2-3 (1118060)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

3. Простейшая задача вариационного исчисления (задача с закреплённымиконцами).Будем рассматривать множество функций E ' ⊆ E = C (1) [a, b] такое, что:E ' = { y ∈ C (1) [a, b], y (a ) = y 0 , y (b) = y1 } .Числа y0, y1 заданы. Тем самым, рассматривается множество непрерывнодифференцируемых на [a, b] функций, у которых известны значения на концах отрезка(концы закреплены).Будем рассматривать функционалbV [ y ] = ∫ F ( x, y, y ' )dx .aПростейшая задача вариационного исчисления (задача с закрепленными концами):найти экстремум этого функционала на множестве E’.В вариационном исчислении принята следующая терминология.

Будем говорить,что на функции y 0 ( x) достигается сильный минимум, если V [ y ] ≥ V [ y 0 ] для всякого y∈E’из окрестности y0 в метрике пространства С[a, b] : max y ( x) − y 0 ( x) ≤ r , r > 0 (шар сx∈[ a ,b ]центром в y0 радиуса r).Определение слабого минимума дается аналогично, но окрестность выбирается вметрике C (1) [a, b] :max y ( x) − y 0 ( x) + max y' ( x) − y 0 ' ( x) ≤ r , r > 0 .x∈[ a ,b ]x∈[ a ,b ]В первом случае требуется, чтобы функции y(x) были равномерно «близки» к функцииy0(x), а во втором случае дополнительно требуется равномерная «близость» и первыхпроизводных. Очевидно, что, если функционал имеет сильный минимум в точке y 0 (x), тоон имеет и слабый минимум в той же точке. Обратное, вообще говоря, неверно.Определения слабого и сильного максимума даются аналогично.

Необходимоеусловие экстремума, полученное в предыдущем параграфе, δV ( y 0 , h) = 0 , справедливо какдля слабого, так и для сильного экстремума. Получим необходимое условие для задачи сзакрепленными концами. Для этого посчитаем вариациюdδV ( y 0 , h) = V [ y + th]t = 0 .dtbddCначала вычислим производнуюV [ y + th] = ∫ F ( x, y + th, y '+th' )dx , предполагая, чтоdtdt aфункция F имеет все необходимые для этого непрерывные частные производные.Относительноh( x) ∈ C (1) [a, b]потребуем,чтобыy ( x) + th( x) ∈ E ' .Отсюдаh(a ) = 0; h(b) = 0 . Перейдем к вычислению производнойbdV [ y + th] = ∫ [ Fy ( x, y + th, y '+th' )h + Fy ' ( x, y + th, y '+th' )h' ]dx .dtaПолагая t=0 и приравнивая нулю получившуюся вариацию, получаем, что для функцииy (x) , на которой достигается экстремум, имеет местоbδV ( y, h) = ∫ [ Fy ( x, y, y ' )h + Fy ' ( x, y, y ' )h' ]dx = 0 .aРазобьем интеграл на два и проинтегрируем по частям второй:b dbb∫ Fy ' h' dx = Fy ' h a − ∫ Fy ' h dx .#"! a dxa=0bПодстановка Fy ' h a = 0, так как h(a) = h(b) = 0.

Объединяя оба интеграла в один, получаемbdFy ' )h dx = 0 .dxaНиже мы докажем, что, если этот интеграл равен нулю для любой функцииh( x) ∈ C (1) [a, b] , обращающейся в нуль на концах отрезка h(a ) = h(b) = 0 , тоd( Fy − Fy ' ) ≡ 0 , при условии, что в скобках стоит непрерывная функция. Поэтому вdxкачестве необходимого условия экстремума для задачи с закрепленными концами мыполучаем следующую краевую задачу для уравнения Эйлера:d( Fy − Fy ' ) = 0.dx y (a ) = y 0 , y (b) = y1∫ (Fy−Теорема (Необходимое условие экстремума для задачи с закрепленнымиконцами).

