Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Колебания и волны. Волновая оптика

§ 3. Условия наблюдения интерференции

В предыдущем параграфе, рассматривая интерференцию моно­хроматических гармонических волн от двух точечных источников, мы преднамеренно идеализировали реальную картину интерферен­ции. Действительно, в природе и технике нет источников, испускающих строго гармонические волны одной частоты; также как нет источников волн бесконечно малых размеров (“точечных” источников).

Поэтому необходимо выяснить, при каких условиях в реальных ситуациях возможно наблюдение интерференции волн.

1. Сначала обсудим, в какой степени осложняет наблюдение интерференции немонохроматичность волн. Начнем анализ с простейшего случая, когда в спектральный состав источника входит всего два значения частоты ₁ и ₂, мало отличающиеся друг от друга. Предположим, что в какой-то точке пространства А в момент времени t = 0 две волны с частотами ₁ и ₂, интерферируя, дают усиление колебаний – см. рис.3.4.

Н а рисунке колебания, возбуждаемые этими волнами в точке А, показаны отдельно, хотя мы будем считать, что волны распространяются по одной прямой. Если время измерений равно t₁ (см. рис.3.4), то разность фаз между колебаниями ₁ и ₂ изменится незначи­тель-но, эти колебания по-прежнему усиливают друг друга. Если время, необходимое для измерения интенсивности больше – t₂, то усреднение результатов сложения колебаний все ещё будет отличаться от случая сложения интенсивностей (отсутствие интерференции) и колебания всё ещё можно считать когерентными. Когерентность колебаний ₁ и ₂ полностью нарушится через время t = _k, когда эти колебания будут уже не усиливать, а ослаблять друг друга ( = ) – см. рис.3.4. Время, за которое это произойдет, называется временем когерентности _k. Из вышесказанного следует, что в случае интерференции двух монохроматических волн с отличающимися частотами время когерентности равно .

Перейдём к более реалистичной модели источника света. Обычно приходится иметь дело с источниками, частоты излучения которых распределены в некотором интервале от ₁ до ₂ = ₁ +  (“сплошной спектр”). Мы будем полагать для простоты, что интенсивности волн для всех частот в этом интервале одинаковы – см. рис.3.5,а.

Е сли в начальный момент времени t = 0 фазы всех ко­лебаний совпадают (как это проиллюстрировано для двух волн на рис. 3.4), то в этот момент все волны усиливают друг друга. Эффект усиления исчезнет через некоторое время, когда наложение волн будет приводить к их взаимному ослаблению. Покажем, что в рассматриваемом случае это произойдет в момент времени t = _к, когда между “крайними” волнами (в спектральном смысле – с частотами ₁ и ₂ = ₁ + ) накопится разность фаз, равная 2. В этот момент фаза “первой” волны равна ₁ = ₁t, а фаза “последней” ₂ = ₂t = ₁ + 2. Фазы всех остальных волн будут равномерно распределены в интер­вале от ₁ до ₂ – см. рис.3.5,б. Разобьём этот интервал на 2N одинаковых малых участков. Любым двум участкам с номерами n  N (на левой половине рис.3.5,б) и n + N (на правой половине этого рисунка) соответствуют волны, отличающиеся по фазе на , следовательно, эти волны взаимно уничтожатся. Тогда, в момент времени t = _k вместо усиления волн будет наблюдаться их полное взаимное подавление.

Итак, для источников, излучение которых происходит в полосе частот , время когерентности равно

(3.20)

Число колебаний, которое произойдёт за время когерентности, мы будем называть числом когерентных колебаний:

(3.21)

Отметим, что число когерентных колебаний равно максимальному порядку интерфе­ренции, который можно наблюдать при такой немонохроматичности источника.

Длиной когерентности называется расстояние, на которое распространяется волна за время когерентности:

(3.22)

Колебания в пределах любого цуга волн длиной l_k остаются когерентными.

Очевидно, что чем более немонохроматическим является источник волн, тем меньше для этого источника длина когерентности, число когерентных колебаний и время когерентности.

С учетом (3.22) соотношение (3.20) может быть записано в несколько иной форме

(3.23)

Для солнечного света  = 400–760 нм, число когерентных колебаний , а длина когерентности порядка 1-2 длин волн . Поэтому ясно, что если в схеме опыта Юнга, показанной на рис.3.3, спектральный состав излучения “первичного” точечного источника S такой же, как Солнца, то будет наблюдаться интерференционная картина, состоящая из центрального (нулевого, m = 0) максимума и двух (–четырёх) ближайших к нему максимумов первого (и возможно второго) порядка (m = 1, 2). При раз­ности хода между волнами 1 и 2 (см. рис.3.3), превышающей две длины волны, когерентность между ними будет потеряна (макси­мальный порядок интерференции – максимально возможное число m в соотношении (3.18) – равно числу когерентных колебаний N_k).

Используя светофильтры (т.е. уменьшая ), можно существенно улучшить условия наблюдения интерференции. Источником наиболее монохроматического излучения (помимо лазеров) являются отдельные возбуждённые атомы, спектр излучения которых состоит из узких линий («линейчатый» спектр). Однако и в этом случае испускаемая волна не является строго гармонической, т.к. возбуждённый изолированный атом излучает в течение интервала времени _к  10^-8 с, и за это время испускается “цуг” гармонических волн длиной l = v_k (в вакууме или в воздухе l  3 м). Длина такого цуга волн по существу является длиной когерентности для излучения отдельного атома. Началь­ная фаза следующего акта испускания волн никак не связана с фазой предыдущего, поэтому колебания в двух последовательных цугах некогерентны. В лазерах за счет согласованного излучения многих атомов ак­тивного вещества достигаются длины когерентности, на несколько порядков большие, чем для излучения отдельного атома.

2. Рассмотрим теперь, как условия наблюдения интерференции зависят от размеров источника. Сначала предположим, что мы име­ем точечный и монохроматический источник излучения S. Волновые поверхности для такого источника имеют вид сфер (на рис.3.6 пунктиром показана одна из них). По определению, любые две точ­ки, расположенные на одной волновой поверхности, должны совершать коле­бания в одной и той же фазе. Как нам в этом удостовериться? Используем для этого уже известную нам схему Юнга. Поставим непрозрачную преграду с двумя маленькими отверстиями на пути волны, распространяющейся от источника S. На некотором расстоянии за преградой по­местим экран, на котором будем наблюдать интерференционную картину. Если волны, распрос-траняющиеся от двух отверстий в преграде, когерент­ны, то интерференционная картина должна уверенно регистриро­ваться (результат такого эксперимента мы уже обсу­дили в предыдущем параграфе).

В несём в нашу задачу осложнение – будем предполагать, что источник продолжает оставаться монохроматическим, но теперь имеет конечные размеры D (на рис.3.6 показана “крайняя” точка источника – S₁). Очевидно, что интерференционная карти­на от точки S₁ на экране будет смещена относительно интерфе­ренционной картины от точки S на угол ₀ = D/2L, где L – расстояние от источника до преграды (т.е. до интересующей нас волновой поверхности). Если ₀ > ₀, где ₀ – угловое положе­ние первого минимума интерференционной картины от точки S, соответствующего m = 0 в соотношении (3.13), то полная интер­ференционная картина от всего протяжённого источника окажется настолько “смазанной”, что наблюдать перераспределение энергии в пространстве не удастся. А это и означает, что выбранные нами две точки на сферической поверхности (два отверстия в преграде) испускают некогерентные волны.

Итак, интерференцию волн от протяженного источника можно наблюдать только при выполнении неравенства ₀ > ₀. Учитывая, что согласно (3.13) , приходим к такому условию наблюдения интерференции

. (3.24)

Это неравенство можно переписать несколько иначе:

D < r_k = _k·L. (3.25)

В соотношении (3.25) введены т.н. «радиус когерентности» r_k и «угол когерентности» _k:

, . (3.26)

Здесь  = 2₀ = D/L – угловой размер источника волн.

П о физическому смыслу радиус когерентности – это размер области на сферической поверхности, окружающей источник, в пределах которой колебания можно считать когерентными. Разме­ры этих областей обратно пропорциональны размерам источника – см. рис.3.7. Угол когерентности – это телесный угол, в который протяжённый источник испускает когерентные волны. Чем больше размеры источника, тем этот угол меньше. Из (3.26) очевид­но, что источник волн может считаться точечным, если его размеры меньше или, во всяком случае, порядка длины волны.

Д ля солнечного света ра­диус когерентности легко подсчитать, если учесть, что угловой размер Солнца   0,01 рад: 5·10^-3 см. Поэтому, чтобы наблюдать интерференционную картину в опыте, показанном на рис.3.6, расстояние между отверстиями в преграде должно быть меньше 5·10^-3 см, что трудно экспериментально осуществить. Лишь в начале XIX в. Томас Юнг впервые наблюдал интерфе­ренцию с использованием солнечного света от двух точечных источников (отверстий в непрозрачном экране). Существенно, что интерференцию можно было на­блюдать только в том случае, когда между экраном с двумя отверстиями и Солнцем располагалась еще одна преграда с небольшим отверстием – см. рис.3.8. На­значение этой дополнитель­ной преграды понятно – с её помощью удается уменьшить угловые размеры “первичного” источника и, следовательно, увеличить радиус когерентности.

Введем еще одну характеристику, определяющую степень когерентности излучения – объём когерентности

. (3.27)

Объем когерентности определяет объем той области пространства, в которой испускаемые источником волны когерентны.

76

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов книги