Е_Глава 2 (1120520), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

, (2.46)

. (2.47)

Левые интегралы в (2.46) и (2.47) берутся по замкнутому контуру С ( – элемент такого контура), правые – по поверхностям , ограни­ченным соответствующими контурами. Необходимо помнить, что на­правление обхода по контуру и направление нормали к поверхности связаны между собой правилом буравчика.

Будем предполагать, что напряжённость электрического поля и индукция магнитного по­ля – функции только координаты х (см. рис.2.8). Это означает, что рассматриваемая нами электро-магнитная волна (если, конеч­но, мы докажем её существова­ние) – плоская.

В ыберем прямоугольный кон­тур в плоскости ХY и будем осуществлять обход по пути 1-2-3-4, предполагая величины dх и dy малыми. Учтём, что на участке 1-2 перемещение происходит по оси Y, поэтому ; на участке 3-4 перемещение происходит против оси Y, поэтому ; участки 2-3 и 4-1 абсолютно одинаковы, но проходятся в разные стороны, следовательно . В итоге имеем:

. (2.48)

Левая часть соотношения (2.46) легко вычисляется, если иметь в виду, что поверхность  мала, так что величина в разных местах этой поверхности практически одинакова, а нормаль к этой поверхности направлена по оси Z:

. (2.49)

Подставив (2.48) и (2.49) в соотношение (2.46), получаем:

(2.50)

Аналогичным образом выберем прямоугольный контур в плоско­сти XZ и осуществим обход по пути 5-6-7-8. Правая часть урав­нения (2.47) вычисляется точно так же, как и правая часть (2.46):

(2.51)

При вычислении левой части нужно учитывать, что направле­ние нормали к контуру 5-6-7-8 противоположно оси Y:

(2.52)

Подстановка (2.51) и (2.52) в (2.47) приводит к уравнению

(2.53)

Дифференцируя (2.50) и (2.53) по координате x и, изменяя порядок дифференцирования в правых частях (2.50) и (2.53), получаем

(2.50,a)

(2.53,a)

Наконец, подставляем в правую часть (2.50,а) равенство (2.53), а в правую часть (2.53,а) – соотношение (2.50); в итоге имеем два дифференциальных уравнения электромагнитной волны:

(2.54)

(2.55)

Естественно, что эти уравнения абсолютно одинаковы – изменения электрического и магнитного полей в электромагнитной вол­не строго взаимосвязаны. Фазовая скорость электромагнитной волны полу­чилась такой же, как и в двухпроводной линии – см. формулу (2.44). Следовательно, двухпроводная линия просто направляет электромагнитную волну в нужную сторону, присутствие линии не является необходимым условием существования волны.

Из уравнений (2.54)–(2.55) следует, что электромагнитная волна, в отличие от упругой, может распространяться в вакууме с фазовой скоростью Получив это число из своих уравнений, Максвелл сделал фундаментальный вывод – свет представляет собой электромагнитную волну (к тому времени скорость света была уже измерена экспериментально с достаточно большой точностью, хотя природа света окончательно не была установлена). Для световой волны параметр назы­вается показателем преломления; скорость света в среде с показа­телем преломления n определяется соотношением v = c/п.

Из уравнений (2.54) и (2.55) следует ещё один принципиальный вывод – электромагнитная волна всегда является поперечной. Действительно, задавшись только одним ограничением – предпола­гая, что волна плоская, мы в итоге автоматически получили, что в уравнениях (2.54) и (2.55) присутствуют только компоненты на­пряжённости электрического поля и индукции магнитного поля, направленные по осям Y и Z, соответственно.

Поэтому в дальнейшем мы не будем использовать индексы “y”, “z” при обозначении напряжённости электрического поля Е и индукции магнитного поля В.

Анализ полученных нами уравнений позволяет получить дополнительные сведения о взаимосвязи между амплитудами и фазами колебаний векторов и . Пусть напряжённость электрического по­ля в плоской волне изменяется по закону:

E(x,t) = E₀ cos(t – kx). (2.56)

Предполагая возможность сдвига по фазе между колебаниями векто­ров и , запишем:

B(x,t) = B₀ cos(t – kx +), (2.57)

Далее подставляем (2.56) и (2.57) в уравнения (2.50) и (2.53):

kE₀sin(t – kx) = B₀ cos(t – kx +), (2.58)

kB₀sin(t – kx + ) = E₀ ₀₀sin(t – kx). (2.59)

Совершенно очевидно, что равенства (2.58) и (2.59) могут выполняться, только если равны амплитуды и фазы гармонических функций в левых и правых частях этих равенств. Отсюда получаем, что фазы колебаний векторов и одинаковы ( = 0). Перемножив перекрёстно амплитуды (2.58) и (2.59) и, приравнивая результа­ты перемножения, имеем:

(2.60)

Поскольку фазы колебаний векторов и совпадают, соотношение (2.60) выполняется для величин напряжённости электрического по­ля и индукции магнитного поля в произвольные моменты времени (не только для амплитудных значений):

(2.61)

На рис.2.9 показана “мгновенная фотография” плоской электромагнитной волны, распространяющейся по оси X. С течением вре­мени волна смещается по оси Х со скоростью v = c/п.

О братим внимание, что тройка векторов , и ориентирована совершенно определенным образом – направление скорости волны всегда совпадает с направлением векторного произведения . Максимумы напряжённости электрического поля в электромагнитной волне совпадают с максимумами индукции магнитного поля – рис.2.9.

§6. Энергия электромагнитной волны

Энергия электромагнитной волны складывается из энергии электрического поля и энергии магнитного поля. Ранее были получены выражения для плотности энергии электрического W_0E и магнитного W_0B полей:

(2.62)

(2.63)

Сравнивая (2.62) и (2.63) с (2.61), приходим к выводу, что в электромагнитной волне энергия распределяется поровну между электрическим и магнитным полем (точно так же, как в упругой волне энергия распределяется поровну между кинетической и потенциальной – см. (2.24)).

Из соотношений (2.62) и (2.63) следует, что плотность энергии (энергия, приходящаяся на единицу объёма среды, в которой распространяется электромагнитная волна), равна:

(2.64)

Для характеристики переноса энергии электромагнитной волной вводятся плотность потока энергии (S), интенсивность (I), поток энергии через какую-либо площадку (). Определения этих величин такие же, как для упругой волны (см. стр. 50). Аналогом вектора Умова является вектор Пойнтинга^*) ( ):

(2.65)

(2.66)

, (2.67)

(2.68)

, (2.69)

. (2.70)

*⁾ Введен английским физиком Дж.Г. Пойнтингом в 1885 г.

59

Характеристики

Список файлов книги