1-11 (1118057)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

11. Задача Штурма-Лиувилля.Рассмотрим начально-краевую задачу для дифференциального уравнения вчастных производных второго порядка, описывающего малые поперечные колебанияструны. Струна рассматривается как гибкая упругая нить. Если колебаний нет, то струназанимает отрезок [0,l] на оси x. Колебания струны происходят в плоскости (x,u) иописываются функцией u=u(x,t), t≥0 – время. В случае отсутствия внешних сил уравнениеимеет следующий вид (так называемое однородное волновое уравнение):ρ ( x)u tt = C 0 u xx( u tt и u xx - частные производные второго порядка по t и x соответственно).Вывод этого уравнения можно найти в любом учебнике по уравнениямматематической физики.

Здесь ρ (x ) – линейная плотность, C0 – натяжение струны,которое предполагается постоянным в процессе малых колебаний.Для однозначного определения решения требуется задать начальные:u ( x,0) = φ ( x); u t ( x,0) = ψ ( x) ;( φ (x ) – начальное смещение, ψ (x) – начальная скорость) и граничные условия:u (0, t ) = 0; u (l , t ) = 0 ;(такие условия называются однородными граничными условиями первого рода). Длярешения поставленной начально-краевой задачи применим метод разделения переменных.Будем искать все неравные тождественно нулю решения однородного волновогоуравнения, удовлетворяющие однородным граничным условиям и представимые в видепроизведения: u = X ( x )T (t ) . Подставляя произведение в уравнение, получаем:ρ ( x) X ( x)T ′′(t ) = C 0 X ′′( x)T (t ) .В этом уравнении легко разделяются переменные:X ′′( x )T ′′(t ).=(ρ ( x) X ( x) ) (C 0T (t ) )Последнее равенство возможно лишь в том случае, еслиX ′′( x )T ′′(t )== −λ ,(ρ ( x) X ( x) ) (C 0T (t ) )где λ - константа.

Для функции X (x ) получаем уравнениеX ′′( x ) + λρ ( x) X ( x ) = 0 .Подставляя произведение X ( x)T (t ) в граничные условия, получаем граничныеусловия для X (x ) : X(0)=0; X(l)=0. Поскольку мы ищем нетривиальные решения, тополучаем задачу на собственные значения и собственные функции: найти все значенияпараметра λ , при которых существует нетривиальное решение уравненияX′′(x)+ λρ(x)X(x)=0, удовлетворяющее однородным граничным условиям первого родаX(0)=0; X(l)=0.

Эта задача является частным случаем задачи Штурма-Лиувилля, которуюмы исследуем ниже. Мы же сейчас выпишем решение в простейшем случае: пусть ρ(x)=ρ0=const. Обозначая a2= C0/ρ0, после разделения переменных получим уравнениеX′′(x)/X(x)= T′′(t)/( a2 T(t))=-λи следующую краевую задачу на собственные значения и собственные функции для X(x):X′′(x)+ λX(x)=0; X(0)=0; X(l)=0.Можно доказать (см. ниже), что собственные значения могут быть тольковещественными (проверьте сами!!!) даже, если X(x) – комплекснозначная функция.

Вдальнейшем будем считать, что X(x) – вещественная функция. Легко убедиться(проверьте!!!), что если λ отрицательное число или нуль, то краевая задача для X(x) имееттолько тривиальное решение. Итак, будем искать собственные значения только средиположительных λ. Общее решение уравнения имеет вид: X(x)=C1sin(x√λ)+ C2cos(x√λ).Подставляя в первое граничное условие, получаем C2=0. Подставляя во второе граничноеусловие и сокращая на C1 (C1≠0, т.к. мы ищем нетривиальное решение), получаемуравнение для отыскания собственных значений:sin(x√λ)=0.2Отсюдасобственныезначения πn λ n =   , n = 1,2,... , l асобственныефункцииπnx .

Эти функции хорошо знакомы из курса математического анализа. Тамlбыло доказано, что система этих функций является замкнутой в пространстве h[0,l].lЗаметим, что || X n || 2 = . Заметим также, что записанная задача является задачей на2собственные значения и собственные функции для одномерного оператора Лапласа,поскольку X ′′( x) ≡ ∆1 X ( x) , ∆1 - одномерный оператор Лапласа.Для временной составляющей получаем уравнениеTn′′ + a 2 λ n Tn = 0 .πnπnОтсюда Tn = An cos at + Bn sin at , An , Bn - произвольные постоянные. Ищемllтеперь решение начально-краевой задачи в виде∞∞πnπn πnx,u ( x, t ) = ∑ Tn (t ) ⋅ X n ( x ) = ∑  An cos at + Bn sin at  ⋅ sinllln =1n =1 т.е.

в виде ряда Фурье по собственным функциям X n (x) с коэффициентами Фурье Tn (t )(именно поэтому метод разделения переменных называют также методом Фурье). Каждыйчлен ряда удовлетворяет как уравнению, так и однородным граничным условиям первогорода (кстати, каждый член ряда представляет собой стоячую волну – объяснитепочему!!!). Поэтому, если можно менять местами дифференцирование и суммирование, тозаписанный ряд удовлетворяет уравнению и граничным условиям. Попытаемсяудовлетворить теперь и начальным условиям.

Подставляя t=0, получаем∞πnx = ϕ ( x) .u ( x,0) = ∑ An sinln =1X n ( x ) = sinОтсюда коэффициент ФурьеlAn =2πnϕ ( x) ⋅ sin x .∫ll 0Дифференцируя по t и полагая t=0, получаемl2 lπnπnπnψ ( x) ⋅ sin x.x , Bn =u t ( x,0) = ∑ a ⋅ Bn ⋅ sin∫ll πna 0ln =1 lПоскольку поведение ряда для решения определяется коэффициентами An и Bn, товозможность менять местами дифференцирование и суммирование определяетсясвойствами функций ϕ (x) и ψ (x) .

Этот вопрос подробно исследуется в курсе методовматематической физики.Рассмотренная задача на собственные значения и собственные функции являетсячастным случаем задачи Штурма-Лиувилля, к рассмотрению которой мы и приступаем.Рассмотрим первую краевую задачу на собственные значения и собственныефункции для оператора Штурма-Лиувилля (сокращенно задачу Штурма-Лиувилля):∞ Ly + λρ ( x) y = 0, y (a ) = y (b) = 0где оператор L имеет видdy d  p( x)  − q( x) y .dx dx Коэффициенты p(x) , q(x) , p (x) удовлетворяют следующим условиям:p (x) непрерывно дифференцируемая, а q (x) и ρ (x) непрерывные на [a,b] функции,причем ρ ( x ), p ( x ) > 0 , q( x) ≥ 0 на [a, b].Ly =Докажем, что оператор L является симметрическим на подпространстве дваждынепрерывно дифференцируемых функций из h[a,b], удовлетворяющих однороднымграничным условиям первого рода.

Из этого результата сразу следует, что при изучениизадачи Штурма-Лиувилля достаточно ограничиться вещественными λ.Возьмемпроизвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции y(x) и z(x),удовлетворяющие граничным условиямy ( a ) = y (b ) = z ( a ) = z (b ) = 0 .Покажем, что(Ly, z ) = (y, Lz ),где скалярное произведение берется в h[a,b]. Легко видеть, чтоbbbbbd dy dydy dz dzd dz ∫a dx  p( x) dx  z( x)dx = p( x) dx z( x) a − ∫a dx ⋅  p( x) dx dx =− y p dx a + ∫a y dx  p( x) dx  dx .Подстановки обращаются в нуль в силу граничных условий.

Отсюда сразу жеследует симметричность оператора L.Рассмотрим теперь краевую задачу:Ly = f ; y (a ) = y (b) = 0.Если существует функция Грина, то решение этой задачи для заданнойнепрерывной функции f(x), может быть представлено в видеby ( x) = ∫ G ( x, ξ ) f (ξ )dξa(G(x,ξ) – функция Грина). Функция Грина непрерывна по совокупности аргументов исимметрична:G ( x, ξ ) = G (ξ , x )для любых x, ξ на отрезке [a,b]. Как было доказано в курсе обыкновенныхдифференциальных уравнений, для существования функции Грина достаточно доказать,что однородная краевая задачаLy = 0; y (a ) = y (b) = 0;имеет только тривиальное решение.

Допустим, что это не так. Тогда, не ограничиваяобщности, можно считать, что в некоторой точке x0∈(a,b) решение имеет максимальноеположительное значение: y(x0)>0, y′(x0)=0. Поскольку y(b)=0, то найдется точка x1∈(a,b),x0< x1, такая что y(x1)>0, y′(x1)<0. Запишем однородное уравнение в видеdy d  p( x)  = q( x) ydx dx и проинтегрируем его в пределах от x0 до x1. Учитывая знаки функций p(x)получаем противоречие:и q(x),x10 > py ′ | xx = ∫ q ( x) y ( x)dx ≥ 0.10x0Итак, функция Грина существует.

Тогда, интегрируя от a до b уравнение в задачеШтурма-Лиувилля, домножив предварительно на функцию Грина, получимb Ly = −λρ ( x) y;⇔ y ( x) = −λ ∫ G ( x, ξ ) ρ (ξ ) y (ξ )dξ . y (a) = y (b) = 0;aДокажите(!!!), что задача Штурма-Лиувилляхарактеристические значения и собственные функцииэквивалентназадаченаby ( x) = −λ ∫ G ( x, ξ ) ρ (ξ ) y (ξ )dξaдля интегрального оператора с непрерывным ядром G ( x, ξ ) ρ (ξ ) . Если ρ (ξ ) ≠ 1тождественно, то ядро интегрального оператора не является симметрическим.Симметризуем записанную задачу. Для этого умножим записанное выше уравнение слеваи справа на ρ (x) и введем новые функциюϕ ( x) = y ( x) ρ ( x)и ядроK ( x, ξ ) = ρ ( x) G ( x, ξ ) ρ (ξ ) ,которое является непрерывным и симметрическим.Получаем задачу на характеристические числа и собственные функции дляинтегрального оператора с непрерывным симметрическим ядромbϕ ( x) = −λ ∫ K ( x, ξ ) ϕ (ξ )dξa.Докажем, что ядро K(x,ξ) является замкнутым.

Для этого достаточно показать, чтоиз равенстваb∫ K ( x, ξ ) z (ξ )dξ = 0aследует, что z(ξ)≡0. Заметим, что предыдущее равенство имеет видb∫ρ ( x) G( x, ξ ) ρ (ξ ) z (ξ )dξ = 0aилиb∫ G ( x, ξ )ρ (ξ ) z (ξ )dξ = 0a.Действуя оператором L на левую и правую часть этого равенства, получаем, чтодля всех xρ ( x) z ( x) = 0,что и требовалось доказать.Итак, мы доказали следующую теорему:Теорема. Задача Штурма-Лиувилля эквивалентна задаче на характеристическиечислаисобственныефункциидляинтегральногооператораснепрерывнымсимметрическим замкнутым ядром.ИспользуяэквивалентностьзадачиШтурма-Лиувиллязадаченахарактеристические числа и собственные значения для интегрального оператора ссимметрическим непрерывным и не равным тождественно нулю ядром, докажемследующие теоремы.Теорема.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций