Том 2 (1113040), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

59.50. Линейный оператор У, действующий в пространстве й""", определен формулой УХ = АтХ + ХА, где А — фиксированная матрица. 1. Доказать, что кососимметрические матрицы образуют подпространство Ь, инвариантное относительно У. 2. Установить связь между собственными значениями индуцированного на это подпространство оператора У~А и собственными значениями матрицы А. 59.51. В пространстве К""" оператор Д задан равенством 0Х = А 'ХА, где А — заданная невырожденная матрица. Доказать, что следующие подпространства инвариантны относительно 6: "з59.

Инвариантные лодпространства 47 а) множество всех матриц с нулевым следом; б) множество всех скалярных матриц; в) множество всех верхних треугольных матриц (если матрица А верхняя треугольная); г) множество всех симметрических матриц и множество всех кососимметрических матриц (если матрица А ортогональная); д) множество всех эрмитовых матриц и множество всех косоэрмитовых матриц (если А — унитарная матрица и эти множества рассматриваются как подпространства 2п'-мерного вещественного пространства С"""). И 59.52.

Линейный оператор Д, действующий в пространстве ~сова — з1па) К""", определен формулой ДХ = А 'ХА, где А = ~ ~ юпи сояи о Е К. Найти собственные значения и собственные векторы оператора Д~Ь, индуцированного на подпространство: а) симметрических матриц; б) матриц с нулевым следом. 59.53. Пусть Лэ — собственное значение линейного оператора А. 1.

Доказать, что подпРостРанства Ья — — кег(А — ЛсХ)ь, к Е гз, инвариантны относительно А. 2. Показать, что Ья С Ьь+~. Может ли это включение быть строгим? 59.54. Пусть пространство Ъ' является прямой суммой ненулевых подпространств Ь, и Ь,: 1' = Ь, ® Ь,. 1. Пусть Р— оператор проектирования на Ь, параллельно Ь„а А — некоторый линейный оператор, действующий в $~. Показать, что операторы А и Р перестановочны тогда и только тогда, когда каждое из подпространств Ь, и Ьз инвариантно относительно А.

2. Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для оператора Е отражения относительно Ь, параллельно Ь,. 59.55. Пусть А и  — линейные операторы, действующие в п-мерном линейном пространстве $'. Известно, что А" = О, с1еГА = 1 и [В, А) = А. Доказать, что оператор В имеет п собственных значений вида Л, Л вЂ” 1,..., Л вЂ” и+ 1, где Л вЂ” некоторое число. 59.56. Доказать, что перестановочные матрицы А и В можно привести к треугольной форме одним и тем же подобным пре- 48 Глава ХЧ. Структура линейного оператора образованием.

Что означает это утверждение для коммутирующих операторов А и В? 59.57. Пусть Л„...,Л„, — собственные значения матрицы А Е С ", р„..., р„— собственные значения матрицы В Е С""" (с учетом их алгебраических кратностей). Доказать, что: а) гпп произведений Л„и„г = 1, ти, з = 1, и, дают в совокупности все собственные значения кронекерова произведения А З В; б) т+ и сумм Л;+,и,з 1 = 1, гп, Х' = 1, п, дают в совокупности все собственные значения матрицы А З Х„+ Х„, Э В. 59.58.

Доказать, что индекс всякого нильпотентного оператора, действующего в п-мерном пространстве, не превосходит и. 59.59. Показать, что оператор дифференцирования '0 в пространстве многочленов М„, является нильпотентным. Найти его индекс нильпотентности. 59.60. Доказать, что нильпотентный оператор не имеет отличных от нуля собственных значений.

59.61. Доказать, что оператор, действующий в комплексном пространстве, является нильпотентным тогда и только тогда, когда все его собственные значения равны нулю. 59.62. Доказать, что треугольная матрица нильпотентна тогда и только тогда, когда все ее диагональные элементы нулевые. 59.63. Доказать, что ненулевой нильпотентный оператор не может иметь простую структуру. 59.64. Пусть А — нильпотентный оператор с дефектом, равным единице. Доказать, что на любом своем инвариантном подпространстве оператор А индуцирует нильпотентный оператор с тем же дефектом. 59.65. Доказать, что квадратная матрица (вещественная или комплексная) нильпотентна тогда и только тогда, когда все корни ее характеристического многочлена равны нулю.

59.66. Пусть оператор А приводится парой подпространств Хч и Х,. Доказать, что: а) ранг оператора А равен сумме рангов операторов А~А, и А)Х2, б) характеристический многочлен оператора А равен произведению характеристических многочленов операторов А~Хо и А(Хз, '160. Корневые лодпространства. Жорданова форма 49 в) оператор Ал при любом )с е г, является прямой суммой операторов (А(Ь,)ь и (А(Ьз)ь; г) для любого многочлена у(1) оператор ДА) есть прямая сумма операторов у(А(Ь») и ДА(Ьз).

59.6Т. Доказать, что оператор дифференцирования в пространстве многочленов М„не приводится никакой парой подпространств. 59.68. Доказать, что если для оператора А любые два нетривиальных инвариантных подпространства имеют ненулевое пересечение, то оператор А не приводится никакой парой подпространств. 660.

Корневые подпространства. 2Корданова форма Теорема 60,1 (о расщеплении линейного оператора). с(ля любого линейного оператора А, дейгтвующего в комплексном пространстпве У, с характперистическим многочленом у(Л) = (Лт — Л)еи ... (Лр — Л)~т, где Л, тг Л, при т ф т, существуют инвариантные подпространства К»,,..., Кл такие, что (т ы Клт В...

Е Кл,; й(птК», = тт, т = 1,р; Ут(Л) = т(еь(А(К», — ЛТ) = (Лт — Л)~т, У = 1,Р ° Следствие. Юля любого линейного оператора, действ уянцего в комплексном пространстве, существует базис, в котором его матрица имеет кваэидиагональную форму, у которой число диагональных клеток совподаетп с числом раэличньщ собстпвенных значений, а их размеры — с алгебраическими кратностпями собственных значений, или, в матричной формулировке, любая квадратная комплексная матрица подобна квазидиагональной матрице, обладающей указанным вьиае свойством. Подпространство К», определяется собственным значением Лт оператора А и представляет собой ядро тттр оператора (А-Л»Х)в в момент а, начиная с которого все ядра тут~.т, т»1т<.з,...

совпадают с тттт, т.е. Кл состоит из всех векторов х, для которых (А — Л»Х) 'х = й при некотором Й Е ю, Й > О. Пусть Л вЂ” собственное значение оператора А. Вектор х Е (т называется корневым вектором оператора А, отвечаютцим собственному значению Лт, если (А — Лтл) х = у при некотором тт Е ют й > О. Высотной корневого вектора назйвается наименьшее )т, обладающее указанным свойством.

Множество всех корневых векторов оператора А, отвечаютцих собственному значению Л, называется корневым подпространством оператора А, отвечающим собсплвенному значению Л,. Таким образом, корневое надпространство оператора А, отвечающее собственному значению Л„ совпадает с подпространством К», участвующим в расщеплении оператора А (теорема 60.1). Структура корневого подпространства Клз определяется цепочкой вложений: Глава Х 'ь'. Структура линейного оператора 50 если Фь = 1сег(А — ЛзХ)", то Игл, = № С )зг С... С )з'е = Кл,, (60.1) где И'л, — собственное надпространство оператора, отвечающее собственному значению Лю д — максимальная высота корневого вектора, отвечающего собственному значению Лл.

Отметим, что для операторов простой структуры, и только для них, зта цепочка обрывается на первом шаге: И'л, =№=Кл, Теорема 60.2. Пусть А Е ь(у;ус) — линейный оператор, действующий в комплексном пространстве Ъ', и его характеристический многочлен имеет вид э(Л) = (Л1 — Л) ' .- ° (Лр — Л) е, где Л, ф Лэ при( р у. Тогда в пространстве И существует базис е, в котором матрица оператора А имеет квазидиагональную форму о Ае = в которой матрицы Аю у = 1,р, имеют вид дв, (Л) где 1 0 ... О О 0 Л 1 ... 0 О 0 О О ... Л 1 0 0 0 ... 0 Л; — клетка Жордана його порлдка с Лэ на главной диагонали, количество всех клетпок Жордана в матрице Ал равно геометрической кратности в„ собсгпвенного значения Л, д1 + оз +...

+ й,, = гп„а количесглво клеток 1с-го порядка равно числу (60.2) гь = †-ь + 2пл — пль1 = гь-1 — 2гь + гльы где пь = б(ш )з» = де((А — Л Т), гл = гб(А — Л,Т) . Следствие. Юля собственных значений оператора А имеют место соогпнощеншг Л1+... + Л = згА, Л1 ... Л„= деСА. 360. Корневые подпространства. Жорданова форма 51 Полученная форма матрицы линейного оператора называется жордановой формой, а базис е, в котором матрица оператора имеет хсорданову форму А„— каноническим (или жордановым) базисом. Жорданова форма матрицы линейного оператора определена однозначно с точностью до порядка клеток Жордана. Пля операторов простой структуры, и только для них, жорданова форма совпадает с диагональной.

В матричной формулировке теорема 60.2 означает, что любая квадратная комплексная матрица подобна матрице, имеющей жорданову форму. Матрица А„имеюшэя жорданову форму и подобная матрице А, называется жордановой формой матрицы А. Если А = ТА,Т ', то столбцами матрицы Т преобразования подобия являются векторы канонического базиса. Теорема 60.3. Лве матрицы А, В Е С""" подобны тогда и только тогда, когда их жордановы формы совпадают.

Т во р е м а 60.4 (теорема Гамильтона — Кэпи). )1инейный оператор, действующий в комплексном (или в вещественном) пространстве, явллепьсв корнем своего характеристического многочлена. Пример 60.1. Построить корневые надпространства оператора в И, заданного в естественном базисе матрицей 3 -4 0 2 4 -б -2 4 О 0 3 — 2 0 0 2 — 1 - [ Решение. Найдем харахтеристический многочлен матрицы А.

Имеем 3 — Л 4 0 0 2 4 -2 -1 — Л 0 — 2 3 — Л 2 -4 — б — Л 0 0 /(Л) = 4 — б — Л П 2 1 Л !=(Л+1) (Л вЂ” 1) . 0 0 12 -8 0 О О У2 -8 О +[О О 2 -1[О]+[О О О 1[01 0 0 8 — 4 0 Все корни характеристического многочлена вешественны, поэтому к данному оператору применима обглая теория операторов, действуюших в комплексном пространстве. Оператор имеет два различных собственных значения Ль = -1 и Лз = 1 алгебраических кратностей ть = тз = 2. Поэтому для него сушествуют два корневых подпространства К», и К»„ д(шК», = ть — — 2, 41шК», = тз = 2 1.

Характеристики

Список файлов книги