Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Колебания и волны. Волновая оптика

§ 4. Затухающие колебания

В реальных колебательных системах всегда происходят потери энергии (в механических системах – из-за трения, в электри­ческих – из-за наличия электрического сопротивления). Поэтому свободные колебания будут затухающими (а следовательно, не гармоническими). Учтём это обстоятельство, добавляя в правую часть уравнения (1.4) силу трения, которую будем считать пропорциональной скорости тела (F_тр)_х =  r (такая зависимость силы трения от скорости типична для движения тела в вязкой среде). Параметр r называется коэффициентом сопротивления.

В результате, второй закон Ньютона для механического осциллятора при наличии вязкого трения можно записать так:

. (1.29)

Обозначив , соотношение (1.29) приведём к виду

. (1.30)

Величина – как и ранее, собственная частота осциллятора в отсутствии затухания.

Совершенно аналогичное уравнение можно получить для электрического контура (рис.1.2,б) с учётом затухания, добавив в левую часть равенства (1.6) падение напряжения на сопротивлении U_r. Только в этом случае дифференциальное уравнение типа (1.30) записывается не для смещения (t), а для заряда на конденсаторе q(t); коэффициент вязкого трения r нужно заменить на электрическое сопротивление цепи R; при этом , .

Поскольку функции должны быть с точностью до постоянных коэффициентов одинаковыми (это очевидно из уравнения (1.30)), решение (1.30) будем искать в виде:

. (1.31)

Подставляя (1.31) в (1.30), получаем т.н. «характеристическое уравнение » для коэффициента  :

. (1.32)

Решение этого уравнения:

. (1.33)

Рассмотрим сначала случай малого затухания  < ₀.

При этом

и, используя формулу Эйлера, ре­шение уравнения (1.30) можно записать в форме

, (1.34)

г де – частота собственных затухающих колебаний; ₀ – как и ранее, начальная фаза. Как видно из рис.1.8, колебания осциллятора в этом случае напоминают гармони-ческие, но амплитуда колеба-ний постепенно уменьшается по экспоненциальному закону. Такие колебания, конечно, не являются гармоническими.

Параметр,  определяющий темп затухания амплитуды, называется коэффициентом затухания.

Для описания колебаний с малым затуханием используют следующие характеристики:

1. Время релаксации амплитуды _A – время уменьшения амплитуды колебаний в “e” раз:

, откуда _A = 1/.

1. Количество колебаний N_e, за которое амплитуда уменьшится в “e” раз :

.

Здесь – период колебаний.

1. Декремент затухания .

2. Логарифмический декремент затухания  – логарифм отношения амплитуд двух последовательных колебаний:

.

1. Добротность колебательной системы Q:

.

При очень малом затухании ( << ₀) можно использовать приближенное соотношение , которое в случае электрического контура легко преобразуется к виду: .

Далее мы встретимся ещё с несколькими определениями добротности. В частности, этот параметр при малом затухании пропорцио­нален отношению энергии, запасённой осциллятором, к энергии, теряемой за период. Действительно, энергия, запасённая осцил­лятором, пропорциональна квадрату амплитуда колебаний (для механических колебаний) или квадрату максимального заряда конден­сатора (для электрических колебаний) – см. соотношения (1.7) и (1.8). Следовательно, в любой момент времени

, (1.35)

где W₀ – начальный запас энергии осциллятора, _w = 1/2 – время релаксации энергии (оно в два раза меньше времени релак­сации амплитуды). Учитывая, что потеря энергии за период

, (1.36)

получаем

. (1.37)

В условиях очень малого затухания и соот­ношение (1.37) преобразуется к виду

. (1.38)

Отсюда следует ещё одно определение добротности (подчеркнем, что оно справедливо только при очень малом затухании):

. (1.39)

Заметим, что, поскольку время релаксации энергии равно _W = 1/2, можно дать “третье” определение добротности:

. (1.39,a)

Последнее выражение также правомерно в условиях очень малого затухания.

Обсудим теперь некоторые закономерности поведения осциллятора с большим затуханием ( > ₀). Как следует из (1.33), в этом случае решение дифференциального уравнения (1.30) таково:

. (1.40)

Здесь , .

Два параметра – А и В определяются из начальных условий (начальная координата и начальная скорость должны быть заданы). В частно­сти, если в начальный момент времени смещение равно нулю (напри­мер, маятник выводится из равновесия толчком), то (0) = А + В = 0 и А = В.

Соответствующая зависимость смещения от времени показана на рис.1.9(а). Если начальное отклонение от положения равновесия не равно нулю, то А  В; траектория движения тела для этого случая показана на рис.1.9 (б).

С равнивая рисунки 1.8 и 1.9, легко понять, почему режим с большим затуханием часто называют «апериодическим ». Существенно, что время возвращения системы к равновесию определяется в апериодическом режиме экспонентой с наибольшей постоянной времени . При очень силь­ном затухании ( >> ₀) эта постоянная времени может быть весьма большой (  ₁, ₁  ). Очевидно, режим с большим за­туханием нецелесообразно использовать при работе стрелочных при­боров, как, впрочем, и режим с малым затуханием – см. рис.1.8. С этой точка зрения наиболее интересен т.н. «критический » режим, когда выполняется условие  = ₀, т.е. ₁ = 0.

Критический режим широко используется в работе различных приборов, поскольку в этом режиме возвращение к положению равновесия происходит наиболее быстро.

В критическом режиме ₁ = ₂ , и решение (1.40) не может быть общим решением дифференциального уравнения второго порядка, по­скольку фактически в (1.40) останется только один параметр – множитель перед экспонентой. Легко показать, что решением уравнения (1.30) при  = ₀ является функция

. (1.41)

Параметр А в этом случае имеет смысл начального смещения (0), начальная скорость равна . Если начальное откло­нение от положения равновесия равно нулю (А = 0), то параметр В определяет величину начальной скорости осциллятора. В рассматриваемом слу­чае зависимость смещения тела от времени получается умножением спадающей экспоненты на функцию Bt – см. рис.1.10.

Д ифференцируя по времени и приравнивая производную нулю, на­ходим, что максимальное отклонение от положения равновесия до­стигается в момент времени . В этот момент

. (1.42)

Таким образом, максимальное отклонение от положения равновесия в рассматриваемом случае оказывается пропорциональным начальной скорости  . Это фундаментальное свойство осциллятора в критическом режиме используется в т.н. «баллистичес­ких» приборах (баллистических ма­ятниках, баллистических гальвано­метрах). В этих приборах конструк­тивными “ухищрениями” добиваются то­го, чтобы период колебаний (маят­ника, либо рамки гальванометра) был достаточно большим (существенно превышал время того воздействия t, которое предполагается исследовать – например, время соударения маятника с каким-либо телом или время протекания импульса тока через рамку гальванометра). Тогда импульс, который получает баллистический маятник за время t, можно считать пропорциональным начальной скорости маятника. Следовательно, максимальное отклонение маятника от положения равновесия с точностью до градуировочного множителя будет указы­вать величину сообщенного маятнику импульса (“количества движе­ния”).

Для баллистического гальванометра начальная скорость рамки также пропорциональна импульсу силы, действовавшей на рамку в течение времени t. Так как сила, действующая на рамку, пропорциональна протекающему по рамке току, то Ft  It  q. В этом случае максимальное отклонение рамки от положения равновесия пропорционально полному заряду q, протекшему через рамку за время t.

В заключение сделаем несколько замечаний о специфике затухающих колебаний в системе связанных осцилляторов. Во-первых, необходимо иметь в виду, что представление о нормальных модах колебаний в случае затухающих колебаний имеет смысл только в условиях небольшого затухания. Во-вторых, необходимо учитывать, что затухание может быть неодинаковым для разных мод, поскольку, например, пружины в случае механических колебаний или конденсаторы – в случае электрических “работают” для различных нормаль­ных колебаний по-разному. Наконец, очевидно, что небольшое за­тухание никак не может повлиять на фундаментальные свойства нормальных колебаний – соответствие между числом нормальных мод и количеством колебательных степеней свободы.

25

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов книги