1-8 (1118054)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

§8. Неоднородные уравнения Фредгольма 2-го рода с «малыми» λ .bБудем рассматривать интегральный оператор A : Ay ≡ ∫ K ( x, s ) y ( s ) ds , где ядроaK ( x, s ) непрерывносимметрическим.посовокупностипеременныхx, s ,нонепредполагаетсяbОпределим оператор D : Dy = λ A y + f = λ ∫ K ( x, s ) y ( s ) ds + f ( x) ,f (x) - заданнаяaнепрерывная функция.Интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода можно записать в операторномвиде: y ( x) = λ A y + f или y = Dy .Чтобы применить теорему о неподвижной точке, доказанную в предыдущемпараграфе, оператор D нельзя рассматривать в пространстве h[a, b] , т.к. это – неполноепространство.

Будем рассматривать оператор D : C[a, b] → C[a, b] ( C[a, b] -банахово, т.е.полное нормированное пространство). Очевидно, что D является непрерывным, вообщеговоря, нелинейным оператором, а решение интегрального уравнения является егонеподвижной точкой.

Обозначим: max K ( x, s ) = M .x , s∈[ a ,b ]Найдем достаточные условия, при которых оператор D является сжимающим.Возьмем произвольные y1 , y 2 ∈ C[a, b] и определимz1 = λ A y1 + f = D y1 ;z2 = λ A y2 + f = D y2.Оценим модуль разностиbz1 ( x) − z 2 ( x) = λ ∫ K ( x, s )( y1 ( s ) − y 2 ( s ) )ds ≤ λ M  max y1 ( s ) − y 2 ( s )  (b − a ) = λ M (b − a ) y1 − y 2 s∈[ a ,b ]az1 − z 2ОтсюдаC [ a ,b ]= D y1 − D y 2C [ a ,b ]≤ λ M (b − a ) y1 − y 2C [ a ,b ].Обозначимq = λ M (b − a ) и потребуем, чтобы выполнялось условие q<1. В этом случае оператор D,действующий в банаховом пространстве C[a,b], является сжимающим, а, следовательно,имеет место доказанная в предыдущем параграфе теорема о неподвижной точке.1Теорема.

Если λ <(такие λ будем называть «малыми»), то неоднородноеM (b − a )уравнение Фредгольма 2 рода имеет, и притом единственное, решение для любойнепрерывной функции f ( x) ∈ C[a, b] , причем это решение может быть найдено методомпоследовательных приближений.1Следствие 1. Если λ <, то однородное уравнение имеет только тривиальноеM (b − a )решение.1Следствие 2. На интервале 0 < λ <нет характеристических чиселM (b − a )интегрального оператора A . (Если у оператора A есть характеристические числа, то1).λmin ≥M (b − a)Рассмотрим метод последовательных приближений в данном случае.y n+1 = λ A y n + f n = 0,1,2,... y0 ≡ 0 . Тогда:b1) y1 = λ ∫ K ( x, s ) ⋅ 0 ⋅ ds + f ( x) = f ( x) ;aC [ a ,b ].b2) y 2 = λ ∫ K ( x, s ) f ( s ) ds + f ( x) ;a3)bb bbby3 = λ2 ∫ K ( x,ξ )  ∫ K (ξ , s ) f ( s ) ds  dξ + λ ∫ K ( x, s ) f ( s )ds + f ( x) = λ2 ∫  ∫ K ( x, ξ ) K (ξ , s ) dξ  f ( s )ds +aaaaa$!!!#!!!"K 2 ( x,s )b+ λ ∫ K ( x, s ) f ( s )ds + f ( x) , K 2 ( x, s ) - повторное (итерированное) ядро.aПродолжая,получим:y n +1 = f + λ A f + λ 2 A 2 f + ...

+ λ n −1 A n −1 f + λ n A n f .An–bинтегральный оператор с повторным ядром K n ( x, s ) = ∫ K ( x,ξ ) K n −1 (ξ , s ) dξ , n=2,3,…;aK1(x,s)≡K(x,s). Последовательность yn по доказанному ранее имеет предел y, являющийсярешениеминтегральногоуравнения.yпредставляетсярядомНеймана:22nny = f + λ A f + λ A f + ... + λ A f + ... .

Полученный результат можно представить воператорной форме. При «малых» λ решение интегрального уравнения существует иединственно. Если мы перепишем уравнение y = λ A y + f в виде ( I − λ A) y = f , то издоказанного следует существование обратного оператора, определенного на всемпространстве C[a, b] : y = ( I − λ A) −1 f . Покажем, что это выражение можно записать какy = f + λ Rλ f , где Rλ -интегральный оператор с непрерывным по x,s ядром R( x, s, λ )b(резольвентой): y = f + λ ∫ R( x, s, λ ) f ( s ) ds , или ( I − λ A) −1 = I + λRλ .aДокажем, что ряд K1 ( x, s ) + λ K 2 ( x, s ) + ... + λn −1 K n ( x, s ) +… сходится равномерно по$!#!"= K ( x ,s )x, s ∈ [ a , b ] .1) K1 ( x, s ) = K ( x, s ) ≤ M ;b2) K 2 ( x, s ) ≤ ∫ K ( x,ξ ) K (ξ , s ) dξ ≤ M 2 (b − a ) ;a…;n) K n ( x, s ) ≤ M n (b − a) n −1 ;….n −1Отсюдаλn−1 K n ( x, s ) ≤ ( λ M (b − a) ) M ,$!!#!!"0 ≤ q = λ M (b − a ) < 1 .Попризнакуq n −1Вейерштрасса равномерной сходимости функциональный ряд сходится равномерно,поскольку общий член этого ряда мажорируется общим членом бесконечной убывающейгеометрической прогрессии:K ( x, s ) + λ K 2 ( x, s ) + ...

= R( x, s, λ ) . В силу равномернойсходимости резольвента R( x, s, λ ) непрерывна по совокупности переменных ( x, s ) .MСуммируя геометрическую прогрессию, получаем оценку сверху: R ≤.В1 − λ (b − a )силу равномерной сходимости записанного выше функционального ряда можно поменятьместами интегрирование и суммирование и записать решение интегрального уравненияФредгольма 2 рода в виде:by ( x) = f ( x) + λ ∫ R( x, s, λ ) f ( s ) ds .aРассмотрим теперь вопросы корректности математической постановки уравненияФредгольма при «малых» λ : y = λ A y + f при условии, что это уравнениерассматривается в пространстве C[a,b].Для этого надо ответить на три вопроса:1) Существование решения.Мы доказали , что решение существует для любой непрерывной функции f (x) .2) Единственность решения.Мы доказали, что решение единственно.3) Устойчивость (непрерывная по норме пространства C[a,b] зависимость решенияот неоднородности f (x) ).Пусть заданы неоднородность f и «возмущенная» (заданная с ошибкой)~неоднородность f = f + δ f .

Докажем устойчивость: по доказанному выше и для~«точной», и для «возмущенной» неоднородностей уравнение имеет решения: ~y = λ A~y+ fи y = λ A y + f , представимые с помощью резольвентного оператора. Запишем разностьb~~~y − y = f − f + ∫ R( x, s, λ ) ( f − f ) ds .aДалееЕсли~~y − y C [ a ,b ] ≤ f − fδ f → 0 , то и δ y = ~y − yC [ a ,b ]C [ a ,b ](1 + λ M R (b − a)) , где R ≤M= MR.1 − λ M (b − a )→ 0 , т.е. мы доказали непрерывную зависимостьрешения от неоднородности в норме пространства C[a,b]. Более того, полученноенеравенство позволяет получить оценку погрешности решения, если известна оценкапогрешности неоднородности.Следовательно, все три требования к корректности решения данного уравнениявыполнены, и задача решения уравнения Фредгольма 2 рода с “малым λ ” в C[a, b]математически корректна.

Докажите, что при тех же условиях эта задача корректна и вh[a,b]!.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций