Seminar_5 (1117060)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Семинар 5

Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений. Исследование нелинейных систем второго порядка. Модель Лотки. Модель Вольтерра.

В общем виде модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений можно записать как:

Исследование нелинейных систем второго порядка будем проводить по следующему общему плану:

1. Находим стационарные состояния , … системы двух автономных дифференциальных уравнений, приравнивая производные и, как следствие, правые части уравнений нулю.

2. Линеаризуем уравнения вблизи каждого стационарного состояния.

где

3. Записываем характеристическое уравнение для каждого стационарного состояния.

или

4. Находим корни характеристического уравнения (либо используем бифуркационную диаграмму) и определяем характер фазового портрета вблизи каждого стационарного состояния.

5. Находим нуль-изоклины.

Изоклину горизонтальных касательных находим из уравнения: .

Изоклину вертикальных касательных находим из уравнения: .

6. Находим уравнения сепаратрис (в случае седла).

или ,

или .

В качестве примеров разберем исследование модели Лотки и Вольтерра.

Модель Лотки

Пусть в некотором объеме находится в избытке вещество А. Молекулы А с некоторой постоянной скоростью превращаются в молекулы вещества X (рис.5.1). Вещество X может превращаться в вещество Y с константой скорости k₁, причем Y является активатором этой стадии (продуктная активация). В схеме это отражено обратной стрелкой над символом Y. Молекулы Y в свою очередь необратимо распадаются, в результате образуется вещество B.

рис. 5.1 Химическая реакция, предложенная А.Лоткой.

Для независимых переменных X и Y запишем систему уравнений, описывающих реакцию на рис.5.1:

(5.1)

Стационарное решение системы (5.1) получим, приравнивая производные и, как следствие, правые части уравнений нулю:

(5.2)

Координаты особой точки:

.

Стационарное состояние системы единственно. Исследуем его устойчивость методом Ляпунова. Построим характеристическую матрицу и определим вид характеристического уравнения.

Частные производные правых частей уравнений системы (5.1):

Линеаризованная система в новых переменных примет следующий вид:

(5.3)

Запишем характеристическое уравнение системы (5.3):

или

.

Корни характеристического уравнения:

.

При , имеют место затухающие колебания концентраций компонентов, особая точка – устойчивый фокус (рис.5.2 а).

При – монотонное приближение концентраций к стационарным значениям, особая точка – устойчивый узел (рис.5.2 б).

Рис. 5.2. Фазовый портрет системы 5.1.

а – устойчивый фокус.

б – устойчивый узел .

Отметим, что величина обратной связи, определяется соотношением (k₁ - /k₀). Наличие достаточно сильной обратной связи (k₁ < /k₀) приводит к возникновению затухающих колебаний переменных системы.

Модель Вольтера

Рассмотрим классическую вольтерровскую модель «хищник-жертва », которая впервые была предложена В. Вольтерра для объяснения периодических изменений числа особей.

Пусть в некотором замкнутом районе живут хищники и жертвы, например, зайцы и волки. Зайцы питаются растительной пищей, имеющейся всегда в достаточном количестве. Волки могут питаться лишь зайцами. Обозначим число зайцев (жертв) – x, а число волков (хищников) – y. Так как количество пищи у зайцев неограниченно, мы можем предположить, что они размножаются со скоростью, пропорциональной их числу

Если рождаемость зайцев превышает их смертность, _x  0. Выражение соответствует автокаталитической реакции первого порядка.

Пусть убыль зайцев пропорциональна вероятности встречи зайца с волком, т.е. пропорциональна произведению численностей xy, коэффициент пропорциональности γ_xy. Можно предположить, что количество волков нарастает тем быстрее, чем чаще происходят их встречи с зайцами, а именно, пропорционально xy, коэффициент пропорциональности γ_yx .

Кроме того, имеет место процесс естественной смертности волков, причем скорость смертности пропорциональна их количеству, коэффициент пропорциональности _y.

Эти рассуждения приводят к системе уравнений для изменений численности зайцев-жертв x и волков-хищников y.

(5.4)

Система имеет два стационарных решения. Одно из них – нулевое: Линейный анализ устойчивости показывает, что эта точка всегда представляет собой седло. Покажем, что система уравнений (5.4) также имеет на фазовой плоскости переменных (xy) ненулевую особую точку типа центр. Координаты этой точки:

Так как все параметры положительны, точка расположена в положительном квадранте фазовой плоскости. Линеаризация системы вблизи этой точки дает:

(5.5)

Характеристическое уравнение системы (5.5):

Корни этого уравнения чисто мнимые:

.

Задание

1. Пусть уравнения Лотки имеют вид:

1.1. Найдите и запишите координаты стационарной точки .

1.2. Линеаризуйте систему вблизи стационарного состояния, запишите коэффициенты линеаризации.

1.3. Запишите характеристическое уравнение, вычислите его корни.

Как будет выглядеть фазовый портрет системы вблизи точки равновесия в зависимости от параметра скорости поступления вещества x в систему?

При каком значении параметра k в системе реализуется сильная обратная связь?

1.4. Задайте уравнения Лотки в программе TRAX и постройте все типы возможных фазовых портретов.

1.5.^* В тетради для каждого случая постройте фазовую плоскость с изоклинами горизонтальных и вертикальных касательных (нуль-изоклинами). Зарисуйте эскизы фазовых портретов с учетом нуль-изоклин.

2. Пусть уравнения Вольтерра имеют вид:

1.1. Найдите и запишите координаты стационарных точек , .

1.2. Линеаризуйте систему, запишите коэффициенты линеаризации, соответствующие каждому стационарному состоянию.

1.3. Запишите характеристическое уравнение и вычислите его корни для каждого случая.

Как будет выглядеть фазовый портрет системы вблизи каждой точки равновесия? Зависит ли тип фазового портрета от значений параметров модели?

1.4. Задайте уравнения Вольтерра в программе TRAX и постройте фазовый портрет с учетом всех найденных стационарных точек.

1.5.^* В тетради постройте фазовую плоскость с изоклинами горизонтальных и вертикальных касательных (нуль-изоклинами) и сепаратрисами. Зарисуйте эскизы фазовых портретов с учетом нуль-изоклин и сепаратрис.

Задачи к семинару 5

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов семинаров