Vtorroe_zanyatie_ROST (1117068)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Семинар 2

Непрерывные и дискретные модели роста популяций, описываемые одним уравнением.

1. Непрерывная модель экспоненциального роста в неограниченной среде

В основе этой модели, предложенной Мальтусом в 1798 г., лежит предположение, что прирост численности вида пропорционален этой численности и интервалу времени, за который произошел прирост:

X = rXt

Здесь r – константа собственной скорости роста популяции.

Совершив предельный переход, получим линейное дифференциальное уравнение:

dX/dt = rX,

решением которого является функция

X(t) = X₀exp(rt),

где X₀ – начальная численность популяции.

Пример применения модели Мальтуса – описание развития однородной популяции в условиях неограниченных ресурсов питания (рост клеточной культуры, пока не начнет истощаться среда).

Задание к модели экспоненциального роста.

Изучение влияния параметра r (скорость роста) на форму кривой роста.

Постройте три графика для разных скоростей роста, исходя из одинаковой начальной численности.

(Масштаб осей: 0<t<50, 0<X(t)<100)

Начальная численность: 10

Скорость роста: 0.05

0.1

0.2

Зарисуйте в тетрадь все три графика в одних координатных осях.

2. Непрерывная модель логистического роста

Модель логистического роста была предложена Ферхюльстом в 1938 г. для описания развития популяции в условиях ограниченных ресурсов питания. В основу модели положено уравнение

dX/dt = rX - bX²,

которое приводится к виду

dX/dt = rX (1 – X/K)

Член (- bX²), пропорциональный количеству встреч между особями, учитывает «самоотравление» популяции, объяснимое многими причинами (конкуренция за ресурсы питания, выделение в среду вредного метаболита и др.). Коэффициент b называется коэффициентом внутривидовой конкуренции. Величина К = r/b соответствует устойчивому стационарному состоянию с максимально возможной в данных условиях численностью популяции и называется «емкостью среды », Параметр r называется скоростью роста и характеризует способность популяции к увеличению численности. Решением дифференциального уравнения является функция

X(t) = X₀exp(rt)/(1+ X₀(exp(rt)-1)/K),

где X₀ – начальная численность популяции.

Характер логистической кривой зависит от величины параметров r и K и от начальной численности X₀.

Задание к непрерывной модели логистического роста.

1. Изучение влияния собственной скорости роста на динамику численности популяции.

Постройте кривые роста для трех разных значений скорости роста.

(Масштаб осей: 0<t<50, 0<X(t)<1500)

Начальная численность: 10

Емкость среды: 1000

Скорость роста: 0.2

0.5

1.0

Зарисуйте три графика в одних координатных осях.

Для одного из графиков определите фазы экспоненциального, линейного и стационарного роста.

Для каждого графика определите момент, в который скорость роста популяции начинает уменьшаться.

2. Изучение влияния начальных условий на форму кривой роста.

Постройте графики для трех разных начальных численностей.

(Масштаб осей: 0<t<50, 0<X(t)<1500)

Скорость роста 0.5

Емкость среды 1000

Начальная численность: 10

700

1200

Зарисуйте три графика в одних координатных осях.

При какой начальной численности кривая имеет точку перегиба?

3. Модель с нижней и верхней критическими границами численности популяции.

В реальных условиях численность популяции не должна опускаться ниже некоторой критической величины. При падении плотности популяции ниже критической величины время, в течение которого может состояться оплодотворение, становится больше времени жизни одной особи, точнее, времени, в течение которого особь способна к размножению. В этом случае популяция вымирает. Учесть эти процессы позволяет модель:

dX/dt = rX²/(b+cX) - dX - pX²

Здесь член (rX²)/(b+cX) отражает тот факт, что в двуполых популяциях при малых численностях скорость роста пропорциональная вероятности встреч особей разного пола

(rX²), а при больших численностях - количеству самок в популяции (Xr/c). Слагаемое (-dX) описывает естественное вымирание особей, слагаемое (- pX²) – самоограничение вида.

Модель имеет три стационарных решения: два устойчивых (X₁ = 0 и X₃ = K) и одно неустойчивое (X₂ = L, 0<L<K). Неустойчивое решение (X₂ = L) соответствует нижней критической границе численности, а одно из устойчивых (X₃ = K) – верхней критической границе.

Задание к модели с нижней и верхней критическими границами численности популяции.

1. Определите величины верхней, L, и нижней, K, границ численности, если известно, что коэффициент смертности d = 0.4, коэффициент внутривидовой конкуренции p = 0.1, значения остальных параметров: r = 1, b = 1, с = 1.

Определите количество стационарных состояний и их величины.

2. Постройте кривые роста популяции, для разных начальных условий. Для этого задайте начальную численность

а) меньше L;

б) больше L, но меньше K;

в) больше К.

(Масштаб осей: 0<t<50, 0<X(t)<5)

Зарисуйте три графика в одних координатных осях.

