Том 2 (1113040), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В частности, ао = с(ез А, а з = се А. Т е о р е м а 57.3. Характеристические многочлены подобных матриц совпадают. Сл е де гп е и е. Все матрицы одного и того же линейного оператора имеют одинакоеые харокгперистические многочлены. Характеристическим многочленом оператора называется функция /(Л) = ое1(А — ЛТ), Л Е Р. Из определения определителя оператора следует, что характеристический многочлен оператора совпадает с харахтеристическим многочленом матрицы этого оператора в произвольном базисе. Следом оператора А называется след матрицы этого оператора в произвольном базисе.
Обозначение: ЗгА. Теорема 57.4. Пусть И вЂ” линейное пространство над полем Р. Число Л Е Р яеляется собственным значением оператора А Е ь((г,р) тогда и только тогда, когда Л вЂ” корень его характерисгаического много- члена, ш.е. без(А — ЛТ) = О. Уравнение (57.2) называется харакшеристическим уравнением для оператора А. Теорема 57.5.
Каждьш" линейный оператор, дейсгаеуютий е и- мерном комплексном пространстве, имеет: 1) и собственных значений, если каждое собственное значение считагпь столько раз, какова его кратность как карня харакглеристического многочлена; й) холы бы один собственный вектор. 3 а м е ч а н и е. Теорема остается справедливой в вещественном пространстве для тех операторов, чьи характеристические многочлены имеют только вещественные корни. Пусть Ло — собственное значение оператора А. Множество Игьь = ( х Е (г ) Ах = Лох) называется собственным подпросшрансшеом оператора А, отвечающим собственному значению Ло.
Очевидно,что И'зь = яег(А — ЛоТ),поэтому собственное надпространство является линейным подпространством пространства 1г. Размерность собственного надпространства Игз называется геометрической кратностью собственного значения Ло, а кратность Ло как корня характеристического многочлена называется его алгебраической крап1- ностью. Глава ХУ.Структура линейного оператора Теорема 57.6.
Геометрическая кратность собственного эивчсиия ис прсввсхвдигл его алгебраической кратности. Теорема 07.7. Сумма собственных подпрострвиств оператора, отвечающих различным собственным значениям, является прямой суммой. Пример 57.3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы -Л 1 -1 1 — 1 2 — Л вЂ” 1 1 -1 1 1 — Л 0 -1 1 О 1 — Л ( вычтем из 1-й 1 = ~ строки 2-ю, а из ) = 3-й строки 4-ю бес(А — Л1) = 1 — Л -1 0 — 1 Л вЂ” 1 2 — Л 0 1 0 1 Л вЂ” 1 1 — Л 0 -1 1 — Л 0 ( вынесем из 1-й и 1 3-й строк общий ) = множитель -1 -1 0 — 1 1 0 2 — Л -1 0 -1 1 0 О 1 1 1 — Л ( прибавим ко 2-му ) = ~ столбцу 1-й, а к 4-му ь = столбцу 3-й = (Л вЂ” 1) 0 0 1 — Л вЂ” 1 0 -1 1 0 -1 — 1 0 — 1 0 0 0 1 — Л =(Л вЂ” 1) =О.
= (Л вЂ” 1)з Отсюда следует, что матрица А имеет единственное собственное значение Л = 1, алгебраическая кратность которого равна четырем. Собственные векторы, отвечающие этому собственному значению, являются ненулевыми решениями однородной системы — 1 1 — 1 1 0 — 1 1 -1 1 0 -1 1 0 0 0 — 1 1 0 0 0 Решение задачи на собственные значения и собственные векторы состоит: а) в вычислении корней характеристического многочлена и отборе тех корней, которые принадлежат основному полю, так как только они являются собственными значениями; б) в отыскании для каждого найденного собственного значения Лв максимальной линейно независимой системы собственных векторов, т.е. построении фундаментальной системы решений однородной системы уравнений (А — Лв1)х = О.
Пля указанной матрицы А, во избежание вычисления корней многочлена четвертой степени, будем находить эти корни, минуя прямое построение характеристического многочленаи вычисляя определитель матрицы А — Л1 методом выделения линейных множителей Я7). Имеем 257. Собственные значения и собственные векторы эквивалентной (метод Гаусса) системе 1 — 1 1 -1 1~01 длякоторой решения е~ = (1,1,0,0) иез = (0,0,1,1) образуют фундаментальную систему решений. Таким образом, все собственные векторы имеют внц о(1, 1, О, 0)т -Ь )7(0, О, 1, 1)т, оз + )уз Ф О, ° Пример 57А. Линейный оператор А, действующий в вещественном пространстве, в некотором базисе имеет матрицу 0 — 1 0 0 0 0 1 0 0 0 О 0 0 0 0 1 -1 1 0 0 -1 2 — 1 1 0 Π— 1 1 1 0 0 0 -1 1 0 1 Найти все собственные надпространства оператора А.
Решение. Найдем собственные значения оператора А. Так как характеристические многочлены оператора и его матрицы в любом базисе совпадают, то построим характеристический многочлен матрицы А. Имеем — Л вЂ” 1 0 0 1 — Л 0 0 0 0 — Л 1 0 0 — 1 2 — Л 0 0 — 1 1 0 0 -1 1 с$ес(А — Л1) = -Л 1 — 1 — 1 2 — Л вЂ” 1 — 1 1 1 — Л вЂ” 1 1 0 1 1 0 1 — Л применим теорему Лапласа к пер- ! — Л вЂ” 1 вым двум стро- ! 1 -Л кам = ( см.
пример 57.3 ) = (Л + 1)(Л вЂ” 1)~. Корнями характеристического многочлена являются числа Ы, 1, а собственным значением является только Л = 1 (так как оператор действует в вещественном пространстве), алгебраическая кратность которого равна четырем. Собственное подпространство, отвечающее этому собственному значению, совпадает с кег(А — х) или, в координатной форме, с множеством решений однородной системы (А — 1)х = О, т.е. системы эквивалентнои системе 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 — 1 1 0 0 0 0 0 0 0 — 1 1 0 — 1 — 1 1 -1 0 0 0 0 0 О 0 0 0 0 0 0 — 1 1 — 1 1 — 1 1 — 1 1 0 0 0 0 — 1 1 — 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 — 1 1 1 — Л 0 0 1 — Л 0 О 0 0 0 0 Глава Х 'г'. Структура линейного оператора 10 Ранг матрицы этой системы равен четырем, а векторы еь = (0,0, 1, 1, 0,0) и ез = (0,0,0,0, 1, 1) образуют фундаментальную систему решений.
Таким образом, размерность собственного подпространства равна двум, а базис собственного подпространства составляют векторы, координатные столбцы которых в исходном базисе совпадают с е1 и ез. ° Пример 57.5. В вещественном пространстве Мз многочленов степени не выше трех дан линейный оператор А, который многочлены 1, й Г', (з переводит соответственно в многочлены — 1 — 1~, 1+ 21 4-1~, 1-~- 21~+ 1~, Г -Ь 1~. Найти собственные значения и собственные векторы оператора А.
Решение. Согласно определению матрица оператора А в базисе е, состоящем из многочленов 1, Г, (з, 1~, равна — Л 1 1 0 — 1 2 — Л 0 1 -1 0 2 — Л 1 0 1 1 -Л ( вычтем из 1-й ) = ~ строки 4-ю, а из 1 = 2-й строки 3-ю с(ес(А, — Л1) = — Л 0 0 Л 0 2 — Л Л вЂ” 2 0 -1 0 2 — Л 1 0 1 1 -Л вЂ” 1 0 0 1 0 -1 1 0 — 1 0 2 — Л 1 0 1 1 — Л = Л(Л вЂ” 2) — 1 0 0 0 0 -1 0 0 -1 0 2 — Л 0 0 1 2 -Л ( прибавим к 4-му ) = ~ столбцу 1-й, а к ) = Л(Л вЂ” 2) 3-му столбцу 2-й = л'(л-г)'.
Собственными значениями оператора А, тем самым, являются числа Лз = 0 и Лз = 2, алгебраическая кратность каждого из ннх равна двум. )(ля нахождения собственных векторов, отвечающих собственному значению Л1 = О, решим систему А,х = О, т.е. систему с 0 1 1 0 Π— [-1 0 2 1(01 0 1 1 0 0 Ранг матрицы этой системы равен двум, значит, де((А — ЛХ) = 2 и геометрическая кратность собственного значения Лз = 0 равна двум. Векторы /з = (1,0,0, 1) и ~з = (2, -1, 1,0) образуют фундаментальную систему решений. В базисе е этим векторам соответствуют многочлены 71 (1) = 1+(з и уз(Г) = 2 — 1+1з. Таким образом, собственные векторы, отвечающие Л1 = О, имеют вид а ~11 (1) + озфз(1), где о1 + оз ~ф О.
Вычислим характеристический многочлен матрицы А„а следовательно, и оператора А: 357. Собственные значения и собственные векторы Лля нахождения собственных векторов, отвечающих собственному значению Лз = 2, решим систему (А, — 21)х = О, т.е. систему с в 2 1 1 0 0 -1 0 0 1 0 ~ -1 0 0 1 ! 0 ~ 0 1 1 — 2 0 Ранг матрицы этой системы равен двум, значит, так же, как и для собственного значения Л~ = О, собственное значение Лз = 2 имеет геометрическую кратность 2.
Векторы /з = (1,2,0,1) и /4 = (О,— 1,1,0) образуют фундаментальную систему решений. В базисе е этим векторам соответствуют многочлены /з(1) = 1+ 21+1~ и /з(1) = -1+1з. Таким образом, собственные векторы, отвечающие Лз = 2, имеют вид сгз/з(1) + п4/з(1), где паз+ пя ~ф О. ° Пример 57.6. Линейный оператор А, действующий в комплексном пространстве, в некотором базисе имеет матрицу А= 0 5 — 3 Найти собственные значения и собственные векторы оператора А. Р е ш е н и е.
Составим характеристический многочлен оператора А: 2 — Л 4 — 4 бес(А — Л1) = 0 5 — Л -3 -1 3 1 — Л прибавим к 3-му ) столбцу 2-й 2 — Л 4 0 ( прибавим к 3-му ) 0 5 — Л 2 — Л = ~ столбцу удвоен- )з = — 1 3 4 — Л ный 1-й 2 — Л 4 4 — 2Л 2 — Л 4 2 0 5 — Л 2 — Л =(2 — Л) О 5 — Л 1 =(2-Л)(Лз-6Л+10). -1 3 2 — Л вЂ” 1 3 1 Корнями характеристического многочлена являются числа 2, 3 + 1 и 3 — 1.
Так как оператор А действует в комплексном пространстве, то все эти числа являются его собственными значениями, причем каждое имеет алгебраическую кратность 1. Лля каждого собственного значения найдем соответствующие собственные векторы.
Для собственного значения Лз = 2 решим систему (А — 21)х = О, т.е. систему 1 3 -3 8) (-1 ', -,'$1). Ранг матрицы этой системы равен двум, значит, геометрическая кратность собственного значения Лз = 2 равна единице. Фундаментальная система решений состоит из одного вектора е~ = (2, 1, 1)т. Следовательно, собственными векторами оператора А, отвечающими собственному значению Лз = 2, являются векторы, координатные столбцы которых в исходном базисе совпадают с аем где и ф О. Глава ХЧ.Структура линейного оператора 12 Пля собственного значения Лз = 3+ з решим систему (А — (3+()1)х = О, т.е.
систему Ранг матрицы этой системы равен двум, значит, геометрическая кратность собственного значения Лз = 3+ з также равна единице. Фундаментальная система решений состоит из одного вектора ег = (4,3,2 — () . Следоват тельно, собственными векторами оператора А, отвечающими собственному значению Лз = 3+ з, являются векторы, координатные столбцы которых в исходном базисе совпадают с )уез, где Д т О. Пля нахождения собственных векторов, отвечающих собственному значению Лз = 3 — й необходимо решить систему (А — (3 — ()1)х = О. Так как А — вещественная матрица, то матрицы А — (3+ з)1 и А — (3 — з)Е комплексно сопряжены, и потому гя(А — (3 — з)1) = гя(А — (3 + ь)1) = 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
