1-9 (1118055)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

§9. Уравнение Вольтерра второго рода.Рассмотрим уравнение Вольтерра второго рода в операторной форме y = λ A y + f ,где оператор A имеет вид:xAy = λ ∫ K ( x, s ) y ( s ) ds , x, s ∈ [a, b] .a.Ядро K ( x, s ) - непрерывно по совокупности переменных на своей треугольнойобласти определения ∆ = {x, s : a ≤ s ≤ x ≤ b} и не равно нулю тождественно.xДокажите: 1) Если y (s ) - непрерывная на [a,b] функция, то z ( x) = ∫ K ( x, s ) y ( s ) ds aнепрерывная на [a,b] функция, т.е. можно рассматривать оператор A как действующий впространствах C[a, b] → C[a, b] или h[a, b] → h[a, b] .2) Интегральный оператор Вольтерра является вполне непрерывным при действии:h[a, b] → C[a, b], h[a, b] → h[a, b] .Покажем, что интегральное уравнение Вольтерра 2 рода можно решать для любогоλ методом последовательных приближений:y n +1 = λ A y n + f , y 0 ∈ C[a, b] , f ( x) ∈ C[a, b] .Как и в предыдущем параграфе определим оператор D: C[a, b] → C[a, b]следующим образом: для любого y∈C[a,b] Dy≡λAy+f и покажем, что оператор D (вообщеговоря, не сжимающий) обладает тем свойством, что некоторая его степень - операторD k - сжимающий (натуральное число k зависит от λ , но не зависит от f (!!!)).Теорема.

Для любого λ существует натуральноe число k такое, что Dk сжимающий оператор.Доказательство. Возьмем две непрерывные функции y1 ( x) и y 2 ( x) . Определимz j = D y j , j = 1,2.z1 ( x) − z 2 ( x) = Dy1 − Dy 2 = λ Ay1 − Ay 2 . Обозначим M = max K ( x, s ) .

Имеет местоx , s∈∆неравенствоxAy1 − Ay 2 = ∫ K ( x, s ) ( y1 ( s ) − y 2 ( s ) )ds ≤ M ( x − a ) y1 − y 2C [ a ,b ].aОтсюдаAy1 − Ay 2C [ a ,b ]≤ M (b − a ) y1 − y 2C [ a ,b ]иDy1 − Dy 2C [ a ,b ]≤ λ M (b − a) y1 − y 2C [ a ,b ].Далееx| D 2 y1 − D 2 y 2 |≤ λ2 ∫ K ( x, s ) (Ay1 − Ay 2 )ds ≤ λM2( x − a ) 2 y1 − y 22!2aC [ a ,b ]иD y1 − D y 22M2≤λ(b − a) 2 y1 − y 22!…22C [ a ,b ]C [ a ,b ]≤λ2M2(b − a ) 2 y1 − y 22!CD n y1 − D n y 2C [ a ,b ]nn M≤λ(b − a) n y1 − y 2n!$!!#!!"C [ a ,b ].(q )nM(b − a ) n .

Для любого λ при n → ∞ qn → 0 . Следовательно,n!q n < 1 . В качестве k выберем минимальное натуральное n , при которомОпределим q n = λпри больших nnnMn(b − a ) n < 1 . Очевидно, что D k - сжимающий оператор. Теорема доказана.n!Теперь мы можем применить теорему о неподвижной точке, доказанную в концепараграфа 7 и получить следствия.Следствие 1. Для ∀ λ однородное уравнение имеет только тривиальное решение.Следствие 2. Оператор Вольтерра не имеет характеристических чисел (и собственныхзначений, если K ( x, s ) ≠ 0 тождественно).Таким образом, оператор Вольтерра является примером вполне непрерывногооператора, не имеющего ни одного собственного значения (оператор Вольтерра вполненепрерывный из h[a,b] в h[a,b], но не самосопряженный!!!).Следствие 3. Решение уравнения Вольтерра 2 рода можно найти методомпоследовательных приближений, который в данном случае называется методом Пикара.Метод последовательных приближений: для любого начального приближения y 0 :λnxy 0 ∈ C[a, b],y n+1 = λ ∫ K ( x, s ) y n ( s ) ds + f ( x), n = 0,1,2,...

, или y n +1 = λ A y n + f .aЕсли y 0 = 0 , то получаем ряд Неймана y = f + λ A f + λ 2 A 2 f + ... + λ n A n f + ... ..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций