Ceminar_9 (1117048)
Текст из файла
Семинар 9
Неустойчивость Тьюринга. Условия возникновения диссипативных структур.
1. Линейный анализ для системы двух уравнений реакция-диффузия. Сравнение с линейным анализом для системы двух ОДУ. Бифуркационные диаграммы.
Рассмотрим распределенную систему, в которой имеется два вещества, т.е. две кинетические переменные x и y, которые претерпевают химические превращения и кроме того могут диффундировать в реакционном объеме. В случае одномерного реактора такая система может быть описана системой уравнений:
(1)
Здесь r – пространственная переменная. Пусть краевыми условиями являются условия непроницаемости торцов одномерного реактора:
(2)
Как и в случае точечных моделей, первым необходимым этапом изучения модели распределенной системы является исследование устойчивости ее однородного стационарного состояния.
Исследование на устойчивость будем проводить аналогично тому, как проводилось исследование на устойчивость в случае системы обыкновенных дифференциальных уравнений (точечной системы).
| Точечная система | Распределенная система |
| | |
| Стационарное состояние: | Рассмотрим пространственно однородное решение системы, такое что: |
| где P(x,y) = 0, Q(x,y) = 0 Гомогенное стационарное состояние устойчиво, если малые возмущения сил (в том числе и распределенных в пространстве), действующих на систему, вызывают малые возмущения ее решений. Предполагается, что эти возмущения остаются малыми при любом t . | |
| Пусть (t) и (t) – малые отклонения от стационарных решений Тогда для и можно записать линеаризованную систему: | Пусть (t, r) и (t, r) – малые отклонения от пространственно однородных решений Тогда для и можно записать распределенную линеаризованную систему: |
| | |
| Решение будем искать в виде: Множитель | Решение будем искать в виде: Множитель Множитель eikr характеризует отклонение величин переменных от однородного стационарного состояния в точке с координатой r для собственных функций, соответствующих волновому числу k. Для трубки длиной l волновое число принимает дискретные значения |
| Подстановка выражений (7) в (5) после сокращения на Aλ = aA + bB Bλ = cA + dB (16.8) или: A(λ - a ) - bB = 0, (9) cA - (λ - d )B = 0 | Подстановка выражений (7`) в (5`) после сокращения на epteikr дает: Ap = aA + bB - D k2A Bp = cA + dB - D k2B (16.8) или: A(p - a + D k2) - bB = 0 (9`) cA - (p - d + D k2)B = 0 |
| Величины A, B тождественно не равны нулю только в том случае, если определитель систем (9) и (9`) равен нулю: | |
| (λ - a )( λ - d ) - bc = 0 Получим характеристическое уравнение: | (p - a + k2D )(p - d + k2D ) - bc = 0 Получим дисперсионное уравнение: |
| Бифуркационная диаграмма 1: | Бифуркационная диаграмма 2: |
| | |
2. Неустойчивость Тьюринга. Условия, когда в изначально однородном состоянии могут возникнуть диссипативные структуры вследствие диффузионной неустойчивости.
Определим условия возникновения диффузионной неустойчивости (обусловленной только процессами диффузии). Это означает, что однородное стационарное состояние 
,
будет устойчивым по отношению к малым однородным возмущениям (соответствующая точечная система устойчива) и не устойчива по отношению к малым пространственно неоднородным возмущениям.
Анализируя бифуркационные диаграммы 1 и 2, сформулированное выше условие запишем как:
(условие устойчивости в точечной системе),
(1-е условие неустойчивости в распределенной системе)
либо
(2-е условие неустойчивости в распределенной системе)
При 
выражение 
всегда отрицательно (т.к. ). Следовательно, для возникновения неустойчивости в распределенной системе необходимо (седловая неустойчивость).
Таким образом, для возникновения диффузионной неустойчивости (неустойчивости Тьюринга) необходимо одновременное выполнение следующих условий:
1) 
2) 
3) 
3. Понятие активатора и ингибитора. Условия на соотношения коэффициентов диффузии.
Рассмотрим подробнее 3-е условие:
Первое слагаемое положительно, 
, поскольку все коэффициенты положительны. Третье слагаемое также положительно, 
, что следует из условия 2). Тогда сумма трех рассматриваемых слагаемых может быть отрицательной только за счет второго слагаемого, которое должно быть отрицательным: 
. Отсюда следует, что 
>0.
Сопоставим полученное неравенство 
и условие 1) . Видно, что одновременно эти неравенства могут выполняться, только если один из коэффициентов а и d будет положительным, а второй отрицательным.
Пусть для определенности 
, а 
. Назовем вещество x – активатором (поскольку при 
увеличение x будет приводить к увеличению воспроизводства самого себя, 
является автокаталитический членом), а вещество y – ингибитором.
Заметим, что коэффициент a должен быть по модулю меньше, чем коэффициент d, 
, иначе условие 1) не будет выполняться.
Перепишем неравенство , в виде 
.
Откуда следует, что 
.
Итак, если , и , то , только если 
>1, или 
.
Таким образом, необходимым (но не достаточным) условием возникновения диффузионной неустойчивости является выполнение условий:
1) коэффициенты 
и 
должны быть разных знаков;
2) коэффициент диффузии активатора меньше коэффициента диффузии ингибитора.
При равных коэффициентах диффузии диффузионная неустойчивость возникнуть не может.
4. Вывод соотношений для коэффициентов диффузии и волнового числа, при которых возникают диссипативные структуры.
Выражение 
, где 
, описывается параболой, ветви которой направлены вверх. Для возникновения неустойчивости необходимо, чтобы существовали значения 
.
Рассмотрим положение параболы в зависимости от знака дискриминанта 
.
| Dis < 0 | Dis = 0 | Dis > 0 |
| | | |
| Вся парабола лежит в положительной области. Распределенная система устойчива. Диффузионная неустойчивость не возникает. | Существует критическое (бифуркационное) значение | Часть параболы лежит в отрицательной области. Диффузионная неустойчивость возникает в интервале |
| Значение | |
Найдем критическое (бифуркационное) соотношение коэффициентов диффузии, при котором возникает переход от устойчивого состояния в неустойчивое, из условия Dis = 0. 
Пусть 
Перепишем уравнение в виде:
или
.
Корни уравнения выражаются как:
Можно показать, что для положительного 
подходит только 
.
Таким образом, для возникновения диффузионной неустойчивости, необходимо выполнение следующих условий:
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