1) Пусть y (x) осуществляет экстремум (сильный или слабый) в задаче сзакреплёнными концами. 2) Функция F ( x, y, y ' ) обладает непрерывными частнымипроизводными до второго порядка включительно. 3) y (x) является дважды непрерывнодифференцируемой.Тогда y (x) является решением краевой задачи для уравнения Эйлераd( Fy − Fy ' ) = 0,dx y (a ) = y 0 , y (b) = y1илиFy − Fy ' x − Fy ' y y '− Fy ' y ' y" = 0; y (a ) = y 0 , y (b) = y1 .Теорема уже доказана.Основная лемма вариационного исчисления. Пусть ϕ (x) - фиксированнаяbнепрерывнаяна[ a, b]функция,и∫ ϕ ( x)h( x)dx = 0длявсякойнепрерывноaдифференцируемой функции h(x) такой, что h(a ) = h(b) = 0 . Тогда ϕ ( x) ≡ 0 .Доказательство.

Пусть ϕ (x) не равна тождественно нулю. Не ограничиваяобщности, будем считать, что эта функция принимает положительные значения (еслиϕ ( x) ≤ 0 для всех x∈[a, b], то заменим ϕ (x) на − ϕ (x) ) Тогда в силу непрерывности ϕ (x)ϕ ( x0 ) > 0 ,x 0 ∈ ( a , b)такая,чтоиинтервалсуществуютточкаϕ ( x0 )[ x0 − δ , x0 + δ ] ⊆ (a, b), δ > 0 такой, что ϕ ( x) ≥для любого x ∈ [ x0 − δ , x0 + δ ] .2Пусть теперь h(x) - непрерывно дифференцируемая функция такая, что:h( x) ≡ 0, x ∉ ( x0 − δ , x0 + δ );h( x) > 0, x ∈ ( x0 − δ , x0 + δ ).x0 +δx +δbϕ ( x0 ) 0Тогда ∫ ϕ ( x)h( x)dx = ∫ ϕ ( x)h( x)dx ≥h( x)dx > 0 , что приводит к противоречию с∫2ax0 −δx0 −δусловием Теоремы.

В качестве примера функции h(x), удовлетворяющей записаннымвыше условиям, можно привести( x − ( x0 − δ )) 2 ( x − ( x 0 + δ )) 2 , x ∈ ( x0 − δ , x0 + δ );h( x) = , x ∉ ( x0 − δ , x0 + δ ). 0Приведем некоторые простые примеры:π1. Пусть V [ y ] = ∫ y 2 dx , а граничные условия0а) y (0) = 0, y (π ) = 0 .Уравнение Эйлера в этом случае имеет вид2 y = 0,Его решение, удовлетворяющее граничным условиям, y=0. На этом решении, очевидно,достигается минимум функционала.

Если же граничные условия имеют видб) y (0) = 0, y (π ) = 1 ,то краевая задача для уравнения Эйлера не имеет решения в классе непрерывнодифференцируемых функций.π2. Пусть V [ y ] = ∫ ( y 2 − ( y ') 2 ) dx , а граничные условия0y (0) = 0, y (π ) = 0 .Уравнение Эйлера в этом случае имеет видy"+ y = 0 .Его общее решение y = C1 sin x + C2 cos x . Краевая задача имеет бесконечно многорешений ( C2 = 0 , C1 - произвольная постоянная).Рассмотрим некоторые частные случаи зависимости функции F ( x, y , y ' ) от своихаргументов.1) F ( x, y , y ' ) = F ( x, y ) . Уравнение Эйлера имеет видF y ( x, y ) = 0 .Это уравнение не является дифференциальным, поэтому его решение (если оносуществует), вообще говоря, не удовлетворяет граничным условиямy (a ) = y 0 ; y (b) = y1 .Решение краевой задачи для уравнения Эйлера, вообще говоря, не существует.2) F ( x, y, y ' ) = M ( x, y ) + N ( x, y ) y ' (линейность по y').

Уравнение Эйлера имеет видdN ( x, y ) = M y + y ' N y − N x − y ' N y = 0,M y + y' N y −dxилиM y − Nx = 0 .Полученное уравнение не является дифференциальным. Краевая задача для уравненияЭйлера, вообще говоря, не имеет решения.3) F = F ( y ' ) . Уравнение Эйлера имеет видFy ' y ' y" = 0.Отсюда получаем два уравнения:y"= 0 (его общее решение y = C1 x + C 2 , C1, C2 – произвольные постоянные) иF y ' y ' ( y ' ) = 0.Если ki – корни последнего уравнения, то соответствующие решения уравнения Эйлера~y ' = k i ⇒ y = k i x + Ci .Итак, решениями уравнения Эйлера являются прямые.Рассмотрим функционал l[ y ] =x1∫1 + ( y ' ( x)) 2 dx;y ( x0 ) = y 0 ; y ( x1 ) = y1 (длина кривой,x0соединяющей две точки на плоскости).

