Seminar_3 (1117056)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Семинар 3

Дискретные модели популяций с неперекрывающимися поколениями. Решение дискретного уравнения. Неподвижная точка. Устойчивость неподвижной точки. Дискретное логистическое уравнение. Бифуркация удвоения периода. Хаос. Лестница Ламерея.

Модели, основанные на аппарате дифференциальных уравнений, применимы для описания динамики достаточно многочисленных популяций (например, микробных), у которых процессы рождения и гибели особей можно считать непрерывными, или у которых нет ярко выраженной сезонности периодов размножения. Если же мы имеем дело с организмами, для которых сезонность – важная характеристика их жизненного цикла, то для описания динамики популяций таких видов более адекватным является аппарат конечно-разностных уравнений.

Пусть численность некоторого вида в начальный момент времени равна , по окончании одного периода времени – , по окончании двух – и.т.д. Развитие популяции во времени тогда описывается последовательностью чисел . Разностным уравнением называется уравнение, которое связывает между собой значения при различных значениях индекса . В общем виде численность популяции в определенный период времени зависит от численности на определенном предшествующем отрезке времени. В этом случае разностное уравнение имеет вид

. (3.1)

В случае, когда численность каждого следующего поколения в популяции N_t+1 зависит лишь от предыдущего поколения N_t, разностное уравнение может быть записано в виде:

. (3.2).

Уравнение вида (3.2) называется точечным отображением. С помощью точечного отображения (3.2) можно описывать популяции с неперекрывающимися поколениями. Например, для многих видов насекомых характерна непродолжительная жизнь взрослых особей. Взрослые особи откладывают яйца и погибают. К моменту выхода нового поколения, предыдущее поколение прекращает свое существование.

К разностным (дискретным) уравнениям применимы понятия, используемые в теории дифференциальных уравнений.

Решением (траекторией) дискретного уравнения называется любая последовательность значений , удовлетворяющая данному дискретному уравнению при каждом значении времени, на котором уравнение определено. Различным начальным условиям соответствуют разные решения.

Точка называется неподвижной точкой дискретного уравнения , если выполняется соотношение

. (3.3)

Состояние, описываемое уравнением (3.3), называется равновесием.

Устойчивость неподвижной точки также можно определить по методу Ляпунова: если при достаточно малом начальном отклонении от положения равновесия система никогда не уходит от положения равновесия, то такое положение равновесия называют устойчивым, оно соответствует устойчивому стационарному режиму функционирования системы.

Как и в случае с дифференциальным уравнением, для исследования устойчивости решения дискретного уравнения применим линейный анализ.

Положим , где – отклонение от положения равновесия. Линеаризуем уравнение (3.2), разлагая правую часть дискретного уравнения в ряд по степеням x_t в окрестности положения равновесия:

.

Учитывая определение равновесия (3.3) и отбрасывая члены порядка и выше, получаем закон, по которому будет развиваться заданное отклонение:

. (3.4)

Соотношение (3.4) представляет собой геометрическую прогрессию, где – знаменатель прогрессии.

Обозначим

Из условий сходимости геометрической прогрессии следует, что

если , то при , т.е. положение равновесия устойчиво;

если , то при , т.е. положение равновесия неустойчиво.

Случаи или требуют дополнительных исследований.

Зная величину знаменателя геометрической прогрессии (3.4), можно определить характер поведения траектории дискретного уравнения вблизи положения равновесия.

- монотонное удаление от положения равновесия.

- монотонное схождение к положению равновесия.

При отрицательных значениях знаменателя, члены геометрической прогрессии становятся знакочередующимися.

- затухающие колебания вокруг положения равновесия.

- амплитуда колебаний вокруг положения равновесия нарастает.

Дискретное логистическое уравнение

Вспомним логистическое уравнение, которое описывает развитие популяции в непрерывном времени:

Заменим dN/dt на DN/t. Здесь

Получим:

. (3.5)

Однако множитель при становится отрицательным, отображение (3.5) приводит к отрицательным значениям численности, что является с биологической точки зрения некорректным. Чтобы исправить положение в качестве f(N_t) следует взять функцию, асимптотически стремящуюся к нулю при N_t  . Таким свойством обладает выражение . Итак, получаем дискретный аналог логистического уравнения:

. (3.6)

Проведем исследование отображения (3.6). Найдем положение равновесия:

, т.е. .

