Seminar_8 (1117064), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Рис. 8.4. Докритическая (субкритическая) бифуркация Андронова–Хопфа. Жесткое возбуждение автоколебаний. При с < –1 в системе существует единственное устойчивое стационарное решение типа устойчивый фокус r = 0. При –1 < c < 0 в системе два устойчивых решения – устойчивый фокус r = 0 и устойчивый предельный цикл. Их бассейны притяжения разделяет неустойчивый предельный цикл (изображен пунктиром).
Брюсселятор
Простейшим классическим примером существования автоколебаний в системе химических реакций является тримолекулярная модель «Брюсселятор».
Рассмотрим свойства Брюсселятора как автоколебательной системы.
,
(8.6)
Модель (8.6) имеет одну особую точку с координатами:
(8.7)
Исследуем стационарное решение (8.7) на устойчивость по методу Ляпунова. Введем переменные, характеризующие отклонения от особой точки:
.
Линеаризованная система имеет вид:
,
.
Характеристическое уравнение
или
2 + (A2 + 1 – B) + A2 = 0
имеет корни: 
. (8.8)
При B < 1 + A2 особая точка (8.7) устойчива. Если же B > 1 + A2 особая точка становится неустойчивой, и у системы (8.6) появляется устойчивый предельный цикл. Значение B = 1 + A2 является бифуркационным. Если величина B лишь немного превосходит бифуркационный порог, автоколебания в системе носят квазигармонический характер. Таким образом, Брюсселятор при выполнении условия
B > 1 + A2 (8.9)
является автоколебательной системой. Фазовые портреты Брюсселятора при разных значениях параметров изображены на рис. 8.5.
| | | | |
| B < (1 - A)2 A = 1.5 B = 0.2 | (1 - A)2 < B < 1 + A2 A = 1.5 B = 3 | 1 + A2< B < (1 + A)2 A = 1.5 B = 4 | B > (1 + A)2 A = 1.5 B = 6.5 |
Рис. 8.5. Фазовые портреты системы Брюсселятор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
