1-2 (1118048), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Рассмотрим единичный оператор I: h[a,b] → h[a,b], Iy=y длялюбого y. Он, очевидно, является ограниченным, но не является вполненепрерывным. Для доказательства этого утверждения достаточно рассмотретьпоследовательность членов ортонормированной системы из предыдущегопримера и заметить, что Aen=en.7Теорема. Пусть А - оператор Фредгольма, действующий изh[a, b] → h[a, b] .

Тогда А - вполне непрерывный оператор.Доказательство. а) Докажем сначала, что А - вполне непрерывныйоператорпридействииКритерийкомпактностиh[a, b] → C[a, b] .последовательности элементов пространства C[a,b] определяется теоремойАрцела, доказанной в курсе математического анализа.Теорема Арцела. Если последовательность элементов C[a,b] равномерноограничена и равностепенно непрерывна, то из нее можно выделить равномерносходящуюся подпоследовательность.Доказательство данной теоремы основывается на проверке условийтеоремы Арцела.Рассмотрим последовательность y n ∈ h[a, b] такую, чтоyn ≤ M ,bn=1,2,…, и последовательность z n ( x) = Ay n = ∫ k ( x, s ) ⋅ y n ( s ) ds .

Докажем, чтоaпоследовательность zn(x) равномерно ограниченна и равностепенно непрерывна.1) Докажем сначала равномерную ограниченность. ОбозначимK0=sup{|K(x,s)|: x,s∈[a,b]}. Поскольку функция K(x,s) непрерывна посовокупности аргументов x, s на замкнутом ограниченном множестве (квадрате)[a,b]x[a,b], то K0<+∞. (Более того, K0=max{|K(x,s)|: x,s∈[a,b]}). Тогдаbz n ( x) = ∫ K ( x, s ) y n ( s ) ds ≤abb22∫a K ( x, s) ds ⋅ ∫a yn (s) ds ≤ M K o b − a$!#! !"! $!#!"≤ K o2 ⋅( b − a )≤M 2для всех x ∈ [a, b] и всех n=1,2,… , а это и есть равномерная ограниченность.2) Докажем теперь равностепенную непрерывность последовательностиzn(x).

Возьмем произвольные точки x1 , x2 ∈ [a, b] . Имеемbz n ( x1 ) − z n ( x2 ) = ∫ [ K ( x1 , s ) − K ( x2 , s )] y n ( s ) ds ≤ab∫ [ K ( x , s) − K ( x , s)]1b22ads ⋅ ∫ y n2 ( s ) ds.aФиксируем произвольное ε>0. Функция K(x,s) непрерывна по совокупностиаргументов x, s на замкнутом ограниченном множестве [a,b]x[a,b], а,следовательно, равномерно непрерывна на этом множестве. Поэтому дляεлюбого ε>0 найдется такое δ>0, что K ( x1 , s ) − K ( x2 , s ) ≤, еслиM b−ax1 − x2 ≤ δ .Тем самым, для любого ε>0 найдется такое δ>0, чтоz n ( x1 ) − zn ( x 2 ) ≤ ε для всех n=1,2,…, и всех x1 , x2 ∈ [a, b] , удовлетворяющихx1 − x2 ≤ δ , т.е. последовательность zn(x) равностепенно непрерывна.Итак, последовательность функций z n (x) , непрерывных на замкнутоминтервале [a,b], равномерно ограниченна и равностепенно непрерывна.

Изтеоремы Арцела следует, что из последовательности z n (x) можно выделитьравномерно сходящуюся подпоследовательность, а, как было доказано в курсематематического анализа, равномерно сходящаяся последовательностьнепрерывных функций сходится к непрерывной функции. Очевидно, что этим8же свойством обладает и любая подпоследовательность последовательностиz n (x) . Следовательно, оператор А является вполне непрерывным при действииh[a, b] → C[a, b] . Но, т.к.

из равномерной сходимости следует сходимость всреднем, то та же самая подпоследовательность непрерывных функций, котораясходится равномерно к некоторой непрерывной функции, сходится и в среднемк той же функции. Тем самым, оператор А является вполне непрерывным и изh[a,b] в h[a,b].

Теорема доказана.Нам потребуется понятие самосопряженного (или симметрического)оператора. Пусть оператор А действует E → E ( Е- бесконечномерноеевклидово пространство).Определение. Оператор A∗ : E → E будем называть сопряженным коператору А, если ∀ y1 , y2 ∈ E ( Ay1 , y2 ) = ( y1 , A∗ y2 ) .(Докажите, что A∗ - линейный оператор!).Пусть А- ограниченный оператор. Покажем, что A = A∗ . Пусть y -любойэлемент из E такой, что y = 1 . Тогда2Ay = ( Ay, Ay) = ( A∗ Ay, y) ≤ A∗ Ay y ≤ A∗ Ay ≤ A∗ A y = A∗ A .Поэтому для любого y∈E, ||y||=1, выполнено неравенство2Отсюда A ≤ A ∗ПроведяA∗2≤ A∗2Ay ≤ A∗ A .A .аналогичные рассуждения для оператораA ∗ , получимA . Из этих двух неравенств получаем, что A = A ∗ .Определение. Если A = A ∗ , то оператор А называется самосопряженным.Рассмотрим оператор Фредгольма, действующий из E=h[a,b] в E=h[a,b]:bAy ≡ ∫ K ( x, s ) y ( s ) ds .

Тогда для любых y1, y2∈Eab bb b( Ay1, y2 ) = ∫ ( ∫ K ( x, s ) y1 ( s ) ds ) y 2 ( x) dx = ∫ ( ∫ K ∗ ( x, s ) y2 ( x) dx) y1 ( s ) ds = ( y1, A∗ y2 ).a aa aИтак, A ∗ -оператор, сопряженный к оператору Фредгольма с ядром K(x,s) ,также является оператором Фредгольма с ядром K ∗ ( x, s ) = K ( s, x) для любыхx, s ∈ [a, b] . Если K ( x, s ) = K ( s, x) для любых x, s ∈ [a, b] , то ядро K ( x, s )называется симметрическим.

В этом случае интегральный оператор являетсясамосопряженным (при действии из E в E).9.

Характеристики

Список файлов лекций