Тогда , .

Исследуем их устойчивость. В соответствии с аналитическим методом определения устойчивости необходимо определить знак и сравнить с 1 величину производной правой части уравнения в точках равновесия.

Производная функции равна:

Подставляем значение :

.

Таким образом, при , состояние равновесия неустойчиво, поведение траекторий в его окрестности – монотонно.

Подставляем значение :

.

При – состояние равновесия устойчиво.

При – затухающие колебания вокруг состояния равновесия.

При – монотонное схождение к положению равновесия.

При или состояние равновесия неустойчиво.

При происходит переход от неподвижной точки к устойчивому циклу с периодом 2 (двухточечному циклу). Переход произошел в результате бифуркации, которая получила название бифуркации удвоения периода.

Решение называется циклом длины T, если

В уравнении (3.6) циклы наблюдается при следующих значениях параметра:

2 < r < 2.526 – двухточечные циклы

2.526 < r < 3.102 – циклы длины 4, 8, 16,..., 2^k.

Переход к каждому следующему циклу с большим периодом осуществляется в результате бифуркации удвоения периода.

При r > 3.102 – решение зависит от начальных условий. Существуют трехточечные циклы и квазихаотические решения.

Преход к хаосу происходит в результате бесконечного каскада бифуркаций удвоения периода.

За ходом решения дискретного логистического уравнения можно проследить с помощью диаграммы (или лестницы) Ламерея.

Лестница Ламерея

Ход решения дискретных уравнений вида N_t+1 = f(N_t) можно наглядно продемонстрировать графически с помощью диаграммы и лестницы Ламерея (рис. 3.1). Точка пересечения биссектрисы первого координатного угла N_t+1 = N_t и функции F(N_t) определяет равновесное состояние системы N^*, аналогичное стационарному состоянию дифференциального уравнения (рис. 3.1а).

На рис. 3.13б показан способ нахождения значений N_t в последовательные моменты времени. Пусть в начальный момент времени N = N₀. F(N₀) = N₁ задает значение численности в последующий момент времени t = 1. Величина N₁ в свою очередь определяет значение F(N₁) = N₂. И так далее. На рис. 3.1б изображен случай, когда траектория сходится к равновесному состоянию, совершая затухающие колебания.

Рис. 3.1. Определение равновесного состояния в дискретной модели популяции с неперекрывающимися поколениями. а – диаграмма Ламерея; б – лестница Ламерея.

Исследование свойств дискретного логистического уравнения

1. Пусть график логистического уравнения N(t+1) = N(t)exp(r(1-N(t)/K)) при определенных параметрах имеет вид, представленный на рисунке.

1.1. Постройте диаграмму Ламерея.

1.2. Определите тип динамического поведения модели (монотонный рост, колебания, хаотический режим).

1.3. Определите характер неподвижной точки, соответствующей полученному режиму.

1.4. Определите диапазон параметра скорости роста r, соответствующий полученному режиму.

2. Исследование колебательных режимов в дискретной модели Ферхюльста.

2.1. В программе Excel задайте логистическое отображение. Для этого

а) в ячейках A1, B1, C1 введите обозначения параметров уравнения: скорость роста r, емкость среды К и начальную численность X(t);

б) в ячейках A2, B2, C2 введите соответствующие величины;

в) в ячейках A4, B4, C4 введите обозначения переменных времени t, численности в некоторый момент X(t), численности в последующий момент X(t+1);

г) в ячейках A5, A6… задайте временной ряд с шагом 1, начиная с начального времени 0

(ряд строится протягиванием ячеек A5, A6).

д) в ячейке B5 введите численность X(t) в момент времени t = 0, используя ссылку на абсолютный адрес = $С$2;

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов семинаров