1-5 (1118051)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

§5. Теорема Гильберта-Шмидта.Будем рассматривать интегральный оператор А, ядро которого K(x,s)удовлетворяет следующим условиям: K(x,s) – симметрическое, непрерывное посовокупности переменных на [a, b] × [a, b] и ≢ 0. В соответствии с результатамипредыдущего параграфа этот оператор обладает конечной или бесконечнойпоследовательностью характеристических чисел: λ1 ≤ λ 2 ≤ ... ≤ λ n ≤ ... , которымсоответствует ортонормированная система собственных функций ϕ 1 , ϕ 2 ,..., ϕ n ,... .Определение. Функция f (x) называется истокопредставимой с помощью ядраbK ( x, s ) , если существует непрерывная функция g (x) такая, что: f ( x) = ∫ k ( x, s ) g ( s ) dsaили, что тоже самое, f = Ag (т.е. f (x) принадлежит множеству значений оператора А:f ∈ R(A) , где оператор А действует h[a, b] → h[a, b] ).Любой f ( x) ∈ h[a, b] можно формально сопоставить ряд Фурье по системефункций ϕ k (x) :∞∑fk =1kϕ k ( x)Теорема Гильберта-Шмидта.помощью ядраK ( x, s ) , то∞f ( x) = ∑ f k ϕ k ( x),k =1Если функция f (x) истокопредставима сона может быть разложена в ряд:bf k = ( f , ϕ k ) = ∫ f ( s ) ϕ k ( s) ds ,причемэтотрядсходитсяaабсолютно и равномерно на [a, b] .Доказательство.∞∑f1) Докажем, что рядk =1kϕ k ( x) сходится абсолютно иравномерно на[a, b] .

Для доказательства равномерной сходимости будемрассматривать случай, когда характеристических чисел бесконечно много (в противномслучае ряд очевидно сходится).ϕgЗаметим, что f k = ( f , ϕ k ) = ( Ag , ϕ k ) = ( g , Aϕ k ) = ( g , k ) = k . Итак, нам надо доказатьλkλk∞ϕ ( x)равномерную и абсолютную сходимость ряда ∑ g k k.λkk =1Для доказательства используем критерий Коши равномерной сходимости. Для наспредставляет интерес сумма:n+ pn+ pϕ k ( x)ϕ k2 ( x)2gk ∑,∑ g k λ ≤ k =∑2k = n +1n +1kk = n +1 λkkгде n и p – произвольные натуральные числа.k =n+ pа) Используем неравенство Бесселя:∞∑gk =1ряд∞∑gk =12kb2k≤ ∫ g 2 ( s ) ds , из которого следует, чтоaсходится (т.к.

состоит из неотрицательных чисел и ограничен).ϕ k ( x) b= ∫ K ( x, s ) ϕ k ( s ) ds , т.к. ϕ k – собственная функция,б) Заметим, чтоλkaсоответствующая характеристическому числу λ k .Если фиксировать x ∈ [a, b] ,тоϕ k ( x)- коэффициент Фурье ядра K ( x, s ) , и можно написать неравенство Бесселя:λk22b∞ ϕ k ( x)  ϕ k ( x) ≤≤K 2 ( x, s ) ds ≤ K o2 (b − a) ( K o = max | K ( x, s ) | ).∑∑∫ λ  λ x , s∈[ a ,b ]k = n +1 k =1 kkan+ pИз неравенства Бесселя для функции g (x) следует, что ряд∞∑gk =12kсходится, т.е.выполняется критерий Коши как необходимое условие сходимости числового ряда:n+ pε22∀ε > 0 ∃N ∀n ≥ N ∀pНо тогда при тех же∑ g k ≤ K 2 (b − a) .k = n +1on+ p∑ε , N , n, pk = n +1gkϕ k ( x)≤ ε , т.е.

выполняется критерий Коши как достаточноеλkусловие равномерной сходимости ряда с общим членом g kϕ k ( x). Итак, равномерная иλkабсолютная сходимость ряда Фурье доказана.2) Докажем, что ряд Фурье∞∑fk =1ϕ k ( x) сходится к f (x) . Т.к.

ряд состоит изkнепрерывных функций и сходится равномерно на [a,b], то сумма ряда – непрерывная на∞[a,b] функция. Обозначим ω ( x) = f ( x) − ∑ f k ϕ k ( x) . Надо доказать, что ω ( x) ≡ 0 .k =1bbb ∞∞baaa k =1k =1a(ω , ϕ i ) = ∫ ω ( x)ϕ i ( x) dx = ∫ f ( x) ϕ i ( x) dx − ∫ ∑ f k ϕ k ( x)ϕ i ( x) dx = f i − ∑ f k ∫ ϕ k ( x)ϕ i ( x) dx == f i − f i = 0 ∀i = 1,2,...(из равномерной сходимости ряда следует, что можно менять местами интегрирование исуммирование).Итак, ω (x) ортогональна всем ϕ i (x) .

Отсюда следует (см. предыдущий параграф),что ω (x) принадлежит нуль-пространству оператора А, т.е. Aω = 0 .Рассмотримb∫ωa2b∞bak =1a( x) dx = ∫ [ f ( x) − ∑ f k ϕ k ( x)] ω ( x) dx = ∫ f ( x) ω ( x) dx = ( f , ω ) = ( Ag , ω ) = ( g , Aω ) = 0 .Т.к. ω (x) – непрерывная функция, то ω ( x) ≡ 0 . Теорема доказана.В заключение этого параграфа сформулируем без доказательства некоторыеобобщения полученных результатов.

Можно рассматривать задачу в многомерномслучае. Пусть Ω - замкнутая ограниченная область: Ω ⊆ R n , для которой можноопределить указанные ниже интегралы. Введем пространство h[Ω], состоящее изΩ,соскалярнымпроизведением:функций,непрерывныхнаb( y1 , y 2 ) = ∫ y1 ( x) y 2 ( x) dx, dx = dx1 dx2 ...dxn .Рассмотриммногомерноеинтегральноеaуравнение Фредгольма 2-го рода:y ( x) = λ ∫ K ( x, s ) y ( s )ds + f ( x), x, s ∈ Ω,Ωс ядром K ( x, s ), x, s ∈ Ω . Тогда при условии, что ядро непрерывно и симметрично поx, s , все результаты, полученные выше, остаются верными и в многомерном случае.В курсе методов математической физики рассматриваются ядра K ( x, s ) =Φ ( x, s )αx−sгде Φ( x, s ) непрерывная в Ω по совокупности аргументов и симметрическая функция,,x − s = rxs -расстояние между точками x и s в пространстве R n .Если α < n , то ядра K ( x, s ) называются полярными ( n = dim R n ). Для таких ядердоказывается,чтоинтегральныйоператорA:являетсяh[Ω] → h[Ω]вполне непрерывным, т.е.

для интегральных операторов с полярными ядрамисправедливы теоремы о существовании хотя бы одного собственного значения итеоремы о построении последовательности собственных значений.nЕсли α < , то ядра K ( x, s ) называются слабополярными. Для таких ядер2справедлива еще и теорема Гильберта-Шмидта.Все результаты могут быть перенесены на случай комплексных пространствh[a, b] и h[Ω] , но вместо требования симметричности ядра, если ядро являетсякомплексным, надо требовать: K ( x, s ) = K ∗ ( s, x) , для любых x, s из Ω где ∗ - знаккомплексного сопряжения..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций