Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Колебания и волны. Волновая оптика

ГЛАВА II. ВОЛНЫ

§1. Классическое дифференциальное волновое уравнение

При увеличении числа связанных осцилляторов в системе, помимо выделения нормальных мод, выяснения спектра их частот не менее важным становится вопрос о скорости передачи колебательного движения из одной части системы в другую – т. е. о скорости распространения волн в системе. Под волнами мы будем понимать возмущения, распространяющиеся в какой-либо среде.

Р ассмотрим одномерную модель системы, состоящей из большого числа связанных осцилляторов – см. рис. 2.1.

Можно считать, что показанная на рис.2.1 система моделирует одномерный кристалл, либо длинную молекулу полимерного типа. Массы всех “атомов” будем считать одинаковыми и равными т, связь между ними моделируем пружинками с коэффициентами упругости k. Потерями (трением) в системе пренебрежём. Введем ось Х, направленную вдоль цепочки атомов, через ₁ , ₂, ..., _N обозначим отклонения каждого атома от положения равновесия. Расстояния между равновесными положениями всех соседних атомов будем полагать одинаковыми и равными l.

Запишем второй закон Ньютона для n-го атома:

m = k(_n+1 – _n) – k(_n – _n-1). (2.1)

Поскольку n-й атом имеет координату х, можно заменить величину _n, на функцию (х). Далее мы ограничимся рассмотрением только таких колебательных движений в нашем кристалле, при которых соседние атомы движутся почти одинаково (это означает, что мы исключаем из рассмотрения наиболее высокочастотные моды колебаний). При этом на расстоянии l величина смещения атома от положения равновесия изменяется мало. Воспользовавшись разложением функций в ряд Тейлора, можно записать приблизительное выражение для смещений атомов с номерами (n – 1) и (n + 1), ог­раничиваясь тремя первыми членами разложений по малому параметру l:

; (2.2)

. (2.3)

Подставив (2.2) и (2.3) в (2.1), получаем линейное дифферен­циальное уравнение второго порядка:

. (2.4)

Учитывая, что коэффициент перед производной имеет размер­ность квадрата скорости, уравнение (2.4) можно записать так:

, (2.5)

где . (2.6)

Это уравнение описывает распространение возмущений в нашем одномерном кристалле. Оно называется одномерным классическим дифференциальным уравнением волны. Термин “классическое” применяется для то­го, чтобы подчеркнуть ограниченный диапазон использования этого уравнения – только в случае малых возмущений (квазиупругая сила), распростра-няющихся в недиспергирующих средах (объяснение этого термина будет приведено несколько позже).

В трёхмерном случае уравнение (2.5) следует переписать так:

. (2.5,a)

Здесь – оператор Лапласа.

§ 2. Уравнение волны

Уравнением упругой волны называется соотношение, описывающее зависимость смещения колеблющихся частиц от координат и времени в явной форме. В случае электромагнитной волны, как будет показано ниже, вместо смещения в уравнении волны будут фигури­ровать напряжённость электрического и индукция магнитного полей.

Сначала будем предполагать, что для нашего “одномерного кристалла” (рис.2.1) в начале координат (х = 0) колебательное движение “первого” атома происходит по гармоническому закону:

x(0,t) = Acoswt. (2.7)

Очевидно, что на соседние атомы будет действовать гармони­ческая возмущающая сила с частотой , и это возмущение будет постепенно распространяться всё дальше от “начального” атома. Обозначим через v скорость распространения этого возмущения. Тогда зависимость от времени смещения атома, расположенного в точке с координатой х, можно представить в виде “запаздывающей” на время  = x/v гармонической функции

x(x,t) = Acos[w (t – )] = Acos(wt – kx), (2.8)

где k = /v = 2/ – т. н. “волновое число”,  – длина волны. Подставляя (2.8) в дифференциальное волновое уравнение (2.5), убеждаемся в том, что функция (2.8) – действительно решение волнового уравнения. Причём введённый ранее из соображений размерности параметр v дифференциального уравнения (2.5) по физическому смыслу соответству­ет скорости распространения фазы волны (и называется поэтому “фазовой скоростью”). Существенно, что классическому дифферен­циальному волновому уравнению (2.5) удовлетворяют гармонические волны (2.8) различных частот  (при том, однако, условии, что скорости распространения этих волн не зависят от частоты). Среды, в которых скорости распространения волн с разными частотами одинаковы, называются “недиспергирующими”. Поскольку всякая достаточно “плавная” функция x(t – x/v) может быть разложена на гармонические функции (в ряд Фурье), совершенно очевидно, что такая функция также будет решением уравнения (2.5). Предлагаем убедиться в этом прямой подстановкой. Этой функции соответствует распространяющаяся по оси X со скоростью v негармоническая волна.

Введем некоторые определения.

Волновой поверхностью мы будем называть такую поверхность, колебания во всех точках которой происходят в одной и той же фазе.

Из определения ясно, что волновых поверхностей бесконечно много. В модели одномерного кристалла (рис.2.1) каждая волновая поверхность вырождается в точку. Имеет смысл специально выделить “переднюю” волновую поверхность, которая называется фронтом волны.

Если фронт волны и волновые поверхности – плоскости, то волна называется плоской. Плоскую волну можно наблюдать в тех случаях, когда расстояние до источника волн х много меньше размеров трёхмерного источника D:

x << D. (2.9)

Плоская волна, распространяющаяся по оси X, описывается уравнением (2.8), поскольку все точки, лежащие на одной и той же волновой поверхности (плоскости, перпендикулярной оси Х), колеблются одинаково. Для плоской волны часто используют форму записи уравнения волны в полярной системе координат (см. рис.2.2). Введем радиус-вектор , проведенный из начала полярной системы координат O в произвольную точку пространства, а также волновой вектор , равный по величине волновому числу и направленный по нормали к волновой поверхности в сторону распростра-нения волны (в данном случае по оси Х). Тогда kx = krcos = (см. рис.2.2) и уравнение плоской волны может быть записано в виде

x(r,t) = Acos(wt – ). (2.10)

Если размеры источника много меньше расстояния до него (“точечный” источник),

D << x, r , (2.9,a)

то волновые поверхности имеют сферическую форму, волна в этом случае называется сферической. Ясно, что по мере удаления волны от источника энергия волны распределяется по всё возрастающему количеству частиц среды. Энергия, приходящаяся на одну частицу, обратно пропорциональна площади соответствующей волно­вой поверхности, т.е.  1/r² (здесь r – расстояние от волновой поверхности до точечного источника). Поскольку энергия колеблющейся частицы пропорциональна квадрату амплитуды (см. (1.7)), амплитуда колебаний частиц в сферической волне обратно пропорциональна r. В итоге уравнение сферической волны следует записать так:

x(r,t) = cos(wt – kr). (2.12)

Наконец, если часть энергии волны теряется в среде из-за поглощения, то происходит постепенное затухание волны, которое нужно учесть аналогично (1.34) введением дополнительного экспо­ненциального множителя перед косинусом:

– плоская волна; (2.13)

– сферическая волна. (2.14)

Параметр  называется коэффициентом поглощения среды.

Подчеркнём, что соотношения (2.8), (2.10), (2.12)–(2.14) описывают как продольные волны (смещение частиц происходит вдоль направления распространения волны), так и поперечные волны (частицы колеблются в плоскости, перпендикулярной направлению распространения).

В заключение этого параграфа покажем, что полученное нами выражение для фазовой скорости упругой волны в одномерной цепочке атомов (рис. 2.1) легко обобщается на систему с распреде­лёнными параметрами – длинный однородный стержень, изготовленный из материала, плотность которого .

Р ассмотрим отрезок стержня длиной l (см. рис.2.3), масса которого m = lS, где S – площадь поперечного сечения стержня. Поскольку выбранный нами отрезок в целом покоится, приложенные к нему слева и справа силы рав­ны по величине (для определённости будем счи­тать эти силы растягивающими). При этом отрезок удлиняется на l. В рассматриваемом случае коэффициент упругости – это коэффициент пропор­циональности между величинами силы F и удлинения стержня:

(2.15)

В соотношении (2.15) введена величина механического напряжения . Подставим полученные для m и k выражения в формулу (2.6)

. (2.16)

Учитывая, что величина является модулем Юнга материала стержня (модулем продольной упругости), получаем для скорости распространения упругой волны следующее соотношение:

. (2.17)

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов книги