Ceminar_7 (1117046)
Текст из файла
Семинар 7
Иерархия времен в биологических системах. Быстрые и медленные переменные. Теорема Тихонова. Квазистационарные концентрации. Редукция систем с учетом иерархии времен. Уравнение Михаэлиса-Ментен. Применение метода квазистационарных концентраций.
Математически строгое обоснование применения метода квазистационарных концентраций (редукции системы в соответствии с иерархией времен) и формулировка условий его применимости дана в работе А.Н. Тихонова (1952).
Рассмотрим простейший случай двух дифференциальных уравнений
. (6.1)
Пусть y – медленная, а x – быстрая переменная.
Скорость изменения x значительно превосходит скорость изменения y, поэтому систему уравнений можно записать в виде:
где A >> 1, а функция F(x, y) имеет тот же порядок величины, что и функция G(x, y).
Разделив левую и правую часть уравнения на А и обозначив = 1/A, получим полную систему уравнений, тождественную исходной:
(6.2)
где << 1 – малый параметр. Фазовый портрет такой системы представлен на рис. 6.1.
Если выполняются условия теоремы Тихонова, тогда можно устремить к нулю и получить для «быстрой» переменной x вместо дифференциального уравнения – алгебраическое.
(6.3)
В отличие от полной системы (6.2), система (6.3) называется вырожденной.
Рис. 6.1. Фазовый портрет полной системы (6.2)
Рассмотрим фазовый портрет полной системы (6.2), представленный на рис.6.1. Фазовые траектории в любой точке фазовой плоскости за исключением -окрестности кривой F(x, y) = 0 имеют наклон, определяемый уравнением:
т.е. расположены почти горизонтально. Это области быстрых движений, при которых вдоль фазовой траектории x быстро меняется, а y остается постоянным. Достигнув по одной из таких горизонталей -окрестности кривой F(x, y) = 0, изображающая точка потом будет двигаться по этой кривой.
Скорость движения по горизонтальным участкам траектории dx/dt 1/ = A, т.е. очень велика по сравнению со скоростью движения в окрестности кривой F(x, y) = 0. Поэтому общее время достижения некоего состояния на кривой F(x, y) определяется лишь характером движения вдоль этой кривой, т.е. зависит лишь от начальных значений медленной переменной y и не зависит от начальных значений быстрой переменной x.
Отметим, что квазистационарные значения быстрых переменных являются функциями не окончательных стационарных значений медленных переменных, а лишь их мгновенных значений. В этом смысле говорят о том, что быстрая переменная «подчинена» медленной.
Теорема Тихонова устанавливает условия редукции системы дифференциальных уравнений с малым параметром (условия замены дифференциальных уравнений для быстрых переменных ‑ алгебраическими).
Запишем систему N уравнений, часть из которых содержит малый параметр перед производной.
, (6.4)
. (6.5)
Назовем систему (6.4) присоединенной, а систему (6.5) ‑ вырожденной.
Решение полной системы (6.4 - 6.5) стремится к решению вырожденной системы (6.5) при 0, если выполняются следующие условия:
a) решение полной и присоединенной системы единственно, а правые части непрерывны;
б) решение 
представляет собой изолированный корень алгебраической системы
(в окрестности этого корня нет других корней);
в) решение 
— устойчивая изолированная особая точка присоединенной системы (6.4) при всех значениях 
;
г) начальные условия 
попадают в область влияния устойчивой особой точки присоединенной системы.
Число начальных условий вырожденной системы меньше, чем полной: начальные значения быстрых переменных не используются в вырожденной системе. Согласно теореме Тихонова, если выполняется условие в), результат не зависит от начальных условий для переменных присоединенной системы.
Таким образом, необходимым условием редукции является наличие малого параметра в уравнениях (6.4).
Задание
1. Вывод системы дифференциальных уравнений по кинетической схеме.
Рассмотрим базовую модель ферментативной реакции, предложенной Михаэлисом и Ментен.
Схема реакции: 
(6.6)
Субстрат S образует с ферментом E фермент-субстратный комплекс ES (эта реакция обратимая); затем этот комплекс распадается на фермент и продукт P (реакция необратимая). 
– константы скоростей реакций. По закону действующих масс, скорость реакции пропорциональна произведению концентраций.
Обозначим концентрации реагентов малыми буквами: s = [S] – концентрация субстрата, e = [E] – концентрация фермента, c = [ES] – концентрация фермент-субстратного комплекса, p = [P] – концентрация продукта. Изменение во времени каждой из компоненты схемы реакции описывается следующими уравнениями:
Начальные условия: 
(6.7)
s0 – общая (максимальная) концентрация субстрата, е0 – общая (максимальная) концентрация всех форм фермента. В начальный момент времени концентрации субстрата и фермента равны своим максимальным концентрациям.
2. Упрощение системы.
Заметим, что последнее уравнение отделяется от всех остальных: если система трех первых уравнений решена, то концентрация продукта рассчитывается по формуле: 
.
В соответствии со схемой реакции в любой момент времени общее количество фермента (свободного и связанного в комплекс) сохраняется: 
. Тогда наша система уравнений приводится к следующему виду:
Начальные условия: 
(6.8)
3. Построение кинетических кривых для независимых переменных s(t), c(t).
Рассмотрим случаи, когда общая концентрация субстрата s0 больше общей концентрации фермента е0 в 10 и 100 раз. При этом скорости элементарных стадий равны между собой.
| Начальные значения концентраций: s(0) = 10, c(0) = 0. Значения констант: k+1 = 1, k-1 = 1, k+2 = 1, e0 = 1. | Начальные значения концентраций: s(0) = 100, c(0) = 0. Значения констант: k+1 = 1, k-1 = 1, k+2 = 1, e0 = 1. |
| Рис. 6.2. а) | Рис. 6.2. б) |
Масштаб изменений переменных s и c различается в 10 раз на рис. 6.2. а) и в 100 раз на рис. 6.2. б). Динамика изменения фермент-субстратного комплекса c по отношению к динамике изменения субстрата s выглядит почти стационарной– квази-стационарной.
4. Обезразмеривание системы и выделение малого параметра.
Введем новые переменные 
и проведем замену переменных.
В исходной системе (6.8)
выражаем старые переменные через новые:
Делим правые и левые части обоих уравнений на 
.
Преобразуем первое уравнение, добавляя и вычитая 
:
Обозначая 
, 
, 
, получим
(6.9)
x(τ) – безразмерная концентрация субстрата («медленная» переменная),
y(τ) – безразмерная концентрация фермент-субстратного комплекса («быстрая» переменная).
Параметр 
отражает, во сколько раз общая концентрация субстрата 
превышает общую концентрацию фермента 
.
5. Построение кинетических кривых и фазовых портретов безразмерной системы.
5.1. Построим кинетические кривые, рассчитывая значения К, V и для случаев, когда общая концентрация субстрата s0 больше общей концентрации фермента е0 в 10 и 100 раз ( = 0.1 и = 0.01).
| Начальные значения концентраций: x(0) = 1, y(0) = 0. Значения констант: k+1 = 1, k-1 = 1, k+2 = 1, e0 = 1, s0 = 10. K = 0.2, V = 0.1, = 0.1. | Начальные значения концентраций: x(0) = 1, y(0) = 0. Значения констант: k+1 = 1, k-1 = 1, k+2 = 1, e0 = 1, s0 = 100. K = 0.02, V = 0.01, = 0.01. |
| Кинетические кривые безразмерной системы | |
| Рис. 6.3. а) | Рис. 6.3. б) |
В отличие от размерных переменных s и c безразмерные переменные x и y изменяются в одном масштабе – от 0 до1.
На рисунках видно, что чем меньше (т.е. чем больше разница между концентрациями субстрата и фермента), тем больше разница в скоростях изменения субстрата и фермент-субстратного комплекса.
В начальные моменты времени концентрация фермент-субстраного комплекса очень быстро достигает своего максимального значения, то есть, весь фермент оказывается связанным с субстратом. Концентрация субстрата равномерно уменьшается, субстрат постепенно переходит в продукт. Концентрация фермент-субстратного комплекса при этом в течение некоторого времени меняется очень мало, поскольку освободившийся фермент из-за большой концентрации субстрата очень быстро становится вновь связанным. Можно сказать, что фермент-субстратный комплекс находится в квази-стационарном состоянии.
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
