1-2 (1118048)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

2. Метрические, нормированные и евклидовы пространства. Элементытеории линейных операторов.Множество L называется (вещественным) линейным пространством,если для любых двух его элементов x, y определен элемент x+y∈L (называемыйсуммой x и y), и для любого элемента x∈L и любого (вещественного) числа αопределен элемент αx∈L, причем выполнены следующие условия: 1) длялюбых элементов x, y∈L x+y=y+x (коммутативность сложения); 2) для любыхэлементов x, y, z∈L (x+y)+z=x+(y+z) (ассоциативность сложения); 3)существует элемент 0∈L (называемый нулевым элементом, или нулемпространства L) такой, что для любого элемента x∈L x+0=x (существованиенулевого элемента); 4) для любого элемента x∈L существует элемент (-x)∈L(называемый обратным к x) такой, что x+(-x)=0 (существование обратногоэлемента); 5) для любых элементов x,y∈L и любого (вещественного) числа αα(x+y)=αx+αy (дистрибутивность умножения суммы элементов на число); 6)для любых (вещественных) чисел α и β и любого элемента x∈L (α+β)x=αx+βx(дистрибутивность умножения суммы чисел на элемент); 7) для любых(вещественных) чисел α, β и любого элемента x∈L (αβ)x=α(βx)(ассоциативность умножения на число); 8) для любого элемента x∈L 1x=x(свойство единицы).Элементы линейного пространства называются векторами, поэтомулинейное пространство иногда называется векторным.

В качестве примералинейного пространства можно привести изучаемое в курсе линейной алгебрыконечномерное векторное пространство Rn. Еще один пример – пространство(вещественных) функций, определенных на отрезке [a,b]. Очевидно, что этопространство можно рассматривать как линейное, если определить суммуэлементов и умножение на вещественное число обычным образом (как?).Нулевым элементом этого пространства является функция, тождественноравная нулю.Дадим теперь определение метрического пространства: множество Mназывается метрическим пространством, если для любых двух его элементов x,y∈M определено вещественное число ρ(x,y) (называемое метрикой, илирасстоянием), причем выполнены следующие условия: 1) для любых элементовx, y∈M ρ(x,y)≥0, и ρ(x,y)=0 тогда и только тогда, когда элементы x и y совпадают(x=y) (неотрицательность метрики); 2) для любых элементов x, y∈Mρ(x,y)=ρ(y,x) (симметричность метрики); 3) для любых элементов x, y, z∈Mρ(x,y)≤ ρ(x,z)+ ρ(y,z) (неравенство треугольника).В метрическом пространстве можно ввести понятие сходимостипоследовательности элементов, а именно: последовательность элементовx(n)∈M, n=1, 2, …, сходится к элементу x(0)∈M (обозначается x(n)→ x(0) приn→∝), если ρ(x(n), x(0))→0 при n→∝.Можно дать определение открытого изамкнутого множества (как?).Заметим, что метрическое пространство не обязательно являетсялинейным.

Дадим далее определение нормированного пространства: линейноепространство N называется нормированным, если для любого элемента x∈Nопределено вещественное число ||x|| (называемое нормой), причем выполненыследующие условия: 1) для любого элемента x∈N ||x||≥0, и ||x||=0 тогда и толькотогда, когда x=0; 2) для любого элемента x∈N любого (вещественного) числа α1||αx||=|α|||x|| (неотрицательная однородность нормы); 3) для любых элементовx, y∈N ||x+y||≤||x||+||y|| (неравенство треугольника).Нормированное пространство является метрическим: ρ(x,y)=||x-y||.

Внормированном пространстве легко определить понятие сходимостипоследовательностей. Последовательность элементов x(n)∈N, n=1, 2, …,сходится (по норме пространства N) к элементу x(0)∈N (обозначается x(n)→ x(0)при n→∝), если ||x(n)-x(0)||→0 при n→∝.Можно дать определение открытого изамкнутого множества (как?). Докажем теперь, что из сходимости по нормеследует сходимость норм элементов последовательности к норме предельногоэлемента. Обратное, очевидно, неверно.Лемма. Если x(n)→ x(0) при n→∝, то ||x(n)||→ ||x(0)||.Доказательство.

Докажем сначала неравенство, тривиально следующее изнеравенства треугольника: для любых элементов x, y∈N|||x||-||y|||≤||x-y||.На самом деле, из неравенства треугольника следует||x||=||x-y+y||≤||x-y||+||y||. Отсюда ||x||-||y||≤||x-y||. Меняя x и y местами,получаем ||y||=||y-x+x||≤||x-y||+||x||, или ||y||-||x||≤||x-y||. Из этих двухнеравенств следует написанное выше. Пусть теперь x(n)→ x(0) при n→∝. Тогда|||x(n)||-|| x(0)|||≤|| x(n)- x(0)|| →0, из чего и следует утверждение Леммы.В качестве примеров нормированных пространств можно привестиконечномерное евклидово пространство Rn (изучавшееся в курсе линейнойалгебры) и пространство C[a,b] функций, непрерывных на отрезке [a,b](опишите подробнее это линейное пространство!).

Норма в пространстве C[a,b]определяется ||y||C[a,b]=max{|y(s)|, s∈[a,b]}(докажите, что это на самом деленорма!). Сходимость по норме пространства C[a,b] называется равномернойсходимостью. Свойства равномерно сходящихся последовательностейнепрерывных функций изучались в курсе математического анализа. Вчастности, было доказан критерий Коши равномерной сходимости, а именно,необходимымидостаточнымусловиеравномернойсходимостифункциональной последовательности является ее фундаментальность.Последовательность x(n), n=1,2,…, элементовОпределение.нормированного пространства N называется фундаментальной, если для любогоε>0 найдется номер K такой, что для любого n≥K и любого натурального p||xn+p-xn||≤ε.Если последовательность сходится, то она фундаментальна (докажите!).Если же любая фундаментальная последовательность сходится, тонормированное пространство называется полным.Определение.

Полное нормированное пространство называетсябанаховым.Поскольку в курсе математического анализа было доказано, чтокритерий Коши является не только необходимым, но и достаточным условиемравномерной сходимости, то, тем самым, было доказано, что пространствоC[a,b] является банаховым. Очевидно, свойством полноты обладает ипространство Rn(докажите!).В дальнейшем нам потребуется и пространство функций, непрерывных спроизводными до p-го порядка включительно на интервале [a,b], сходимость вкотором является равномерной со всеми производными до p-го порядка. Такоепространство обозначается C(p)[a,b]. Можно ввести много различных норм в2этом пространстве, порождающих указанный выше тип сходимости. Из всехтаких (эквивалентных) норм для нас удобнее всего будет следующая:|| y || p=C [ a ,b ]p∑ max{| y (k ) ( s) |, s ∈ [a, b]}.k =0Докажите, что это на самом деле норма, и пространство C(p)[a,b] являетсябанаховым (!!!).Определение.

Линейное пространство E называется евклидовым, длялюбых двух элементов x, y∈E определено вещественное число (x,y), называемоескалярным произведением, причем выполнены следующие условия: 1) длялюбых элементов x, y∈E (x,y)=(y,x) (симметричность); 2) для любых элементовx1,x2, y∈E (x1+x2,y)=( x1,y)+(x2,y) (аддитивность по первому аргументу); 3) длялюбых элементов x, y∈E и любого вещественного числа α (αx,y)= α(x,y)(однородность по первому аргументу) (в силу симметричности скалярноепроизведение является линейным как первому, так и по второму аргументу); 4)для любого x∈E (x,x)≥0, причем (x,x)=0 тогда и только тогда, когда x=0(свойство скалярного квадрата).Скалярное произведение порождает норму: ||x||E={(x,x)}1/2. Проверьте, чтоэто на самом деле норма! Примером конечномерного линейного пространстваявляется пространство n-мерных векторов Rn, изучавшееся в курсе линейнойалгебры.

Это пространство состоит из векторов-столбцов, а скалярноепроизведение в этом пространстве произведение определяется как(x,y)=x1y1+…+xnyn, где x1,…,xn; y1,…,yn; - компоненты векторов x и yсоответственно. В курсе линейной алгебры было доказано неравенство КошиБуняковского: |(x,y)|≤||x||||y||, причем равенство выполняется тогда и толькотогда, когда элементы x и y линейно зависимы. Проверьте сами, чтонеравенство Коши-Буняковского справедливо в любом евклидовомпространстве. Отметим, что пространство Rn является полным.Еще один пример евклидового, но уже бесконечномерного пространстварассматривался в курсе математического анализа.

А именно, рассмотрим сновалинейное пространство функций, непрерывных на отрезке [a,b], но введемнорму с помощью скалярного произведения: для любых непрерывных на [a,b]функций y1(x), y2(x) положимb( y1 , y 2 ) = ∫ y1 ( x) y 2 ( x)dx.aПроверьте, что это на самом деле скалярное произведение! Пространствонепрерывных функций с нормой, порожденной введенным скалярнымпроизведением, обозначим h[a,b]. Тем самым,b|| y || h[ a,b] = {∫ y 2 ( x)dx}}1 / 2 .aСходимость по норме h[a,b] называется сходимостью в среднем. В курсематематического анализа было доказано, что из равномерной сходимостиследует сходимость в среднем (докажите!). Из сходимости же в среднем неследует не только равномерная, но даже поточечная сходимость (постройтепример!).Очевидно, что евклидово пространство h[a,b] является бесконечномерным(почему?).

К сожалению, это пространство не является полным. На самом деле,3легко построить последовательность функций, непрерывных на отрезке [a,b](например, кусочно-линейных), которая сходится в среднем к разрывнойфункции: y(x)=0 при a≤x<(a+b)/2; y(x)=1 при (a+b)/2≤x≤b. Такаяфункциональная последовательность является фундаментальной в h[a,b], но неимеет в h[a,b] предел (почему? Докажите!).В курсе функционального анализа доказывается, что любое неполноенормированное пространство можно пополнить. Полное бесконечномерноеевклидово пространство называется гильбертовым. Если пополнитьпространство h[a,b], то мы получим гильбертово пространство L2[a,b].

Однакодля того, чтобы описать, из каких элементов состоит это пространство, нужнознать не только интеграл Римана (который изучался в курсе математическогоанализа), но и интеграл Лебега. При изложении курса интегральных уравнениймы будем рассматривать пространство h[a,b], понимая, что это пространствонеполно. Но в этом пространстве легко определить, что такое ортогональность,поскольку в этом пространстве задано скалярное произведение. Если же нампотребуется полнота, то мы будем рассматривать пространство C[a,b]. Ксожалению (это доказывается в курсе функционального анализа), в этомпространстве нельзя ввести эквивалентную норму, порожденную скалярнымпроизведением, т.е.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций