2-4 (1118061)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

4. Задача на условный экстремум.Рассмотрим задачу об отыскании экстремума функционалаbV [y, z ] = ∫ F (x, y, z , y ′, z ′)dx ,где y = y (x ),az = z (x ) , с граничными условиямиy (a ) = y0 ; z (a ) = z 0 ;y (b ) = y1 ; z (b ) = z1 .Кроме того, предположим, что функции y = y (x ), z = z (x ) удовлетворяют уравнениюсвязиΦ(x, y, z , y ′, z ′) = 0 .Поскольку Φ зависит не только от функций y = y (x ), z = z (x ) , а и от их первыхпроизводных, такая связь называется неголономной.Теорема (Необходимое условие экстремума для задачи с закрепленнымиконцами и неголомной связью).

Пусть: 1) y ( x), z ( x) осуществляют экстремум V [y, z ] взадаче с закрепленными концами и неголономной связью; 2) F , Φ имеют непрерывныечастные производные до второго порядка включительно; 3) y ( x), z ( x) дважды непрерывнодифференцируемы на [a,b], причем Φ z′ ≠ 0 (для определенности будем считать,что Φ z′ > 0 ). Тогда существует дифференцируемая функция λ (x ), такая что y ( x), z ( x)bудовлетворяют системе уравнений Эйлера для функционала∫ H (x, y, z, y′, z′)dx ,гдеaH = F + λ (x)Φ :d Fy + λ Φ y − dx (Fy′ + λ Φ y′ ) = 0; F + λ Φ − d (F + λ Φ ) = 0;zz′z′ zdxΦ(x, y, z , y ′, z ′) = 0; y (a ) = y ; y (b ) = y ;01 z (a ) = z 0 ; z (b ) = z1 .Доказательство. Рассмотрим функционал V [y + th1 (x ), z + th2 (x )], где h1 (x ), h2 (x ) непрерывно дифференцируемые функции, удовлетворяющие граничным условиям:h1 (a ) = h1 (b ) = 0;h2 (a ) = h2 (b ) = 0;и посчитаем вариацию V и приравняем ее нулю:dV [y + th1 (x ), z + th2 (x )] t =0 = δV ( y, z , h1 , h2 ) = 0.dtТак же, как в предыдущем параграфе, после интегрирования по частям(подстановки обращаются в нуль в силу граничных условий для h1 (x ), h2 (x ) ) получаем:bbbddδV = ∫ (Fy h1 + Fy′ h1′ + Fz h2 + Fz′ h2′ )dx = ∫  Fy − Fy′ h1dx + ∫  Fz − Fz′ h2 dx = 0.dxdx aaaЕсли бы h1 (x ), h2 (x ) были бы независимыми, то мы получили бы системууравнений Эйлера.

Однако h1 (x ), h2 (x ) подчиняются (по крайней мере, для малых t)уравнению связиΦ[x, y + th1 , z + th2 , y ′ + th1′ , z ′ + th2′ ] = 0 .Получим уравнение, решая которое, мы сможем выразить h2 (x ) черезПродифференцируем записанное выше равенство по t и положим t=0:dΦ= 0;dt t =0илиΦ y h1 + Φ y′ h1′ + Φ z h2 + Φ z′ h2′ = 0 .h1 (x ) .Т.к. Φ z′ ≠ 0 , тоΦyΦ y′Φzh2 −h1 −h1′ .Φ z′Φ z′Φ z′ΦyΦ y′ΦОбозначим a2 = − z , a1 = −, b1 = −, тогда получим следующую задачу КошиΦ z′Φ z′Φ z′для отыскания h2 (x ) при условии, что h1 (x ) задано:h2′ = a 2 h2 + (a1h1 + b1h1′ );h2 (a ) = 0.Уравнение, которому удовлетворяет h2 (x ) , является линейным дифференциальнымуравнением первого порядка. Общее решение этого уравнения хорошо известно из курсадифференциальных уравнений (например, может быть найдено методом вариациипостоянной).

Найдите сами (!!!) это общее решение и покажите, что решение задачи Кошиимеет вид:xxh2 = ∫ (a1h1 + b1h1′ )exp ∫ a2 dη dξ .aξИтак, мы выразили h2 (x ) через h1 (x ) . Подставляя это выражение во второй интеграл вформуле для вариации, после простых преобразований получаем:aabddxx xFz′ dx ∫ (a1h1 + b1h1′ )exp ∫ a2 dη dξ = ∫ (a1h1 + b1h1′ )dξ ∫  Fz −Fz′  exp ∫ a2 dη dx∫  Fz −dx  adx bbξξξh2′ = −bbd= ∫ (a1h1 + b1h1′ )γ ( x)dx = ∫ a1γ − (b1γ ) h1dx,dxaabxdгде γ (ξ ) = ∫ ( Fz − Fz′ ) exp ∫ a 2 dη dx. Окончательно,dxξξbddδV = ∫ ( Fy − Fy′ ) + a1 γ − (b1γ ) h1 ( x) dx = 0.dxdxaПо основной лемме вариационного исчисления:ddFy −Fy′ + a1 γ − (b1γ ) = 0 .dxdxbx ΦdПоскольку γ ( x) = ∫ ( Fz −Fz ' ) exp ∫ z dη dξ , то ξ Φ z'dξxΦydd  Φ ' γ −  − y γ .a1γ − (b1γ ) = −Φ z'dxdx  Φ z ' γ ( x)Обозначим λ ( x) = −.

Очевидно, что λ (x) - непрерывная функция.Φ z'Заметим, чтоa2γ −dd(b1γ ) = λΦ y − (λΦ y ' ) ,dxdxилиFy −ddFy ' + λΦ y − (λΦ y ' ) = 0 ,dxdxилиd( Fy ' + λΦ y ' ) = 0 .dxМы получили первое из уравнений Эйлера из сформулированных в условиях теоремы.Перепишем второе уравнение таким образом:Φ dd(λΦ z ' ) =  z (λΦ z ' ) +  Fz − Fz ' dxdx  Φ z' Fy + λΦ y −Рассмотрим это уравнение относительно λΦ z ' .

Тогдаx ΦdFz ' ) exp ∫ z dη  dξ Φ z'dxbξявляется его решением. Осталось сравнить полученное выражение с выведенной ранееформулой для γ ( x) = −λΦ z ' . Тем самым, второе уравнение из системы уравнений Эйлератоже выполнено. Теорема доказана.Рассмотрим теперь задачу с голономной связью.

Требуется найти минимумфункционалаxλΦ z ' = ∫ ( Fz −bV [ y, z ] = ∫ F ( x, y, z , y ' , z ' )dxaпри выполнении граничных условийy (a ) = y0 ; y (b) = y1 ;z (a ) = z 0 ; z (b) = z1 ;и уравнения связи Φ( x, y, z ) = 0 .Граничные условия нельзя считать независимыми, посколькуΦ(a, y 0 , z 0 ) = 0 ; Φ(b, y1 , z1 ) = 0 .Как и ранее, введем функцию H = F + λ (x)Φ и функционалb∫ H ( x, y, z, z ' , y' ) dx .aВ отличие от задачи с неголономной связью теперь Φ z ' ≡ 0. Поэтому предположим,что Φ z ≠ 0 . Система уравнений Эйлера в данном случае имеет вид:d( Fy + λΦ y ) − dx Fy′ = 0;( F + λΦ ) − d F ′ = 0.zz zdxТеорема (Необходимое условие экстремума для задачи с закрепленнымиконцами и голомной связью). Пусть: 1) функции y (x) и z (x) реализуют экстремум впоставленной выше задаче с голономной связью; 2) функция F непрерывна со своимичастными производными до второго порядка включительно; 3) функция Φ непрерывна сосвоими частными производными, и Φ z ≠ 0 ; 4) функции y (x) и z (x) дважды непрерывнодифференцируемы.

Тогда существует дифференцируемая функция λ (x ) такая, что y (x) иz (x) удовлетворяют системе уравнений, записанной выше.Доказательство. Выражение для вариации функционала получено придоказательстве предыдущей теоремы и имеет следующий вид:bddδV = ∫ [( Fy − Fy′ )h1 + ( Fz − Fz′ )h2 ]dx = 0 .dxdxaВыразим теперь h2 через h1 из соотношенияΦ y h1 + Φ z h2 = 0,полученного также, как и в предыдущей теореме. Отсюда легко находимΦyh2 = −h1 ,Φz(используем условие Φ z ≠ 0 ). Подставляя h2 в выражение для вариации и применяяосновную лемму вариационного исчисления, получаем уравнениеΦydd= 0.( Fy −Fy′ ) − ( Fz − Fz′ )ΦzdxdxdFz − Fz′dx, получаем первое уравнение из системы уравнений Эйлера.Полагая λ = −ΦzВторое уравнение системы – это записанное выше определение λ .

