1-11 (1118057), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Существует бесконечно много собственных значений λn.Доказательство. Существование хотя бы одного характеристического числа λn дляинтегрального оператора с симметрическим непрерывным и не равным тождественнонулю ядром следует из результатов параграфа 3. Предположим, что характеристическихчисел конечное число. Тогда, как было доказано в параграфе 4, ядро можно представить ввидеN φ ( x )φ ( s )nK ( x, s ) = − Σ n,n =1λnφ n (x) - ортонормированные собственные функции. Таким образом, ядро вырождено, апоэтому не может быть замкнутым.

Теорема доказана.Теорема. Каждое собственное значение задачи Штурма-Лиувилля имеет кратностьединица.Доказательство. Заметим, что собственное значение кратности единица называетсяпростым собственным значением. Докажем, что каждое собственное значение являетсяпростым. Предположим, что это не так. Тогда некоторому собственному значениюλ соответствуют две линейно независимые собственные функции y1(x), y2(x). Посколькудифференциальное уравнение в задаче Штурма-Лиувилля является линейным уравнениемвторого порядка, то y1(x), y2(x) образуют фундаментальную систему решений.

Поэтомулюбое решение дифференциального уравненияLy + λρ ( x) y = 0представимо в виде y(x)=C1 y1(x)+C2 y2(x). Поскольку функции y1(x), y2(x) обращаются внуль в точках a, b, то этим же свойством обладает и любое другое решение. Но этопротиворечит теореме существования решения задачи Коши для уравненияLy + λρ ( x) y = 0с условиями Коши, имеющими, например, вид y(a)=1; y′(a)=0.

Теорема доказана.Теорема. Собственные функции задачи Штурма-Лиувилля ортогональны с весомρ (x) .Доказательство. По доказанному в параграфе 4 собственные функции ϕ n (x)ортогональны. Более того, что их можно выбрать так, что они образуютортонормированную системуb1 k = n∫a ϕ k ( x) ϕ n ( x) dx = 0 k ≠ n .Учитывая, что ϕ n ( x) = y n ( x) ρ ( x)b∫yak,1 k = n;( x) y n ( x) ρ ( x)dx = 0 k ≠ n;что и требовалось доказать.Теорема. Собственные значения задачи Штурма-Лиувилля положительны.Доказательство. Запишем уравнение в задаче Штурма-Лиувилля, которомуудовлетворяет собственная функция yn(x), считая, что yn(x) нормирована с весом ρ (x) :b∫y2n( x) ρ ( x)dx = 1.aДомножим теперь уравнение на yn(x) и проинтегрируем от a до b.

Интегрируем по частями с учетом граничных условий получаем:bbbbd  dy n 22Ly n + λ n ρ y n = 0 ⇒ ∫ y n (Ly n + λ n ρ y n )dx = ∫ y npdx − ∫ q y n dx + λ n ∫ ρ y n dx =dx  dx aaaa2b dy = − ∫ p  n  dx − ∫ q y n2 dx + λ n = 0.aa dx bОтсюда 2  dy n  2 λ n = ∫  q y n + p dx.dx abПоскольку q(x)≥0, p(x)>0, а yn(x) не равно константе, то собственное значениестрого положительно. Теорема доказана.Следствие. Имеет место следующая оценка снизу для наименьшегособственного значения2bq( ~x) bq( ~x)q( x) dy   b q ( x)λ1 = ∫ q y12 + p 1   ≥ ∫ρ ( x) y12 ( x)dx ≥ ~ ∫ ρ ( x) y12 ( x)dx = ~ ≥ inf≥ 0.x∈[a ,b ] ρ ( x )dxρ(x)ρ(x)aaa ρ ( x)(~x принадлежит [a,b]).Следующая теорема имеет исключительно важное значение в теориидифференциальных уравнений.(ТеоремаСтеклова).ЛюбаядваждынепрерывноТеорема.дифференцируемая на отрезке [a,b] и обращающаяся в нуль на концах отрезкафункция f(x) раскладывается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье поортонормированной с весом ρ(x) системе собственных функций задачи ШтурмаЛиувилля:∞f ( x ) = ∑ f n y n ( x ),n =1где коэффициенты Фурье равныbf n = ∫ f ( x) ρ ( x) y n ( x)dx.aДоказательство.

Подействуем на функцию f(x)оператором L. Получим непрерывную функцию h(x). Тогда функция f(x) являетсярешением следующей краевой задачи: L f ( x) = h( x); f (a ) = f (b) = 0.Используя функцию Грина, получаем:bbf ( x) = ∫ G ( x, s )h( s ) ds = ∫ K ( x, s )aah( s )ρ ( x) ρ ( s)ds.Введем новые функцииh( s )f ( x) ρ ( x) = F ( x) ,= H ( s ).ρ ( s)Очевидно, что обе новые функции непрерывны на [a,b],истокопредставима с симметрическим непрерывным ядром K(x,s):аF(x)bF ( x) = ∫ K ( x, s ) H ( s ) ds.aПо теореме Гильберта-Шмидта F(x) раскладывается в абсолютно иравномерно сходящийся ряд по ортонормированной системе собственных функцийинтегрального оператора с ядром K(x,s):∞F ( x ) = ∑ Fn ϕ n ( x ),n =1причем коэффициенты Фурье равны:bFn = ∫ F ( x)ϕ n ( x)dx.aПосколькуϕ n ( x) = y n ( x) ρ ( x) ,имеем∞ρ ( x ) f ( x ) = ∑ Fn y n ( x ) ρ ( x ) .n =1После сокращения наρ (x) получаем:∞f ( x) = ∑ Fn ( x) y n ( x).n =1Докажите (!!!), что и после сокращения ряд сходится равномерно и абсолютно всилу свойств ρ(x).

Для коэффициентов Фурье имеем:bbaaFn = ∫ f ( x) ρ ( x) y n ( x) ρ ( x) dx = ∫ f ( x) y n ( x) ρ ( x) dx = f n .Теорема Стеклова доказана.В заключение параграфа заметим, что все полученные в данном параграферезультаты остаются справедливыми для второй краевой задачи (граничныеусловия имеют вид y′(a)=0; y′(b)=0), третьей краевой задачи (граничные условияимеют вид y′(a)-h1y(a)=0; y′(b)+h2(b)=0; h1, h2 – положительные постоянные), атакже для смешанных краевых задач, когда левом конце задается условие одногорода, а на правом другого. Необходимо помнить только, что для второй краевойзадачи, если q(x)≡0, существует нулевое собственное значение..

Характеристики

Список файлов лекций