Том 2 (1113040)
Текст из файла
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. Ломоносова Факультет вычислительной математики и кибернетики Г. Д. Ким, Л. В. Крицков АЛГЕБРА ИАНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ТЕОРЕМЫ И ЗАДАЧИ ТОМ 11 (2) Под редакцией пкадел ~ива РАН Ильина В. А. 3 Москва ЗЕРЦАЛО-М 2003 ББК 22.147 Рекомендовано Советом по прикладной математике и информатике УМО ло классическому университетскому образованию для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности О!0200 "Прикладная математика и информатика" и направлению 520200 "Прикладная математика и информатика" Ким Г.
Д., Крицков Л. В. Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 11, часть 2. Мл ИКД "Зерцало-М", 2003. — 251 с. 1ЗВ1ч1 5-94373-077-Х Книга представляет собой вторую часть второго тома задачника по обьединенному курсу линейной алгебры и аналитической геометрии. Каждый раздел содержит теоретическое введение, примеры решения типовых задач и большое число задач для семинарских занятий и самостоятельной работы студентов.
Задачи снабжены ответами и указаниями. Книга тесно связана с учебником Ильина В. А., Ким Г. Д. "Линейная алгебра и аналитическая геометрия". Для студентов физико-математических специальностей университетов. О Ким Г. Д,, Крицков Л. В., 2003 Ю Издательство "Зерцало", 2003 1ЗВ1ч1 5-94373-077-Х ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие . 4 Список литературы. 5 Глава ХЧ. Структура линейного оператора в комплексном пространстве..................... 6 з 57. Собственные значения и собственные векторы. Характеристический многочлен 6 з 58.
Операторы и матрицы простой структуры............ 25 ~ 59. Инвариантные подпространства. Прямая сумма операторов. 34 З 60. Корневые подпространства. Жорданова форма....... 49 Глава ХЧ1. Линейные операторы в унитарном и евклидовом пространствах................... 72 з 61. Сопряженный оператор .. 72 з 62. Нормальные операторы и матрицы................... 87 363. Унитарные операторы и матрицы.....................
96 з 64. Самосопряженные операторы и матрицы............. 110 3 65. Знакоопределенные операторы и матрицы............ 118 З 66. Разложения линейных операторов и матрице......... 130 Глава ХЧП. Билинейные и квадратичные формы... 139 з 67. Билинейные и квадратичные формы в линейном пространстве. 139 З 68. Квадратичные формы в вещественном и комплексном пространствах. 150 з 69. Квадратичные формы в евклидовом и унитарном пространствах 159 Глава ХЧП1. Линейные нормированные пространства. 176 ~ 70.
Норма вектора. 176 3 71. Линейные операторы в нормированных пространствах. Нормы операторов и матриц 186 З 72. Нормы и операторные уравнения. Псевдорешения.... 202 Ответы и указания .. 212 ПРЕЛИСЛОВИЕ Настоящее учебное пособие представляет собой вторую часть второго тома сборника задач по объединенному курсу алгебры и аналитической геометрии. Оно содержит подборку задач о структуре линейных операторов в комплексных линейных пространствах, задач по теории линейных операторов в унитарных и евклидовых пространствах, теории билинейных и квадратичных форм, а также задачи об операторах в линейных нормированных пространствах.
Будучи непосредственным продолжением первого тома [8] и первой части второго тома [9),пособие наследует их структуру. Задачи сгруппированы в параграфы, нумерация которых продолжает нумерацию этих книг. В начале каждого параграфа приводятся определения и формулировки теорем, касающиеся рассматриваемых понятий, а также примеры решений типовых задач.
Теоретической поддержкой задачника являются учебник В.В.Воеводина [2], в котором заложены методические основы объединения курсов алгебры и геометрии, и учебник В.А.Ильина, Г.П.Ким [7]. Последовательность разделов, а также определения и обозначения соответствуют учебнику [7). В конце задачника помещены ответы к задачам, к некоторым из них даются рекомендации. Список литературы 1. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А.
Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре.— Мс Наука, 1987. 2. Воеводин В.В. Линейная алгебра.— Мс Наука, 1974. 3. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.И. Матрицы и вычисления.— Мс Наука, 1984. 4. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.— Мс Наука, 1988. 5.
Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ.— Мс Наука, 1969. 6. Икрамов Х.П. Задачник по линейной алгебре. - Мс Наука, 1975. 7. Ильин В.А., Ким Г.П. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. — Мс Изд-во Моск, ун-та, 2002. 8. Ким Г.П., Крицков Л.В. Алгебра и аналитическая геометрия: теоремы и задачи. Том 1.— Мс Зерцало, 2003. 9. Ким Г.П., Крицков Л.В.
Алгебра и аналитическая геометрия: теоремы и задачи. Том П (1).— Мс Зерцало, 2003. 10. Кострикин А.И. Введение в линейную алгебру.— Мс Наука, 1977. 11. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебраи геометрия.— Мс Наука, 1986.
12. Курош А.Г. Курс высшей алгебры.— Мс Наука, 1971. 13. Полна Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа (в 2-х частях).— Мс Наука, 1978. 14. Прасолов В.В. Задачи и теоремы линейной алгебры.— Мс Наука, 1996. 15. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре.— Мс Наука, 1967. 16. Сборник задач по алгебре / Под ред.
Кос трикина А. И.— Мс Факториал, 1995. 17. Халмош П. Конечномерные векторные пространства.— Мс Физматгиз, 1963. 18. Хорн Р., Пжонсон Ч. Матричный анализ.— Мс Мир, 1989. 19. Шилов Г. Е. Математический анализ (конечномерные линейные пространства). — Мс Наука, 1969. ГЛаВа Х'Лс'. СтРУКтУРа ЛИНЕЙНОГО ОПЕРатОРа в комплексном пространстве 257.
Собственные значения и собственные векторы. Характеристический многочлен Пусть (с — линейное пространство над полем Р. Ненулевой вектор х Е У называется собственным вектором оператора А й ь((с, 1с), если существует такое число Л Е Р,что Ах = Лх. Число Л называется собстеенным значением операпьора А, соотеетстеующим собстеенному еекгпору х. Множество всех собственных значений оператора А называется спектором этого оператора. Из определения следует, что если х — собственный вектор оператора А, отвечающий собственному значению Л, то любой вектор ах, где и Р О, также будет собственным вектором оператора А, отвечающим тому же собственному значению Л.
Пример 57.1. В пространстве вещественных многочленов М„любой многочлен нулевой степени будет собственным вектором оператора дифференцирования (252), ему соответствует собственное значение Л = О. Пример 57.2. Пля оператора проектирования пространства И = Ьз йз» з на надпространство Ьз параллельно подпространству Ьз (252) любой ненулевой вектор из 51 будет собственным вектором, отвечающим собственному значению Л = 1, так как Рх = х, Ух й Ьм а любой ненулевой вектор из Ьз будет собственным вектором, отвечающим собственному значению Л = О, так как Рх = Ох, кх Е йз. Ненулевой вектор-столбец х й Р" называется собстеенным вектором матрицы А Е Рнк", если существует число Л Е Р такое, что Ах = Лх.
При этом число Л называется собстееннььм значением матрицы А, соотеетстеующим собственному вектору х. Если е = (ем..., е„) — произвольный базис пространства У, то для оператора А е ь(К, (с) соотношения АХ=Ля и А,х,=Лх, эквивалентны. Это означает, что собственные значения оператора А и его матрицы в любом базисе е = (ен..., е„) совпадают, а собственные векторы матрицы А, являются координатными столбцами собственных векторов оператора А в этом базисе. Теорема 57.1. Собстеекные векторы хы...,х» оператора (матрицьь), отеечающие различным собстеенным значениям Лы..., Л», линейно независимы.
Сл е де те и е. ))инейный оператор, дейстеующий е и-мерном простронстее, не может иметь более чем п различных собственных значений, зо7. Собственные значения и собственные векторы или, е могпричной формулировке, матрица и-го порядка не может иметь более чем и различных собстеенньы значений. Характеристическим многочленом матрицы А Е Р""" называется функция /(Л) = г(ес(А — Л1), Л Е Р.
Теор ем а 57.2. Характеристический многочлен мотрицьь А й Рь"" яеляегася многочленом и-й степени ош переменной Л с коэффициентами из поля Р, причем /(Л) = ао+ аз(-Л) -ь аз(-Л) +... +а г(-Л)" '+ (-Л)", (57 1) где каждый коэффициента аь, й = О,п — 1, ровен сумме всех главных микорое (и — 'к)-го порядка матрицы А.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
