Том 2 (1113040), страница 24
Текст из файла (страница 24)
66.29. В пространстве многочленов М„со стандартным скалярным произведением найти сингулярные числа оператора дифференцирования. 66.30. Найти сингулярные числа оператора дифференцирования в пространстве многочленов Мм если скалярное произведение задано формулой Ц,д) = У( — 1)д(-1) + У(0)д(0) + У(1)д(1). Сравнить полученный результат с результатом предыдущей задачи. 66.31.
В условиях задачи 66.20 доказать, что существуют ортонормированные системы е„..., е„е Ъ' и у„..., ~ Е ЪЪ' такие, что )' рьБ й<г ) раею Й<г в, й) Подобные ортонормированные системы е„..., е„и у„..., у называются сингулярньияи' баэисаии оператора А. 66.32. Доказать, что если е„..., е„и у„..., у — сингулярные базисы оператора А, то (в обозначениях задачи 66.20): 1) е„...,е„— ортонормированный базис пространства Ъ' из собственных векторов оператора А'А; 2) Л,..., ~ — ортонормированный базис пространства ЪЪ' из собственных векторов оператора АА'. 66.33.
Пусть А — матрица размера гп х и ранга г, вещественная или комплексная. Доказать, что матрицу А можно представить в виде А = УЛЪ', з66. Разложения линейных операторов н матриц 135 где У и à — ортогональные (унитарные) матрицы соответственно порядков пз и п, Л вЂ” матрица размера гл х п такая, что Лп > Лм » ... Л„„> О, а все остальные элементы равны нулю. Такое представление называется сингулярным разложением маглрипы А. 66.34. Доказать, что если А = УЛ'г' — сингулярное разложение матрицы А, то: 1) диагональные элементы матрицы Л являются сингулярными числами матрицы А; 2) столбцы матрицы У образуют ортонормированный базис из собственных векторов матрицы ААн; 3) столбцы матрицы Ъ'н образуют ортонормированный базис из собственных векторов матрицы АнА; 4) столбцы матриц Гн и У образуют сингулярные базисы матрицы А.
66.35. Зная сингулярное разложение А = УЛГ матрицы А, найти сингулярные разложения и сингулярные числа матрицы: а) Ат; б) Ан; в) А ', если А обратима. 66.36. Определим для матрицы А Е С "" квадратную матрицу В порядка гп + п формулой В= Ан 0 Показать, что если о„...,о, где о = щ1п(т,п), — сингулярные числа матрицы А, то собственными значениями матрицы В являются числа ~оп..., ~о~ и ~пз — п~ нулей. 66.37.
Доказать, что каковы бы ни были квадратные матрицы А и В порядка и, сингулярные числа матриц АВ и ВнАн всегда одинаковы. Верно ли это утверждение для пары матриц АВ и ВА? 66.38. Строки матрицы А ортогональны. Доказать, что сингулярные числа матрицы А равны длинам ее строк как векторов соответствующего арифметического пространства. 66.3Я. Найти сингулярные числа гл х п-матрицы А, имеющей ранг 1. 66.40.
Пусть сингулярные числа р„..., р„оператора А, действующего в п-мерном пространстве $', занумерованы в порядке невозрастания. Доказать, что справедлив следующий вариант 136 Глава ХЧ?.Линейные операторы в унитарном пространстве теоремы Куранта-Фишера: (Ах~ (Аж( р~ — — шах пцп —, ря — — ппп шах ь~ ась~,лая )и! ь„„.~~ ась„-ь», хаев (х! где, как и в задаче 64.55, в первом равенстве максимум берется по всем й-мерным подпространствам Ья пространства У, а во втором равенстве минимум берется по всевозможным подпространствам Ь„ь,, размерности п — к+ 1.
В частности, верны соотношения: (Аж! р~ — — шах —, *~в )х! ' )Ат( р„= пип —. л~в ~т! 66.41. Доказать, что в условиях предыдущей задачи минимальное и максимальное по модулю собственные значения Л„и Л, оператора А удовлетворяют неравенствам: !л„! > р„, ~л,~ < р,. 66.42. Пусть операторы А и В действуют в и-мерном пространстве У и ая, Д, ~ы Й = 1, и, — занумерованные в порядке невозрастания сингулярные числа операторов А, В и А+ В соответственно. Доказать, что выполнены неравенства: — а, + В < ч~ < а, + Вя, о — В, < уя < ая + Д, й = 1, и. 66.43.
Пусть операторы А и В действуют в и-мерном пространстве У и ая, Вю Бы к = 1,п, — занумерованные в порядке невозрастания сингулярные числа операторов А, В и АВ соответственно. Доказать, что выполнены неравенства: а„К < бя < а,Вю а~В„< 5я < азу, й = 1, и. 66.44. Доказать, что для суммы сингулярных чисел рм..., р„ матрицы А Е С""" справедливы представления: р, +...
+ р„= шах ( Фг(АИ~) ! = шах йе $г(АИ'), и' и" где максимум берется по всем унитарным матрицам И~ порядка п. Полярное разложение 66.45. Во что переходит полярное разложение матрицы порядка п при п = 1? 166. Разложения линейных аператороа и матриц 137 66.46. Показать, что в полярном разложении А = 'НИ оператора А неотрицательно определенный оператор 'Н определен единственным образом. 66.47. Пусть А = НИ вЂ” произвольное полярное разложение оператора А. Показать, что оператор И переводит ортонормированный базис из собственных векторов оператора А'А в подобный же базис оператора АА'.
66.48. Доказать, что для вещественной матрицы существует вещественное полярное разложение. 66.49. Показать, что, каково бы ни было полярное разложение А = НИ оператора А, унитарный оператор И переводит подпространство ппА' в подпространство цпА, подпространство кегА в подпространство кегА'. 66.50. Найти полярное разложение отрицательно определенного оператора. 66.51. Найти полярное разложение оператора дифференцирования в пространстве многочленов М„ со стандартным скалярным произведением. Найти полярные разложения следующих матриц. 1 7 ' 66.53.
26 7 ' 66.54. 14 — 2 66.52. 66. 56. 15 3 — 4 5 9 — 12 0 8 6 66.55. 66.57. 66.59. 3 — 4 0 8 6 — 5 4 3 — 10 10 — 3 — 4 — 5 6 8 0 — 4 3 0 3 — 1 0 4 2 — 51 0 0 66. 58. 3 1 1 1 1 5 1 1 5 1 . 6660. 3 9 — 3 3 1 1 1 5 3 — 1 3 1 — 1 — 1 — 1 66.61. Найти полярное разложение диагональной матрицы А = 41а8(ям яз,..., я„), где яя, й = 1, п, — заданные комплексные числа. 66.62. Показать, что произвольную матрицу А Е С""" можно представить в виде А = Ъ"В, где $~ Е С""" — унитарная матрица, а матрица В Е С" " неотрицательно определена. 66.63.
Доказать, что в разложениях квадратной матрицы А: 138 Глава ХЪ1.Линейные операторы в унитарном пространстве А = Н,0 и А = УН„в которых матрицы Н, и Нз неотрицательно определены, а матрицы У и Г унитарны, матрицы Н1 и Н, совпадают тогда и только тогда, когда А — нормальная матрица. 66.64. Пользуясь полярным разложением, показать, что для любой квадратной матрицы А матрицы ААн и АнА всегда унитарно подобны. 66.65. Используя полярное разложение, доказать утверждение, обратное утверждению задачи 65.59: если квадратная матрица А порядка и имеет простую структуру и ее собственные значения суть действительные числа, то А можно представить в виде А = НБ, где Н вЂ” эрмитова матрица, а матрица Я положительно определена. Для действительной матрицы А сомножители Н и Я также можно выбрать действительными.
Глава ХЧ11. Билинейные и квадратичные формы 267. Билинейные и квадратичные формы в линейном пространстве Пусть 1' — линейное пространство над полем Р . Отображение А: 'г' х 1« -ь Р называется билинейной формой в пространстве )г, если дпя любых х, у, «Е 1«, а Е Р: 1) А(х+ у,«) = А(х, «) + А(у,«); 2) А(ах, у) = аА(х, у); 3) А(х,у+ «) = А(х,у) + А(х,«); 4) А(х, ау) = аА(х, у). Билинейная форма называется симметричной, если А(у,х) = А(х,у), Чх, у Е 1с. Скапярное произведение (х, у) в евкпидовом пространстве явпяется симметричной билинейной формой. Теорема 67.1. Пусть Ъ' — линейное пространство над полем Р и ем...,е — базис 1с. Яля любых чисел аэ Е Р, 1, 1 = 1, п, сущестеуетп, и притом единссгьвенная, билинейная форма А(х, у) е пространстве 1«, для которой А(епе,) = аи, 1,1 = 1,п, при этом А(х,у) = э а„х,у„ ьо=с (67.1) А( ) тА ц( ) тАт Выражение, стоящее в правой части (67.1), также называется билинейной формой от переменных ты...,х и уи.,,, у«.
Теорема 67.2. Произвольная матрица А = (аи) Е Р""" леляегпся матрицей единственной билинейной формы в заданном базисе пространства. 'В этой главе предполагается, что характеристика основного поля равна нулю. для всех векторое х = ~ " х,е, и у = 1 ", у,е,. Представпение билинейной формы в виде (67.1) называется общим видом билинейной формы в базисе е.
Матрица А, = (ай) Е Р""", эпементы которой определены равенством а„= А(епеу), 1,2 = 1,п, называется матрицей билинейной формы А(х,у) е базисе е. Общий вид (67.1) билинейной формы А(х, у) может быть записан в компактной форме: если х, и у, — координатные столбцы векторов х и у в базисе е, то Глава ХЧХБ Билинейные и «вадратичные формы 140 Теорема 67.3. Магприцы билинейной формы А(х,у) в базисах с и у = еО связаны соотношением А! = ОтА,О.
Следствие. гб А, = гбАР Теорема 67.4. Билинейная форма симметрична тогда и только тогда, когда ее матрица е любом базисе симметрична. Рангом билинейной формы называется ранг ее матрицы в любом базисе. Билинейная форма А(х,у) называется вырожденной, если гбА(х,у) < дцп У, и нсвырожденной, если гбА(х,у) = гйш И, Теорема 67.6. Билинейная форма А(х,у) вырождсна тогда и только тогда, когда существует вектор х ф б такой, чгпо А(х, у) = О, !Уу й )г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
