2-2 (1118059)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

2. Понятие вариации функционала.Мы будем изучать функционалы, действующие из линейного нормированногопространства E в пространство вещественных чисел R1. В качестве пространства E мыбудем рассматривать следующие пространства:1) C [a, b] – пространство непрерывных на [a, b] функций, в котором определена нормаy C[ a ,b ] = max y ( x) .x∈[ a ,b ](1)2) C [a, b] – пространство функций, непрерывных вместе со своими первымипроизводными на [a, b]. Норма в этом пространстве определяется какy C (1) [ a ,b ] = max y ( x) + max y ' ( x) .x∈[ a ,b ]x∈[ a ,b ]Можно ввести эквивалентную норму:y C (1) [ a ,b ] = max{ yC [ a ,b ], y ' C (1 ) [ a ,b ] }(сходимость по обеим введенным нормам одна и та же - равномерная сходимость наотрезке [a, b] как функций, так и их первых производных).

Мы будем пользоваться толькопервой нормой.3) C(p)[a, b] – пространство функций, непрерывных вместе со своими p-ми производнымивключительно на [a, b], нормированное с помощьюpyC ( p ) [ a ,b ]= ∑ max y ( k ) ( x) .k = 0 x∈[ a ,b ]Сходимость по норме этого пространства – равномерная сходимость на отрезке [a, b] спроизводными до p-го порядка включительно.Итак, функционал V [ y ] : E → R 1 , где в качестве E мы будем рассматривать тольковведенные выше функциональные пространства или их подмножества E ' ⊆ E , тогдаV : E ' → R1 .bПриведемпримерфункционала:V [ y ] = ∫ 1 + ( y ' ( x)) 2 dx-длинакривой,aописываемой функцией y(x). V : C (1) [a, b] → R 1Определение.

Функционал V [ y ] называется непрерывным в точке y 0 ∈ E , если∀ε > 0∃δ > 0такое,чтодля∀y ∈ E : y − y 0 ≤ δвыполняетсянеравенствоV [ y] − V [ y0 ] ≤ ε .Аналогично можно дать определение непрерывности функционала в точке y 0 ∈ E ' ,если функционал рассматривается только на множестве E ' . Функционал называетсянепрерывным на всём пространстве E (множестве E ' ), если он непрерывен в каждойточке E (E ' ) .Определение. Будем называть (замкнутым) шаром с центром в точке y0 и радиусомr > 0 множество точек:S r ( y 0 ) = { y ∈ E : y − y 0 ≤ r} .Напомним, что точка y0 является точкой локального минимума (максимума)функционала V[y}, если найдется r > 0 такое, что V[y}≥ V[y0} (V[y}≤ V[y0}) для любогоy ∈ S r ( y 0 ) .

В дальнейшем речь будет идти об отыскании только локальных минимумовили максимумов (локальных экстремумов), причем слово «локальный» мы будемопускать.Пусть y 0 ∈ E - произвольная фиксированная точка, h ∈ E - произвольный элементE. Рассмотрим функцию вещественной переменной t Φ(t ) ≡ V [ y 0 + th] , t – вещественноечисло.dОпределение. Если существует Φ' (t ) t = 0 = V [ y 0 + th]t = 0 для любого h ∈ E , то этаdtпроизводная называется вариацией функционала V в точке y0 и обозначается δV ( y 0 , h) .V [ y 0 + th] − V [ y 0 ] = tδV ( y 0 , h) + O( t ) .Для того, что был более понятен смысл введенного понятия, вспомнимматематический анализ и рассмотрим случай, когда V : R n → R 1 (функция многихdпеременных).

Тогда Φ' (t ) t = 0 = V [ y 0 + th]t = 0 называется производной функции V поdtнаправлению h.Теперь определим, что такое дифференцируемый функционал. Функционал V[y]называетсядифференцируемымвточкеy0,еслидлялюбогоh∈EV [ y 0 + h] − V [ y 0 ] = dV ( y 0 , h) + O( h ) , где dV ( y 0 , h) - линейный и непрерывный по hфункционал (который иногда называют сильной вариацией в отличие от δV ( y 0 , h) ,называемого в этом случае слабой вариацией).Заметим, что точно такое же определение дифференцируемости вводилось и вкурсе математического анализа для функций многих переменных V : R n → R 1 . При этомдоказывалось, что, если функция многих переменных дифференцируема в точке y0, то вэтой точке существуют производные по всем направлениям.

Обратное, вообще говоря,неверно. Точно такая же ситуация и в вариационном исчислении - если существуетсильная вариация, то существует вариация (слабая вариация). Обратное неверно.Мы будем использовать только данное выше определение вариацииdδV ( y 0 , h) = V [ y 0 + th]t = 0 .dtТеорема (необходимое условие экстремума). Пусть y 0 ∈ E - точка экстремумаV [ y ] и существует δV ( y 0 , h) для всякого h ∈ E . Тогда δV ( y 0 , h) = 0 .Доказательство. Пусть y 0 для определённости точка минимума функционалаV [ y ] , для максимума доказательство аналогично.

Тогда существует шар S r ( y 0 ) , r > 0 ,rтакой что V [ y ] ≥ V [ y 0 ] для любого y ∈ S r ( y 0 ) . Если t ≤, то y 0 + th ∈ S r ( y 0 ) иhV [ y 0 + th] ≥ V [ y 0 ] . Определим Φ(t ) = V [ y 0 + th] . Тогда для тех же t выполненонеравенство Φ(t ) ≥ Φ(0) . По условию теоремы Φ(t ) дифференцируема в точке t=0, а,следовательно, Φ' (t ) t = 0 = 0 . Т.е. δV ( y 0 , h) = 0 , что и требовалось доказать.При тех же предположениях Теорема справедлива и в случае, когда функционалрассматривается на множестве E ' ⊆ E ..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций