А_Свободные колебания (1120515)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Колебания и волны. Волновая оптика

ГЛАВА I . КОЛЕБАНИЯ

§ 1. Колебания систем с одной степенью свободы.

Гармонический осциллятор

Круг явлений, которые получили название «колебания» очень широк. Для всех этих явлений типична повторяемость во времени. Прежде чем перейти к детальному рассмотрению колебательных явлений, проиллюстрируем их универсальность несколькими примерами из живой и неживой природы.

Периодичны смены дня и ночи, времен года, сна и бодрствования. Сердце человека (и других млекопитающих) работает настолько строго периодично, что даже небольшие отклонения от этой периодичности резко ухудшают самочувствие, а их анализ позволяет специалистам судить о причинах нездоровья (кардиограммы). Качели и маятники хорошо знакомы нам с детства; шелест листьев обусловлен дрожанием каждого листика под действием ветра; волны, раз за разом накатывающие на берег, вызывают повторяющийся шум прибоя. Химикам хорошо известны удивительные циклические процессы – реакции Белоусова – Жаботинского. Периодичность наблюдается в движении как гигантских объектов (таких, как планеты солнечной системы, звезды), так и микрочастиц – составных “кирпичиков” окружающего мира (атомов и молекул). Наконец, само развитие мира, как считают некоторые философы, происходит “по спирали”, т.е. опять-таки с “некоторой степенью повторяемости во времени”. Да и в жизни отдельного человека периоды активности (работа, учеба, экзамены) сменяются процессами «релаксации » (термин, также относящийся к теории колебаний) – расслабления и успокоения.

У бедившись в важности и актуальности колебательных явлений, попытаемся выяснить физическую причину столь широкого их распространения в природе. Вспомним, что фундаментальную роль в окружающем нас мире играют гравитационные, упругие и электростатические взаимодействия. Поля сил таких взаимодействий обладают одним важным общим свойством – они являются потенциальными. В дальнейшем для простоты мы будем по­лагать, что имеем дело с системой, состояние которой определяется только одной переменной (например, координатой х)^*). В этом случае потенциальная энергия U – функция только одной координаты. Для примера на рис.1.1 представлены возможные виды зависимостей U(x). В случае (а) потенциальная энергия не зависит от координаты (всюду постоянна), на си­стему не действует внешняя сила (F_x = –dU/dx = 0) и, в соответствии со вторым законом Ньютона, система движется равномерно и прямолинейно. В случае (б) на систему действует постоянная по величине сила F_x = –dU/dx = const, направлен­ная по оси Х; происходит равноускоренное движение по этой оси. Очевидно, наиболее общая ситуация изображена на рис.1.1(в) – потенциальная энергия в этом случае зависит от координаты каким-то более сложным образом (конкретный вид этой зависимости сейчас не играет существенной роли).

Предположим, что система находится вблизи одного из минимумов потенциальной энергии – в окрестности точки x₀. Легко видеть, что смещение системы из этой точки в любую сторону приведет к появлению силы, “возвращающей” систему к положению равновесия (эта сила так и называется – “возвращающей”). После достижения точки х₀ (“точки равновесия”) система по инерции пройдет эту точку, и снова возникнет возвращающая сила, направленная уже в другую сторону. Вот и начался колебательный процесс.

В общем случае зависимость смещения системы  = x – x₀ от времени может быть достаточно сложной – все зависит от конкретного вида функции U(x). Считая, что функция U(x) непрерывна и имеет все производные при x = x₀, её можно разложить вблизи этой точки в ряд Тейлора:

, (1.1)

где  = x – x₀. Очевидно, при малых отклонениях от точки x₀ основную роль будет играть член с наименьшей степенью . Учиты­вая, что в минимуме dU/dx = 0, разложение (1.1) прибли­женно можно переписать в виде:

, (1.2)

где введено обозначение . В этом случае на систему вблизи точки x = x₀ будет действо­вать сила

, т.е. . (1.3)

Видно, что знак проекции силы всегда противоположен знаку смещения и в случае малых отклонений от положения равновесия величина возвращающей силы пропорциональна смещению от положения равновесия (как для идеальной пружины). Поэтому такую силу называют «квазиупругой ». В частном случае колебаний грузика на пружине эта сила является упругой, а соотношение (1.3) отражает закон Гука.

Второй закон динамики для механической системы, находящейся вблизи положения равновесия, с учетом вышесказанного можно записать в форме

. (1.4)

После деления на m и переноса в левую часть, это равенство приобретает вид, получивший название «уравнение гармонического осциллятора »:

, где . (1.4,а)

С математической точки зрения, это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Общее решение такого уравнения может быть записано в виде гармонической функции (в чём нетрудно убедиться подстановкой)

(t) = A cos(₀t + ₀). (1.5)

Величина ₀ играет роль частоты собственных гармонических колебаний системы. Она определяется только свойствами самой колебательной системы (осциллятора – от английского глагола “to oscillate” – колебаться). Постоянные А и j₀ называются амплитудой и начальной фазой коле­баний, соответственно. Их величина существенно зависит от способа возбуждения колебаний в системе – так называемых начальных условий. Для определения амплитуды и начальной фазы нужно знать началь­ное отклонение системы от положения равновесия ₀ = (0) и начальную скорость .

Таким образом, «гармоническим осциллятором » является любая система, совершающая колебания по закону (1.5) (и, соответственно, подчиняющаяся уравнению типа (1.4,а)).

Подчеркнем, что «гармонический осциллятор» – некая физическая идеализация. Модель гармонического осциллятора может быть использована только в тех случаях, когда правомерно пренебрежение членами высших порядков в разложении потенциальной энергии системы (1.1) (т.е. когда амплитуда колебаний достаточно мала) и отсутствуют диссипативные силы (например, силы трения).

В заключение этого параграфа продемонстрируем полную аналогию в описании механических и электрических колебаний. На рис.1.2,а показан простейший механический осциллятор – тело массой m на пружине с коэффициентом упругости k, которое может скользить по гладкой горизонтальной поверхности. Уравнение движения тела (второй закон Ньютона) в этом случае (без учета сил трения) в точности совпадает с ранее полученным нами уравнением (1.4): .

Для идеализированного электрического контура без потерь энергии (см. рис.2,б) напряжение на конден­саторе равно ЭДС самоиндукции на катушке _si :

. (1.6)

С учётом того, что сила тока в контуре , имеем:

или , (1.6,а)

где q и С – заряд и емкость конденсатора, L – индуктивность катушки, .

Таким образом, механический осциллятор без трения и электрический LC-контур без омического сопротивления описываются идентичными с математической точки зрения уравнениями (1.6,а) и (1.4,а). Очевидно, величина q, как и отклонение механической системы от положения равновесия , с течением времени изменяется по гармоническому закону (1.5). Как нетрудно подметить, в случае электрической системы аналогами , A, m и k являются величины q, q₀, L и 1/C, соответственно.

Энергия механического осциллятора, показанного на рис.1.2, складывается из кинетической энергии тела Т и потенциальной энергии деформи­рованной пружины U:

. (1.7)

Используя отмеченную выше аналогию между параметрами механической и электрической систем, полную колебательную энергию, запасенную в электрическом контуре, можно записать в виде

. (1.8)

Первое слагаемое в соотношении (1.8) представляет собой энергию электрического поля конденсатора, второе – энергию магнитного поля катушки индуктивности.

*⁾ О таких системах принято говорить, что они имеют одну степень свободы.

7

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов книги