1-7 (1118053)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

§7. Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке.Пусть D – оператор, вообще говоря, нелинейный, действующий из банаховапространства B в себя.Оператор D называется сжимающим (или сжимающимОпределение.отображением),еслисуществуетконстантаq:0≤q<1,такая,чтоDy1 − Dy 2 ≤ q y1 − y 2 .∀ y1 , y 2 ∈ BОчевидно, что сжимающий оператор является непрерывным.Определение. Элемент y называется неподвижной точкой оператора D, еслиDy = y .Ниже мы докажем, что у сжимающего оператора, действующего в банаховомпространстве, есть и при том единственная, неподвижная точка. Напомним, что банаховопространство – это полное нормированное пространство, и при доказательстве мы будемиспользовать полноту пространства B.Сначала докажем одно вспомогательноеутверждение.

Будем называть рядом следующую бесконечную сумму:∞z1 + z 2 + ... + z n + ... = ∑ z nz n ∈ B, n = 1,2,... ,n =1Nа его частичной суммой: S N = ∑ z n .Как обычно, определим сходимость ряда какn =1сходимость последовательности частичных сумм: если S N → S , S N , z n ∈ B , то говорят,N →∞что ряд сходится, а S называется его суммой.Поскольку пространство B полное, то необходимым и достаточным условиемсходимости ряда является критерий Коши: ∀ ε > 0 ∃N∀n ≥ N ∀pn+ p∑zk≤ε .k = n +1znТеоремаВейерштрассасходимостиряда).(признакПусть≤ a n , a n ≥ 0, n = 1,2,...

( a n - последовательность неотрицательных чисел). Тогда из∞∞n =1n =1сходимости числового ряда ∑ a n следует сходимость ряда ∑ z n .Доказательство.Из неравенства треугольника и условия теоремы следуетn+ pn+ pn+ pk = n +1k = n +1k = n +1∑ z k ≤ ∑ z k ≤ ∑ ak .Запишем критерий Коши как необходимое условие сходимости числового ряда изak: для ∀ ε > 0 ∃N∀n ≥ N ∀pn+ p∑ak≤ ε .

Из этого неравенства и неравенства,k = n +1полученного в начале доказательства теоремы, следует, что, начиная с этого номера,n+ p∑zk≤ ε , т.е. выполняется критерий Коши как достаточное условие сходимости ряда вk = n +1банаховом пространстве B.Теорема (о неподвижной точке).

Пусть D – сжимающий оператор. Тогдасуществует, и притом единственная, точка y ∈ B такая, что Dy = y . Эта точка может бытьнайденаметодомпоследовательныхприближений(простойитерации):y n+1 = Dy n , n = 0,1,2,... , y0 ∈ B - произвольная фиксированная точка из B (начальноеприближение), причем y n → y : Dy = y .Доказательство.1) Единственность. Пусть существуют две неподвижные точкиy1 иy2 :Dy1 = y1 , Dy 2 = y 2 , y1 ≠ y 2 . Тогда 0 < y1 − y 2 = Dy1 − Dy 2 ≤ q y1 − y 2 < y1 − y 2 , и мыприходим к противоречию.

Единственность доказана.2) Существование. Построим последовательность методом последовательныхприближений (методом простой итерации): зададим произвольное начальноеприближение y0 ∈ B и построим последовательность y n+1 = Dy n , n = 0,1,2,... . Докажемсходимость последовательности y n+1 . Вместо изучения сходимости последовательностимы будем изучать сходимость ряда y n +1 = ( y n +1 − y n ) + ( y n − y n −1 ) + ... + ( y1 − y 0 ) + y 0 .$!#!"общийчлен рядаТогда: y n+1 − y n = Dy n − Dy n−1 ≤ q y n − y n −1 ≤ ...

≤ q n y1 − y0 , 0 ≤ q < 1 . Отсюда общий$!#!"=constчлен ряда мажорируется членом бесконечно убывающей геометрической прогрессии , а,тем самым, y n сходится по признаку Вейерштрасса: y n → y, y ∈ B .Покажем, что Dy = y , т.е. y – неподвижная точка. Пусть это не так: Dy = ~y, ~y ≠ y.~~Тогда 0 < y − y ≤ y − y + y − y = Dy − Dy + y − y ≤ q y − y + y − y → 0 , изn +1n +1n +1nnn +1n→∞чего следует, что y − ~y = 0 или y = ~y . Теорема доказана.Теорема. Пусть D - оператор, отображающий банахово пространство B в себя, исуществует натуральное число k такое, что D k - сжимающий оператор. Тогда существуетединственная неподвижная точка оператора D (такая, что Dy = y ), причем y может бытьнайденометодомпоследовательныхприближений:длялюбогоy0 ∈ By n +1 = D y n , n = 0,1,... , y n → y .Доказательство. 1) Возьмем любой элемент y 0 и получим последовательность:y0y1 … y k −1yky k +1 …y 2 k −1y 2k , …↑↑↑↑↑D y0D k −1 y 0 D k y 0 D k +1 y 0 … D 2 k −1 y 0Рассмотрим подпоследовательности:y 0 , y k , y 2 k ,...

→ y (т.к. D k - сжимающий).↑D 2k y 0y1 , y k +1 , y 2 k +1 ,... → y ( y то же, т.к. D k -сжимающий, и его неподвижнаяточка не зависит от выбора начального приближения в методе последовательныхприближений).………y k −1 , y 2 k −1 , y3k −1 ,... → y .Вернемсякисходнойпоследовательности:онасостоитизkподпоследовательностей, каждая из которых сходится к y . Отсюда легко следует(докажите!!!), что и вся последовательность сходится к y .

Очевидно, что элемент yявляется неподвижной точкой оператора D k .2) Докажем, что неподвижные точки операторов D и D k совпадают. Пустьy = Dy . Подействуем слева и справа оператором D (k − 1) раз: y = D k y , т.е.неподвижная точка оператора D является неподвижной точкой оператора D k : y = D k y .В силу того, что D k - сжимающий оператор, а, следовательно, имеет только однунеподвижную точку, оператор D неподвижная точка оператора D единственна (если онасуществует).ДокажемобратноеDy = D( D ) y = D ( D y ) → y ,k nnkn →∞утверждение:посколькупустьметодy = Dk y .простойТогдаитерациирассмотрим:сходитсякнеподвижной точек независимо от начального приближения. В результате y = D y .Теорема доказана..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций