2-3 (1118060), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

y n ( x) ) осуществляетэкстремум функционала V [y ] в задаче с закрепленными концами в случае, когда можноменять все компоненты вектор-функции, то эта же вектор-функция осуществляетэкстремум V [y ] в случае, когда меняется одна компонента, а остальные фиксированы.Отсюда немедленно следует, что y(x) удовлетворяет записанной выше системе уравненийЭйлера.Пример. Рассмотрим пример из механики. n материальных точек, имеющих массыmi и координаты ( xi , y i , z i ) (i=1, …, n), движутся под действием сил ∂u ∂u ∂u ,,−,−Fi =  − ∂xi ∂y i ∂z i порожденных потенциальной функциейu = u ( x1 , y1 , z1 ,...x n , y n , z n ).Считая, что координаты точек зависят от времени t, заметим, что кинетическая энергиясистемы материальных точек имеет видn m222∑ i (( xi′ ) + ( y i′ ) + ( z i′ ) ).i =1 2Введем функционал действияt2∫ L dt,t1где L – функция Лагранжа: L = T − u,илиn mL = ∑ i ( xi′ ) 2 + ( yi′ ) 2 + ( z i′ ) 2 − u ( x1 , y1 , z1 ,...xn , y n , z n ).i =1 2()По принципу наименьшего действия (принцип Гамильтона) материальные точки движутсяt2по траекториям, для которых значение функционала∫ L dtминимально.t1t2Система уравнений Эйлера для функционала∫ L dtимеет вид:t1 ∂L d ∂L−=0′∂xdt∂xii ∂L d ∂L−= 0 , где i = 1,..., n . ∂y i dt ∂y i′ ∂L d ∂L−=0′∂zdt∂zi iВычисляя производные, получаем систему уравнений движения (к которым нужнодобавить начальные условия):∂u;mi xi′′ = −∂xi∂u; где i = 1,..., n .mi y i′′ = −∂y i∂u;mi z i′′ = −z∂iСтудентам предлагается самим (!!!) получить первый интеграл этой системы - законсохранения энергии:T + u = const..

Характеристики

Список файлов лекций