Сказанное выше описывает известный факт, чтосреди всех кривых, соединяющих две точки плоскости ( x 0 , y 0 ), ( x1 , y1 ) , минимальнуюдлину имеет отрезок прямой.4) F = F ( x, y ' ) . Уравнение Эйлера имеет видdF y ' ( x, y ' ) = 0dxилиF y ' ( x, y ' ) = C .5) F = F ( y , y ' ) .

Уравнение Эйлера имеет видFy − Fy ' y y ′ − Fy ' y ' y" = 0 ,илиd( F − y ' Fy ' ) = 0.dxЭто уравнение, очевидно, имеет первый интегралF − y ' Fy ' = C.Рассмотрим теперь классическую задачу о брахистохроне - кривой, по которойматериальная точка в поле тяжести скатывается за наименьшее время из точки (0, 0) вточку ( x1 , y1 ) . Эта задача была решена Иоганном Бернулли еще в 1696 году.Для упрощения рассмотрения на плоскости (x, y) ось y направлена вниз. В том женаправления действует и сила тяжести. Заметим, что при движении в поле силы тяжестиdS= 2gy ; S - длина пути, g – ускорение свободного падения.dtС другой стороныdS = 1 + ( y ' ) 2 dx.y=y(x) – траектория движения материальной точки. Время движения по траектории y=y(x)равноT [ y] =1x11 + ( y' ) 22g0y∫dx.Найдем траекторию y=y(x), для которой функционал T[y] принимает минимальноезначение.

Заметим, что подынтегральная функция не зависит явно от x, и вместоуравнения Эйлера запишем сразу его первый интеграл.F − y ' Fy ' = C ,или1 + ( y' ) 2y−( y' ) 2y (1 + ( y ' ) 2 )= C.Отсюда1y (1 + ( y ' ) )2Вводя параметр t:находим= C ; y (1 + ( y ' ) 2 ) = C1 .y ' = ctg t ,y=CC1= C1 sin 2 (t ) = 1 (1 − cos(2t )).221 + ctg (t )Теперь найдем x:Cdy 2C1 sin t cos t dt== 2C1 sin 2 t dt = C1 (1 − cos 2t ) dt ; x − C 2 = 1 (2t − sin 2t ).dx =2y'ctg tИз выражений для x(t), y(t) и условия y (0) = 0 , находим C 2 = 0 .

После замены 2t = t1 ≥ 0C~и 1 = C1 получаем уравнение брахистохроны2~x = C1 (t1 − sin t1 );~y = C1 (t1 − cos t1 ).~Итак, брахистохрона – это циклоида. C1 находится из условия y ( x1 ) = y1 .Рассмотрим теперь задачу с закрепленными концами для функционала:b∫ F ( x, y, y ' ,...., y(n))dx.aГраничные условия имеют вид:y (a ) = y 0(1) , y (b) = y 0( 2 ) ;y ' (a ) = y1(1) , y ' (b) = y1( 2 ) ;...............y ( n −1) (a ) = y n(1−)1 , y ( n −1) (b) = y n( 2−)1 .Напишите сами (!!!) уравнение Эйлера для этой задачи.Пусть теперь функционал имеет видbV [ y ] = ∫ F ( x, y1 ,...

y n ; y1′ ,... y n′ ) dx,ay = ( y1 ,... y n ) - вектор-функция. Рассмотрим задачу с закрепленными концами:y i (a ) = Ai ;y i (b) = Bi ,где i = 1,...n; Ai , Bi - заданные числа.Теорема. Пусть: 1) y1 ( x),... y n ( x) осуществляют экстремум функционала V [y ] взадаче с закрепленными концами; 2) F ( x, y1 ,... yn ; y1′ ,... yn′ ) имеет непрерывные частныепроизводные до второго порядка включительно; 3) y1 ( x),... y n ( x) дважды непрерывнодифференцируемы на отрезке [a, b] . Тогда y1 ( x),... y n ( x) удовлетворяют системе уравненийЭйлера:dFy ′ = 0 Fy i −, где i = 1,...n .dx i yi ( a ) = Ai ; yi (b) = Bi ;Для доказательства сформулированного выше необходимого условия экстремумадостаточно заметить, что если вектор-функция y(x)=( y1 ( x),...

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций