового фронта, ограниченную краями препятствия (в рассматриваемом случае – круг, совпадающий с отверстием) разбивают на участки конечных размеров таким образом, чтобы расстоя­ния от границ соседних участков до точки наблюдения В отличались на /2. Первая зона Френеля представляет собой круг, причём расстояние С₁В больше ОВ на /2; остальные зоны – кольца с внешним радиусом ОС_m (m – номер зоны-кольца). Найдем радиусы границ таких зон Френеля, используя теорему Пифагора для треугольника ОС_mВ:

. (4.2)

Будем считать, что точка В располагается за преградой на расстоянии l, много большем длины световой волны. Тогда l >> ² и после возведения суммы в квадрат, получаем:

. (4.3)

Рассмотрим теперь более общий случай. Пусть теперь источник А находится на конечном расстоянии L от препятствия – см. рис.4.3. Как видно из рисунка, внешний радиус m-й зоны Френеля удовлетворяет условию:

. (4.4)

И спользуя допущение о малости длины волны  по сравнению с расстояниями l и L, из равенства (4.4) находим сначала x_m, а затем и интересующий нас радиус:

. (4.5)

Удобно ввести вспомогательную характеристику, учитывающую геометрию опыта и имеющую размерность длины

(4.6)

Легко видеть, что выражение для радиуса зон Френеля приобретает с использованием этой величины точно такую же форму, как и в случае плоского волнового фронта:

. (4.7)

Каковы площади зон Френеля с разными номерами? Оказывается, в рассматриваемом приближении они одинаковы для всех зон:

(4.8)

Итак, построение Френеля разбивает волновой фронт на равновеликие участки – зоны Френеля. Сначала посмотрим, как это помогает определить света интенсивность в центре экрана.

Пусть радиус отверстия точно равен радиу­су первой зоны Френеля. Дополнительно разобьём эту зону на мно­го кольцевых участков одинаковой площади (номера участков i = 1, …, n) столь малых, чтобы волны, приходящие в точку В от разных точек одного и того же кольцевого участка, имели одинаковую фазу. Амплитуду результирующих колебаний определим, выполняя сложение графическим методом векторных диаграмм (см. §5). Колебание, возбуждаемое в точке В волнами от первого (i = 1, центрального) участ­ка первой зоны Френеля изобразим вектором ^*), второго участка – и т.д. (см. рис.4.4). Учтём, что колебания от каждого следующего уча­стка приходят в точку В с некоторым запаздыванием по фазе _i, т.к. соответствующие волны проходят до точки В больший путь. Запаздыванию по фазе соответствует поворот вектора по часовой стрелке на угол _i. Длины векторов почти (но не совсем! – см. ниже) одинаковы. Вектор , соответствующий колебанию, возбуждаемому волнами от последнего (i = n) участка первой зоны, повернут на угол _n =  по отношению к вектору , так как соответствующее колебание отстает по фазе на  – ведь разность хода между соответствующими лучами равна /2. Векторная диаграмма для случая, когда открыта только одна первая зона Френеля, представляет собой полуокружность – см. рис.4.4^**). Суммируя все n векторов от n участков, получаем, что результирующее колебание может быть представлено результирующим вектором .

С овершенно аналогично поступим, определяя резуль-тирующие колебания в точке В от остальных зон Френеля, оказавшихся в пределах отверстия:

– разбиваем каждую зону на n узких кольцевых участков;

– первый вектор каждой последующей зоны “при­шиваем”, учитывая небольшой сдвиг по фазе, к последнему вектору предыдущей зоны ;

– суммируем все векторы : вектор, соответствующий результирующему колебанию, соединяет на векторной диаграмме начало первого вектора с концом последнего.

Н а рис.4.5,а изображена векторная диаграмма для первых двух зон Френеля, на рис.4.5,б – трёх зон. На рис.4.5,в показана векторная диаграмма, получающаяся в результате сложе­ния колебаний от всех вторичных источников, принадлежащих открытому волновому фронту (препятствие отсутствует, зон Френеля бесконечно много). На этих диаграммах учтено, что с увеличением номера зоны размеры векторов постепенно уменьшаются, т.к. каждая последующая зона находится от точки В несколько дальше, чем предыдущая. Соответственно, уменьшается и “диаметр” полуокружностей, определяющий амплитуду ре­зультирующего колебания в точке В при увеличении количества “открытых” зон (1, 3, 5, … ). Сопо­ставляя рис.4.4 и 4.5,в, приходим к парадоксальному на первый взгляд выводу – амплитуда колебаний в точке В от одной первой зоны в два раза больше амплитуды колебаний от всех зон, вместе взятых. Таким образом, если закрыть все зоны, кроме первой, то в центре экрана будет наблюдаться светлое пятно, интенсивность которого почти в 4 раза больше, чем в отсутствии преграды! Отсюда следует, что малое отверстие может выполнять роль линзы со сла­бым фокусирующим действием, что и использовалось в первых фотокамерах – “камерах-обскурах”.

Число открытых зон Френеля и, соответственно, интенсивность света в центре экрана, существенно зависят от положения точки В за препятствием. Пусть, например, в исходном положении величины L, l и  таковы, что круглое отверстие радиусом r оставляет открытыми 4 зоны Френеля (т.е. r = r₄). Из рис.4.5,в следует, что при этом в точке В будет наблюдаться минимальная интенсивность волн. Будем приближать экран к отверстию (уменьшать l); как видно из соотношения (4.7), радиус m-ой зоны Френеля при этом уменьшается, и отверстие в экране будет “вмещать” все большее число зон. На расстоянии l, при котором в отверстие будет “попадать” ровно пять зон Френеля, в центре экрана будет регистриро­ваться максимум интенсивности (светлое пятно при дифракции света). При дальнейшем перемещении экрана по на­правлению к преграде интенсивность волн в точке В пульсирует – максимумы и минимумы интенсивности сменяют друг друга в зависимости от того, откры­то нечётное (5, 7, 9 и т.д.) или чётное число зон Френеля (6, 8, 10 и т.д.), соответственно. Размах этих пульсаций, уменьшается по мере увеличения числа открытых зон (см. рис.4.5,в). Если экран удалять от преграды, количество видимых из центра экрана зон Френеля будет уменьшаться (см. (4.7)). Интенсив­ность света в точке В также будет пульсировать до тех пор, пока не останется открытой только одна зона (r = r₁). При таком положении экрана будет зарегистрирован самый большой максимум интенсивности в центре эк­рана (примерно 4I₀). При дальнейшем удалении экрана пульсации интенсивности в его центре уже не будут наблюдаться – интенсивность будет монотонно уменьшаться до нуля. На рис.4.4 показано, как определить амплитуду (а значит и интенсивность) результирующих колебаний в точке В, если открыта только часть первой зоны Френеля, например, половина первой зоны Френеля (m = ½). Фаза волн, приходящих в точку В от границы^*) половины первой зоны Френеля отстает на /2 от фазы колебаний, возбуждаемых волной от центра отверстия. Поскольку длина вектора в больше – интенсивность волн в точке В оказывается равной 2I₀.

Обсудим теперь “радиальное” распределение интенсивности дифракционной картины. Прежде всего, очевидно, что картина симметрична относительно ocи AB. Предположим, что из точки В видна только одна первая зона Френеля – рис.4.6,а. Сместимся немного в сторону от цент­ра экрана – в точку В₁. Из этой точки уже видна значительная часть второй зоны Френеля, и только некоторая доля – первой (рис.4.6,б). Если “видимые” площади первой и второй зон близки, амплитуда результирующих колебаний в точке В₁ будет малой. Отсюда следует, что центральное светлое пятно будет окружено тёмным кольцом – п
ервым минимумом. Сместимся еще дальше от центра экрана – в точку В₂ (рис.4.6,в). Из этой точки видна уже значительная часть третьей зоны Френеля, колебания от ко­торой совпадают по фазе с колебаниями от первой зоны, поэтому интенсивность колебаний в точке В₂ будет больше, чем в точке В₁ – т.е. снова будет наблюдаться светлое кольцо. Итак, очевидно, что дифракционная картина в рассматриваемом случае представляет собой систему концентрических ко­лец большей и меньшей интенсивности, в центре картины будет светлое или темное пятно (в зависимости от числа открытых частей зон Френеля). Чем дальше от отверстия находится экран, тем больше радиусы всех зон Френеля, и тем больше будут радиусы соответствующих темных и светлых колец на экране (т.е. тем шире будет интерференционная картина).

Если на месте преграды (см. рис.4.3) поместить пластинку, на которой “затемнить” кольца, соответствующие всем чётным зонам Френеля, и оставить проницаемыми для волн области, соответст­вующие всем нечётным зонам Френеля, то получится так называемая «амплитудная зонная пластинка ». Векторная диаграмма коле­баний в точке В для такой пластинки показана на рис.4.7. Оче­видно, что если пластинка пропускает излучение от N нечетных зон, то амплитуда колебаний в центре экрана возрастает приблизительно в N раз, а интенсивность – в N² раз (по сравнению с круглым отверстием, открывающим одну зону Френеля).

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов книги