Очевидно, чтоλ = λ (x) - непрерывная функция. Теорема доказана.В качестве простого примера рассмотрим задачу об отыскании так называемыхгеодезических линий. Пусть уравнение Φ( x, y, z ) = 0 задаёт некоторую поверхность втрёхмерном пространстве. Пусть на данной поверхности фиксированы две точки;поставим задачу отыскания геодезической линии, т.е. кривой минимальной длины,соединяющей эти точки. Если предположить, что уравнение кривой допускает введениепараметризации с помощью параметра x, то данная задача сводится к минимизациифункционалаbV [ y, z ] = ∫ 1 + ( y′) 2 + ( z ′) 2 dx.aВ заключение параграфа рассмотрим так называемую изопериметрическую задачу.Пусть требуется экстремум функционалаbV [ y ] = ∫ F ( x, y, y′)dxaпри выполнении граничных условий:y (a) = y0 ;y (b) = y1 ;и дополнительного условия:bI [ y ] = ∫ G ( x, y, y′)dx = la(функционал I [ y ] имеет заданное значение).Задача называется изопериметрической, т.к.

если:bV [ y ] = ∫ ydx;abI [ y ] = ∫ 1 + ( y ′) 2 dx = l ;aто требуется найти кривую, проходящую через заданные точки, площадь под котороймаксимальна.Для того, чтобы применить полученные в данном параграфе результаты, введемновую функциюxz ( x) = ∫ G ( x, y, y ′)dx.aОчевидно, что z (a ) = 0, z (b) = l. Перепишем изопериметрическую задачу в следующемвиде: найти экстремум функционалаbV [ y, z ] = ∫ F ( x, y, y ′)dxaпри выполнении граничных условий y (a ) = y0 , y (b) = y1 , z (a ) = 0, z (b) = l ; и уравнениянеголономной связиΦ( x, y, z , y ′, z ′) ≡ − z ′ + G ( x, y, y ′) = 0 .bЗапишем систему уравнений Эйлера для функционала∫ Hdx , где H = F + λΦ :ad( Fy + λG y ) − dx ( Fy′ − λG y′ ) = 0; dλ = 0. dxОбратите внимание на второе уравнение, из которого следует, что λ = const .Теорема (Необходимое условие экстремума для изопериметрической задачи сзакрепленными концами).

Пусть: 1) y (x) реализует экстремум функционалаbV [ y ] = ∫ F ( x, y, y′)dx ; 2) функции F и G непрерывны вместе со своими производнымиaдо второго порядка включительно;3) функция y (x) дважды непрерывнодифференцируема. Тогда существует λ = const такое, что y (x) удовлетворяет уравнениюbЭйлера для функционала:∫ Hdx , где H = F + λG .aДоказательство следует немедленно из теоремы о необходимом условии для задачис закрепленными концами и неголономной связью.Вернемся теперь к задаче об отыскании кривой заданной длины, ограничивающейbмаксимальнуюплощадь.Вэтомслучае,F=y,V [ y ] = ∫ ydx ,G = 1 + ( y′) 2 ,aH = y + λ 1 + ( y′) 2 , λ = const . Первый интеграл для уравнения Эйлера имеет вид:H − y′H y′ = C1 ,илиy′y + λ 1 + ( y′) 2 − y′λ= C1 .1 + ( y′) 2Приводя подобные члены, имеем1y − C1 = −λ.1 + ( y′) 2Введём вспомогательный параметр t : y′ = tg t .

Тогдаy − C1 = −λ cos t .Найдем x(t):dy λ sin tdt = λ cos tdt ⇒ x − C2 = λ sin t .=y′tgtИсключая параметр t, получим уравнение окружности( x − C2 ) 2 + ( y − C1 ) 2 = λ2 .Параметры C1 , C2 и λ можно найти из системы:dx =( x − C 2 ) 2 + ( y − C1 ) 2 = λ2 ; y (a) = y0 ; y (b) = y1 ;b∫ Gdx = l.a.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций