Seminar_4 (1117058)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Семинар 4

Система двух обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Решение системы двух автономных ОДУ. Фазовая плоскость. Фазовый портрет. Кинетические кривые. Особые точки. Стационарное состояние. Устойчивость стационарного состояния. Линеаризация системы в окрестности стационарного состояния. Устойчивость по Ляпунову. Характеристическое уравнение. Собственные числа. Собственные вектора. Векторное поле. Метод изоклин. Типы особых точек. Бифуркационная диаграмма.

Рассмотрим систему двух автономных обыкновенных дифференциальных уравнений общего вида:

(4.1)

Решением системы двух автономных обыкновенных дифференциальных уравнений является любая функция, удовлетворяющая этой системе.

Фазовой плоскостью называется плоскость с осями координат, на которых отложены значения переменных x и y, каждая точка плоскости соответствует определенному состоянию системы.

Совокупность точек на фазовой плоскости, положение которых соответствует состояниям системы в процессе изменения во времени переменных , согласно заданным уравнениям исследуемой системы, называется фазовой траекторией.

Совокупность фазовых траекторий при различных начальных значениях переменных дает фазовый портрет системы. Построение фазового портрета позволяет сделать выводы о характере изменений переменных x и y без знания аналитических решений исходной системы уравнений.

Выражение для фазовых траекторий в аналитическом виде можно получить, разделив второе из уравнений системы (4.1) на первое:

. (4.2)

Решение этого уравнения y = y(x, c), или в неявном виде F(x, y) = c, где с – постоянная интегрирования, дает семейство интегральных кривых уравнения (4.2) – фазовых траекторий системы (4.1) на плоскости x, y.

1. Стационарное состояние системы

Точка , в которой производные по времени переменных x и y одновременно обращаются в нуль, является особой точкой (точкой покоя).

Особая точка дифференциальных уравнений фазовых траекторий (4.2) соответствует стационарному состоянию системы (4.1).

2. Устойчивость стационарных состояний нелинейных систем второго порядка

2.1. Линеаризация системы дифференциальных уравнений

Рассмотрим характер поведения переменных при некотором небольшом отклонении системы от состояния равновесия. Введем новые независимые переменные , , определив их как смещения относительно равновесных значений переменных

(4.4)

Подставив эти выражения в (4.1), получим:

(4.5)

, так как – координаты особой точки.

Предположим, что функции P и Q непрерывны и имеют непрерывные производные не ниже первого порядка. Тогда мы можем разложить правые части уравнений (4.5) в ряд Тейлора по переменным , .

(4.6)

где

(4.7)

Учтем, что по определению особой точки

и отбросим в уравнениях (5.6) нелинейные члены. Получим систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами, которая называется линеаризованной системой или системой первого приближения:

(4.8)

2.2. Характеристическое уравнение

Линейной системе двух дифференциальных уравнений (4.8) можно сопоставить определитель:

. (4.10)

Раскрывая определитель (4.10), получаем характерис­тическое уравнение:

. (4.11)

Корни уравнения (4.11) называются собственными числами определителя (4.10) или показателями Ляпунова:

. (4.12)

Общее решение уравнения (4.8) можно представить в виде:

.

2.3. Устойчивость по Ляпунову

Если оба корня (4.12) имеют отрицательную действительную часть и, следовательно, все решения уравнений первого приближения (4.8) затухают, то состояние равновесия устойчиво.

Если хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, то есть система (4.8) имеет нарастающие решения, то состояние равновесия неустойчиво.

Если действительные части обоих корней характеристического уравнения равны нулю или если один корень равен нулю, а другой отрицателен, то уравнения (4.8) не дают ответа на вопрос об устойчивости состояния равновесия, и необходимо рассматривать члены более высокого порядка малости в разложении в ряд Тейлора правых частей уравнений (4.6).

3. Тип фазового портрета в зависимости от показателей Ляпунова.

Итак, характеристические числа могут быть:

1) – действительные, разных знаков, тип особой точки – седло.

2) – действительные, , тип особой точки – неустойчивый узел.

3) – действительные, , тип особой точки – устойчивый узел.

4) – комплексно сопряженные, , тип особой точки – неустойчивый фокус.

5) – комплексно сопряженные, , тип особой точки – устойчивый фокус.

6) – чисто мнимые, тип особой точки – центр.

На рисунке 4.1 представлены соответствующие фазовые портреты.

Рис. 4.1. Типы стационарных состояний системы двух линейных дифференциальных уравнений и соответствующие фазовые портреты.

4. Уравнения сепаратрис

Важной характеристикой фазового портрета особой точки типа «седло» являются две сепаратрисы. Эти прямые всегда направлены вдоль собственных векторов матрицы коэффициентов линейных уравнений системы: . Напомним, что собственным вектором матрицы M, соответствующим собственному числу , называется любой отличный от нуля вектор , который удовлетворяет уравнению . Итак, уравнения прямых-сепаратрис задаются уравнениями

1) или

2) ,

где – характеристические числа матрицы коэффициентов системы. Одному значению соответствует одна прямая (выражения 1 и 2 задают совпадающие прямые).

5. Бифуркационная диаграмма

Введем обозначения:

. (4.13)

Тогда характеристическое уравнение запишется в виде:

(4.14)

Рассмотрим плоскость с прямоугольными декартовыми координатами ,  и отметим на ней области, соответствующие тому или иному типу состояния равновесия, который определяется характером корней характеристического уравнения

. (4.15)

Условием устойчивости состояния равновесия будет наличие отрицательной действительной части у ₁ и ₂. Необходимое и достаточное условие этого – выполнение неравенств  > 0,  > 0. На диаграмме этому условию соответствуют точки, расположенные в первой четверти плоскости параметров. Особая точка будет фокусом, если ₁ и ₂ комплексны. Этому условию соответствуют те точки плоскости, для которых , т.е. точки между двумя ветвями параболы ² = 4. Точки полуоси  = 0,  > 0, соответствуют состояниям равновесия типа центр. Аналогично, ₁ и ₂ ‑ действительны, но разных знаков, т.е. особая точка будет седлом, если  < 0, и т.д. В итоге мы получим диаграмму разбиения плоскости параметров , , на области, соответствующие различным типам состояния равновесия (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Бифуркационная диаграмма для системы линейных уравнений (4.4)

Если коэффициенты линейной системы a, b, c, d зависят от некоторого параметра, то при изменении этого параметра будут меняться и величины , . При переходе через границы характер фазового портрета качественно меняется. Поэтому такие границы называются бифуркационными – по разные стороны от границы система имеет два качественно различных фазовых портрета и, соответственно два разных типа поведения.

6. Метод изоклин

Для построения фазового портрета пользуются методом изоклин – на фазовой плоскости наносят линии, которые пересекают интегральные кривые под одним определенным углом.

Уравнение изоклины записывается как:

. (4.16)

В уравнении (4.16) константа A есть тангенс угла наклона касательной к фазовой траектории. Через главные изоклины (нуль-изоклины) фазовые траектории проходят под углом (изоклина горизонтальных касательных) и (изоклина вертикальных касательных). Для изоклины горизонтальных касательных уравнение (4.3.) принимает вид:

или ;

для изоклины вертикальных касательных:

или .

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов семинаров