Определите устойчивость стационарных состояний.

4. Дискретная модель логистического роста

Дискретные модели применяются для описания развития популяций, численность которых в момент времени t зависит от численности в k предшествующих моментов времени:

X(t) = F (X(t-1), X(2),…, X(t-k))

В простейшем случае численность каждого следующего поколения X(t+1) зависит лишь от численности предыдущего поколения X(t), и говорят, что поколения в популяции не перекрываются. Это справедливо для многих видов насекомых, а также для некоторых синхронных культур микроорганизмов.

В качестве примера дискретной модели рассмотрим разностный аналог логистичечского уравнения (см. непрерывную логистическую модель: dX/dt = rX (1 – X/K).

Заменив dX/dt на X/t, где X = X(t+1)-X(t) и t = 1, получим

X(t+1) = X(t)(1+ r(1-X(t)/K)).

Однако при таком преобразовании получается биологически некорректное выражение, т.к. при X(t) > K(1+ r)/r значение X(t+1) может стать отрицательным. От этого недостатка избавлено уравнение

X(t+1) = X(t)exp(1+ r(1-X(t)/K)),

которое также можно считать разностным аналогом логистического уравнения.

При различных соотношения параметров r и K, пользуясь этой моделью, можно получать различные режимы динамики численности популяции:

при 0 < r < 1 – монотонное приближение численности к стационарной;

1 < r < 2 – затухающие колебания;

2 < r < 2.53 – двухточечные циклы;

2.53 < r < 3.1 – циклы большей длины;

r > 3.1 – хаотический режим.

Задание к дискретной модели логистического роста

1. Изучение динамики численности популяции при различных значениях скорости роста.

Получите различные режимы динамики численности популяции для разных значений скорости роста.

(Масштаб осей: 0<t<50, 0<X(t)<3000)

Начальная численность: 10

Емкость среды: 1000

Скорость роста: 0.5, 1.9, 2.4, 2.6, 2.7, 3.3.

Каждый из графиков зарисуйте отдельно.

Определите тип режима (монотонный рост, колебания, циклы различной длины и др.)

2. Изучение хаотического режима динамики численности популяции.

При разных начальных условиях постройте и сравните изменение численности популяции для случаев регулярной и хаотической динамики.

(Масштаб осей: 0<t<50, 0<X(t)<3000)

a) Регулярная динамика.

Емкость среды: 1000

Скорость роста: 2.4

Начальная численность: 950

949

10

Зарисуйте три графика в одних координатных осях.

б) Хаотический режим.

Емкость среды: 1000

Скорость роста: 3.3

Начальная численность: 950

949

10

Зарисуйте три графика в одних координатных осях.

Вопросы к занятию

1. Как выглядят кривые модели 1 в координатах ln(X) от t?

2. Сколько стационарных значений существует в модели 2, и какова их устойчивость?

3. Какую долю от максимальной численности (емкости) должна иметь начальная численность популяции в модели 2, чтобы кривая имела точку перегиба?

4. Сколько стационарных значений существует в модели 3, и какова их устойчивость?

5. При каких начальных значениях в модели 3 происходит вымирание популяции, а при каких – выход на стационарный рост?

6. Какие режимы, присутствующие в дискретной модели 4, никогда не реализуются в моделях 1-3?

7. Как отличить хаотический режим от циклов разной длины?

Задачи к семинару 2

A. Задачи на пройденный материал.

2.1. График функции, задающей скорость изменения численности микробной популяции, имеет вид:

1) Какое выражение будет описывать динамику роста культуры, если в начальный момент времени ее размер равен 10⁵.

2) Какова будет численность культуры через 1 час, если ее размер в начальный момент времени равна 10⁷.

2.2. В популяцию большого размера занесено инфекционное заболевание. Пусть x(t) обозначает долю заболевших особей.

, x(0) = 0.

Через сколько лет доля заболевших особей достигнет 90%? Нарисуйте графики скорости роста доли заболевших и доли здоровых особей.

2.3. Найдите стационарные состояния уравнения: и определите их устойчивость, используя критерий Ляпунова.

2.4. Найдите стационарные состояния уравнения: и определите их устойчивость, используя критерий Ляпунова.

2.5* Для модели с наименьшей критической численностью провести полный параметрический анализ:

Найти для всех параметров интервал в котором существует одно неотрицательное решение; два неотрицательных решения; три неотрицательных решения. Дайте биологическую интерпретацию полученным результатам.

Б. Задание для подготовки к семинару 3.

2.6. Повторите и выпишите:

определение геометрической прогрессии;

определение знаменателя геометрической прогрессии,

условие сходимости геометрической прогрессии в зависимости от знака знаменателя.

2.7. Повторите свойства функции y=x. Как найти с помощью этой функции решение уравнения g(x)=x, где g(x) произвольная функция?

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов семинаров