1-6 (1118052)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

§6. Неоднородные уравнения Фредгольма 2-го рода с симметрическимиядрами.Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода:by ( x) = λ ∫ K ( x, s ) y ( s ) ds + f ( x) ≡ λAy + f .aПусть ядро K ( x, s ) непрерывно по совокупности переменных, симметрическое и≢ 0; λ - вещественное число ( λ ≠ 0 , в противном случае решение находитсятривиально);f (x) - заданная непрерывная функция; λ1 ≤ λ 2 ≤ ... ≤ λ n ≤ ... последовательность характеристических чисел интегрального оператора, которымсоответствует ортонормированная система собственных функций ϕ 1 , ϕ 2 ,..., ϕ n ,...Допустим, что решение уравнения существует. Преобразуем искомую функцию так,чтобы она стала истокопредставимой. Для этого будем искать решение в виде:y ( x) = f ( x) + g ( x) . Подставляя в исходное уравнение, получаемbf ( x) + g ( x) = λ ∫ K ( x, s ) ( f ( s ) + g ( s ) )ds + f ( x) .aСократив f(x), получим уравнение для g(x), операторная форма которогоg = λA( g + f ) .Решение этого уравнения, если оно есть, является истокопредставимым.

Следовательно,по теореме Гильберта-Шмидта, функция g (x) может быть разложена в равномерно иабсолютно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям ядра K ( x, s ) :∞g ( x) = ∑ g k ϕ k ( x) .k =1Вычисляя коэффициенты Фурье функций g и λA( g + f ) , получаемϕ  λ(g k + f k ) k = 1,2,...g k = λ (A( g + f ), ϕ k ) = λ (g + f , Aϕ k ) = λ  g + f , k  =λk  λkПолучаем систему уравнений: g k (λ k − λ ) = λ f k , k = 1,2,...Возможны два случая:λf k .

Тогда можно формально записать ряды Фурье1) λ ≠ λ k , k = 1,2,... Тогда g k =λk − λ∞∞λλдля g (x) :g ( x) = ∑f k ϕ k ( x) , и для y(x): y ( x) = f ( x) + ∑f k ϕ k ( x) . Чтобыk =1 λ k − λk =1 λ k − λпостроенный ряд Фурье на самом деле являлся решением, достаточно доказать, что этот рядсходится равномерно на [a,b].Заметим, что, поскольку λk→∞, то, начиная с некоторого номера,λλλ1=≤5.λk − λ λk 1 − 1λkλkТогда для достаточно больших n и любого натурального pn+ pn+ pf k ϕ k ( x)λϕλ≤f(x)5.∑∑kkλk − λλkn +1n +1Далее, как в предыдущем параграфе, можно доказать, что выполняется критерий Кошикак достаточное условие равномерной сходимости, т.е. ряд Фурье сходитсяравномерно.Замечание.

Можно записать решение уравнения в следующем виде:b∞y ( x) = f ( x) + λ ∑∫ f ( s) ϕk( s ) ds ⋅ ϕ k ( x)a.λk − λПредположим, что можно поменять местами суммирование и интегрирование:b ∞ ϕ ( x)ϕ k ( s)  f ( s ) ds ,y ( x) = f ( x) + λ ∫  ∑ kλk − λ a  k =1$!!#!!"k =1R ( x , s ,λ )bили y ( x) = f ( x) + λ ∫ R( x, s, λ ) f ( s ) ds .

В операторной форме уравнение Фредгольма 2-гоaрода имеет вид: y = λ A y + f , или ( I − λ A) y = f . Т.к. решение существует иединственно, то y = ( I − λ A) −1 f = f + λ Rλ f , где R λ - интегральный оператор с ядромR( x, s, λ ) . В операторном виде полученный результат можно записать и так:( I − λ A) −1 = I + λ Rλ .Определение.

Ядро R( x, s, λ ) называется резольвентой.Рассмотрим теперь случай:2) λ = λ ko . Пусть сначала λko – простое характеристическое число. Тогда приλ fk.k ≠ k 0 : (λk − λ ) g k = λ f k ; k = 1,2,...; k ≠ k 0 , и g k =λk − λПри k=k0: 0 ⋅ g ko = λ ⋅ f ko , λ ≠ 0 .Еслиf ko ≠ 0 , f ko = ( f ,ϕ ko ) , то уравнение не имеет решения. Следовательно, иисходное уравнение не имеет решений. Если же f ko = 0 , то получаем бесконечно многорешений: g ko = c ko , cko - произвольная постоянная.Если же λ ko - характеристическое число кратности r , то получаем системууравнений:0 ⋅ g ko = λ f ko0 g ⋅ ko +1 = λ f ko +1.%0 ⋅ g ko + r −1 = λ f ko + r −1Система имеет решение тогда и только тогда, когда все коэффициенты Фурьеf ko , f ko +1 , % , f ko + r −1 равны нулю. Если хотя бы один коэффициент Фурье не равен нулю,то система не имеет решений, а, следовательно, и исходное уравнение не имеетрешений.

Другими словами, условием разрешимости является ортогональность f (x)всем собственными функциям, соответствующим характеристическому числу λ . В этом∞λ fkϕ k ( x) + cko ϕ ko ( x) + ... + cko+ r −1ϕ ko+ r −1 ( x) ,случае: y ( x) = f ( x) + ∑λk − λk =1k ≠ ko...k ≠ k0 + r −1где c ko ,..., c ko + r − 1 - произвольные константы. Бесконечный ряд, записанный вданном выражении, сходится абсолютно и равномерно.В результате проведенного исследования мы доказали две следующие теоремы.Теорема. Если однородное уравнение Фредгольма 2-го рода с непрерывнымсимметрическим ядром имеет только тривиальное решение (т.е. λ ≠ λ k , k = 1,2,...

), тонеоднородное уравнение имеет, и при том, единственное, решение для любой функцииf (x) . Если однородное уравнение имеет нетривиальное решение (λ = λk при некоторомk), то неоднородное уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда неоднородность –непрерывная функцияf (x) – ортогональна всем собственным функциям,соответствующим данному λ (т.е. ортогональна всем решениям однородногоуравнения).

В последнем случае, если решение есть, то существует и бесконечно многорешений.Теорема. (Альтернатива Фредгольма для интегральных уравнений Фредгольма 2го рода с симметрическими ядрами).Либо неоднородное уравнение имеет решение для любой непрерывной функцииf (x) , либо однородное уравнение имеет нетривиальное решение..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций