Seminar_8 (1117064)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Семинар 8

Понятие автоколебаний. Изображение поведения автоколебательной системы на фазовой плоскости. Предельные циклы. Условия существования предельных циклов. Рождение предельного цикла. Бифуркация Андронова ‑ Хопфа. Мягкое и жесткое возбуждение колебаний. Модель Брюсселятор.

Предельный цикл.

Предельный цикл есть изолированная замкнутая кривая на фазовой плоскости, к которой из ее окрестности в пределе при t  + (или при t  –) стремятся фазовые траектории.

Рассмотрим систему уравнений общего вида:

^(8.1)

Если T (T > 0) — наименьшее число, для которого при всяком t

то изменение переменных x = x (t), y = y (t) называется периодическим изменением с периодом T.

Периодическому изменению соответствует замкнутая траектория на фазовой плоскости.

Если периодическому изменению на фазовой плоскости соответствует изолированная замкнутая кривая, к которой с внешней и внутренней стороны приближаются (при возрастании t) соседние траектории, эта изолированная замкнутая траектория есть устойчивый предельный цикл.

Предельный цикл называется устойчивым, если существует такая область на фазовой плоскости, содержащая этот предельный цикл,  окрестность , что все фазовые траектории, начинающиеся в окрестности , асимптотически при t  + приближаются к предельному циклу.

Если же, наоборот, в любой сколь угодно малой окрестности  предельного цикла существует по крайней мере одна фазовая траектория, не приближающаяся к предельному циклу при t  +, то такой предельный цикл называется неустойчивым. Такие циклы разделяют области влияния (бассейны) разных притягивающих множеств.

Движения, отображаемые устойчивым предельным циклом, обладают следующими свойствами:

а) устойчивость по отношению к малым изменениям самой системы, и

б) независимость периода и амплитуды движения от начальных условий.

Рождение предельного цикла. Бифуркация Андронова-Хопфа

Существование предельных циклов возможно лишь в системе типа (8.1), правые части которой представлены нелинейными функциями.

Напомним, что если в линейной системе корни характеристического уравнения комплексны, то есть имеют действительную и мнимую части, Re _1,2 и Im _1,2, то при переходе Re _1,2 через нуль (причем Im _1,2  0) происходит смена устойчивости фокуса. Нулевым значениям действительной части характеристических чисел (ляпуновских показателей) соответствует особая точка типа центр (рис.8.1).

Рис.8.1. Изменение устойчивости фокуса при изменении Re _1,2.

В нелинейной системе, где возникает неустойчивый фокус, при этом возможно рождение предельного цикла. Выполнению условия Re _1,2 = 0, причем Im _1,2  0, соответствует бифуркация Андронова–Хопфа или бифуркация рождения (исчезновения) предельного цикла. Существуют два типа бифуркации Андронова–Хопфа, которые получили название закритическая (суперкритическая) бифуркация и докритическая бифуркация.

Закритическая бифуркация (мягкое возбуждение автоколебаний). Рассмотрим модельную систему, представленную в полярных координатах r, φ (r – радиус, φ – угол).

^(8.2)

Стационарные состояния системы (8.2): , .

Поскольку r – это радиус, только положительное решение имеет реальный смысл.

Проведем линейный анализ устойчивости стационарных значений r. Производная правой части первого уравнения (8.2) по переменной r равна:

Для величина Нулевое стационарное решение (точка) устойчиво при c < 0 и неустойчиво при c > 0 (рис. 8.2).

Для стационарного решения , представляющего собой предельный цикл (круг радиуса с) величина . Предельный цикл является устойчивым при с > 0.

Задание 1

Изучение мягкого возбуждения автоколебаний.

Запишем систему 8.2 в Декартовых координатах. Для этого сделаем замену переменных: x = r cos(φ), y = r sin(φ). Получим:

x' = x(c - (x²+y²)) - 2πy, (8.3)

y' = y(c - (x²+y²)) + 2πx.

В программе TRAX постройте фазовые портреты системы 8.3 при разных значениях параметра с и разных начальных условиях.

Начальные условия: x = 0.1, y = 0 (масштаб: -1 < x < 1, -1 < y < 1).

Начальные условия: x = 1, y = 0 (масштаб: -1 < x < 1, -1 < y < 1).

Рис. 8.2. Фазовые портреты системы 8.3 при изменении параметра с.

На рис. 8.2 видно, что при изменении значений параметра с с отрицательных на положительные возникает предельный цикл, амплитуда которого плавно растет.

Возникновение предельного цикла и увеличение амплитуды с ростом параметра с в системе (8.3) можно представить на фазопараметрической диаграмме (рис. 8.3).

Рис. 8.3. Закритическая (суперкритическая) бифуркация Андронова-Хопфа. Мягкое возбуждение автоколебаний. При с > 0 возникают автоколебания, амплитуда которых растет с увеличением с

Субкритическая бифуркация (жесткое возбуждение автоколебаний). В этом случае при бифуркационном значении параметра в системе скачком (жестко) возникают колебания конечной амплитуды. При этом устойчивый фокус теряет устойчивость, а аттрактором при этом может стать предельный цикл большой амплитуды.

Рассмотрим модельную систему, описывающую рождение предельного цикла при жестком возбуждении. В полярных координатах r, φ (r – радиус, φ – угол) система имеет вид:

^(8.4)

Приравняв правую часть первого уравнения нулю, получим следующие стационарные значения радиуса r:

Физический смысл имеют лишь неотрицательные действительные значения r.

Анализ знака производной правой части первого уравнения (8.4) по r показывает, что, как и в предыдущем случае суперкритической бифуркации, нулевое решение устойчиво при c < 0 и неустойчиво при c > 0.

В интервале –1 < с < 0 возникает еще два положительных стационарных решения и . Значение величины > 0 при любых с > 0, анализ устойчивости показывает, что это устойчивый предельный цикл. Величина > 0 лишь в интервале –1 < с < 0. Анализ устойчивости показывает, что это неустойчивый предельный цикл, амплитуда которого уменьшается по мере увеличения с (в интервале –1 < с < 0).

При с = 0 (бифуркационное значение) , а при c > 0 подкоренное выражение в формуле для амплитуды неустойчивого предельного цикла становится отрицательным и не может соответствовать реальным процессам. Неустойчивый предельный цикл при с = 0 «влипает» в устойчивый фокус. Точка r = 0 теряет устойчивость и становится неустойчивым фокусом.

Задание 2

Изучение жесткого возбуждения автоколебаний.

Запишем систему 8.4 в Декартовых координатах. Сделаем замену переменных: x = r cos(φ), y = r sin(φ). Получим:

x' = x(c +2(x²+y²) - (x²+y²) ²) - 2πy (8.5)

y' = y(c +2(x²+y²) - (x²+y²) ²) + 2πx

В программе TRAX постройте фазовые портреты системы 8.5 при разных значениях параметра с и разных начальных условиях.

Начальные условия: x = 0.1, y = 0 (масштаб: -1.5 < x < 1.5, -1.5 < y < 1.5).

Начальные условия: x = 1.5, y = 0 (масштаб: -1.5 < x < 1.5, -1.5 < y < 1.5).

Рис. 8.3. Фазовые портреты системы 8.5 при изменении параметра с.

Рассмотрим, что происходит в системе, если двигаться по параметру с, начиная с отрицательных значений (рис.8.3). Первоначально имеется единственное устойчивое стационарное состояние r = 0, устойчивый фокус. При –1 < c < 0 в системе наряду с устойчивым фокусом существуют также устойчивый и неустойчивый предельные циклы (при изображении траекторий в прямом времени мы можем видеть только устойчивый предельный цикл). В зависимости от начальных условий фазовые траектории либо скручиваются в устойчивый фокус, либо наматываются на устойчивый предельный цикл. Однако после того как с становится положительным, стационарное состояние r = 0 становится неустойчивым. Если изображающая точка находилась в области влияния устойчивого фокуса, то при смене устойчивости происходит резкий скачок к устойчивому предельному циклу. В системе скачком возникают устойчивые автоколебания конечной амплитуды и частоты. Если двигаться от положительных значений с к отрицательным, колебания большой амплитуды сохраняются до тех пор, пока с не станет меньше –1, а затем внезапно исчезнут. Таким образом при –1 < с < 0 могут существовать два различных типа поведения. Какой из них реализуется, зависит от предыстории системы. Такой феномен называется эффектом гистерезиса (рис.8.4).

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов семинаров