Том 2 (1113040), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Доказать, что если А и  — квадратные матрицы одинакового порядка, то характеристические многочлены матриц АВ и ВА совпадают. 57.88. Пусть А и  — произвольные матрицы размеров тп х и и п х тп соответственно. Доказать, что для характеристических многочленов матриц Ав и ВА выполнено соотношение: ( — Л)" (А — Л1 ( = ( — Л) (ВА — Л1„~. 57.87. Доказать, что собственные значения блочных матриц: вА' ') -вА' ') в-А являются соответственно: а) собственными значениями матриц А ~ В; б) собственными значениями матриц А ~ гВ; в) квадратными корнями из собственных значений матриц Аг+Вг Ы(А, В].
57.88. Пусть А — квадратная матрица и-го порядка и число Л является ее собственным значением геометрической кратности не меньше 1е. Доказать, что Л является собственным значением любой главной подматрицы матрицы А порядка т > и — к. 57.89. Доказать, что любая квадратная матрица А является суммой двух невырожденных матриц. 57.90. Доказать, что для любой вырожденной матрицы А = (а„) порядка и и любою сколь угодно малого числа е > 0 найдется матрица В = (6;,) того же порядка, которая; а) невырождена; б) для всех ее элементов выполнено неравенство ~6;, — а,, ~ ( е.
57.91. Доказать, что характеристический многочлен матрицы а„ „ ав-г .. а, ао — 1 0 ... 0 0 0 — 1 ... 0 0 Сд» вЂ”вЂ” 0 0 — 1 0 равен 1(Л) = ( — Л)" + а„г( — Л)" '+... + аг( — Л) +ао. Матрица Ст<л> называется сопроеождантгией матриией многочлена 1(Л) (или матлриией Фробениуса). "15В. Операторы и матрицы простой структуры 25 57.92. Пользуясь предыдущей задачей, показать, что всякий многочлен степени и со старшим коэффициентом, равным ( — 1)", может быть характеристическим многочленом некоторой квадратной матрицы порядка и.
57.93. Вычислить: пгс пlс 1) 2аы П сов; 2) ~ ~сов и+1' „, и+1' 2п ,, 2п 3) у ва, где в = сов — + з'взп —, и = 2ги+ 1; ь=о и и' 2п ,, 2к 4) П (е~ — вэ), где в = сов — + звш —, и = 2ги+ 1. и и' о<1<я<а-г 858. Операторы и матрицы простой структуры Л Т 'АТ=Л, Л= Прн этом, как нетрудно проверить, столбцами матрицы Т преобразования подобия являются линейно независимые собственные векторы, отвечающие собственным значениям Лы Лг,..., Л соответственно. Из теоремы 88.1 следует, что в и-мерном пространстве линейный оператор, имеющий и различных собственных значений, является оператором простой структуры.
В соответствии с теоремой 88.1 оператор (матрицу)простой структуры называют также диагоналиэуемым операгпором (магприцей). Линейный оператор А б В(1г,р) называется оператором простой св1руктуры, если в пространстве (г существует базис из собственных векторов оператора А. Квадратная матрица А е Р""" называется матрицей просгаой структуры, если она имеет и линейно независимых собственных векторов.
Очевидно,что линейный оператор является оператором простой структуры тогда и только тогда, когда его матрица в любом базисе имеет простую структуру. Теорема 88.1. Линейный оператор А Е С()г, 1г) имеет првсгпую структуру тогда и только тогда, когда е пространстве )Г су1цествует базис, в котором ои имеет диагональную матрицу, или, в матричной форнулнровке, квадрагпиая матрица ювлюетсю матрицей простой структуры тогда и только тогда, когда она подобна диагональной.
Если матрицы А и В подобны и Т 'АТ = В,то говорят,что матрица А преобразованием подобию приводится к матрице В,при этом матрица Т аюывается матрицей преобразованию подобию. Из теоремы 88.1 следует, что матрица простой структуры приводится преобразованием подобия к диагональной матрице: Глава ХЧ. Структура линейного оператора 26 Теорема 58.2. Линейный оператор А Е ь(КИ) имеегп просгпую струкгпуру тогда и только тогда, когда все его собственные надпространства в прямой сумме дают все пространство И. Теорема 58.3.
Линейный оператор, действующий в комплексном пространстве, имеет простую структуру тогда и только тогда, когда для каждого собственного значения этого оператора геометрическая кратность совпадает с алгебраической. В вещественном пространстве эта теорема верна для тех операторов, чьи характеристические многочлены имеют только вещественные корни. Пример 58.1.
Показатьч что матрица 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 — 6 1 7 — 1 [ подобна диагональной матрице. Указать матрицу Т преобразования подобия, приводящую матрниу А к диагональному виду. Решение. Матрица А подобна диагональной матрице тогда и только тогда, когда она имеет простую структуру,т.е. тогда и только тогда, когда имеет четыре линейно независимых собственных вектора.
Найдем эти векторы. Имеем -Л 1 0 0 0 -Л 1 0 0 0 — Л 1 -6 1 7 — 1 — Л ( прибавим к 1- 1 = ~ му столбцу ~ = все остальные с)ес(А — Л1) = — Л+1 1 — Л-~-1 -Л -Л+1 0 -Л+1 1 1 1 0 0 1 -Л 1 0 1 0 -Л 1 1 1 7 — 1 — Л 0 0 1 0 — Л 1 7 -1 — Л =( — Л+1) 1 1 0 0 0 -Л вЂ” 1 1 0 0 — 1 -Л 1 0 0 7 — 1 — Л вычтем из всех ) строк 1-ю )= — + ) -Л вЂ” 1 1 0 = (-Л+ 1) — 1 — Л 1 ) прибавим к 1-му ) 1 столбцу 3-й — Л вЂ” 1 1 0 1 1 0 =( — Л+1) 0 — Л 1 =(Лз — 1) 0 -Л 1 — Л вЂ” 1 7 — 1 — Л 1 7 — 1 — Л 1 1 0 = (Л вЂ” 1) 0 -Л 1 = (Л вЂ” 1)(Л+ 3)(Л вЂ” 2). О 6 -1 — Л Таким образом, матрица А имеет четыре различных собственных значения Лз = 1, Лз = -1, Лз = -3, Ль = 2, следовательно, является матрнцей простой структуры.
Решал однородные системы (А — Л;1)к = О, 1 = 1,4, найдем соответствующие собственные векторы. Получим д Л = 1: е = (1, 1, 1, Ц 358. Операторы и матрицы простой структуры 27 для Лз = — 1; ез = (1, — 1, 1, — 1)т, лля Лз = -3; ез = (1, -3,9, -27)т, для Л4 = 2; е4 = (1,2,4,8)т. Векторы еь ез, ез, ез линейно независимы, так как отвечают различным соб- ственным значениям. Матрица 4 столбцами которой являются собственные векторы ем ез, ез, ем является ис- комой матрицей преобразования подобия. ° Пример 58.2. Пля матрицы А = [ 2 5 ] найти матрицу А Г2 21 зо Решение.
Покажем, что матрица А подобна диагональной. Пля этого найдем все собственные значения и соответствующие собственные векторы матрицы А. Имеем с)еС(А — ЛЕ) = ! 2 5 Л ~ = Л вЂ” 7Л+6 = (Л вЂ” 6)(Л вЂ” 1), следовательно, Лз = б, Лз = 1 — собственные значения матрицы А. Построив фундаментальную систему решений для однородной системы уравнений (А — Л,Г)х = О, 1 = 1, 2, найдем максимальную линейно независимую систему собственных векторов, отвечающих Л,.
Пля Лз — — 6 собственным вектором будет вектор е1 — — (1,2)т, а для Лз = 1 — вектор ез = ( — 2,1)т. 1 — 2 1 Если Т = [ 2 1 ) — матрица, столбцами которой являются найденные собственные векторы, то (пример 58.1) А = Т [ 0 1 ~ Т, откуда слеГ6 01 л...„..А-=т[; „~т- =-,'[2 11[0 1~[ 2 11= бзо 4 2(бзе + 1) 5 ~ 2(бзо + П 4 бзо 1 ° ЗАДА к1И 58.1. Пусть (~ = Ь, ® Ьз. Доказать, что; а) оператор проектирования на Ьз параллельно Ьз, б) оператор отражения относительно Ьз параллельно Ь, имеет простую структуру.
58.2. Построить базис из собственных векторов операторов: а) отражения плоскости относительно прямой х — 2р = О параллельно прямой Зх — у = О; б) проектирования плоскости на прямую Зх + 2у = О параллельно прямой х — у = О; 28 Глава ХЪ'. Структура линейного оператора в) проектирования пространства на плоскость х — Зу = 0 параллельно прямой х + х = О, х+ у — 2г = 0; г) отражения пространства относительно прямой х = у = — з параллельно плоскости х + 2у — я = О. 58.3.
Локазать, что у оператора простой структуры: а) образ есть линейная оболочка собственных векторов, отвечающих ненулевым собственным значениям; б) пересечение ядра и образа состоит только из нулевого вектора; в) ядро и образ в прямой сумме дают все пространство. 58.4. Привести пример линейного оператора А, действующего в пространстве й", для которого К" ф ил А + нег А.
58.5. Локазать, что всякий многочлен ДА) от оператора простой структуры сам имеет простую структуру. Кроме того, если А невырожден, то А ' имеет простую структуру. 58.6. Оператор А, действующий в и-мерном пространстве Ъ', имеет и различных собственных значений. Локазать, что всякий оператор В, перестановочный с А, является оператором простой структуры. 58.Т.
Показать, что в условиях предыдущей задачи оператор В можно представить многочленом от оператора А. 58.8. Оператор А, действующий в н-мерном пространстве Г, имеет н — 1 различных собственных значений. Найти необходимое и достаточное условие диагонализуемости оператора А. 58.9. Локазать, что если матрица А имеет простую структуру, то простую структуру имеет и матрица Ат. 58.10. Пусть хотя бы один из операторов А или В, действующих в пространстве 1г, обратим. Локазать, что если оператор АВ имеет простую структуру,то простую структуру будет иметь и оператор ВА. Верно ли это утверждение, если оба оператор А и В вырожденыу 58.11.
Выяснить, замкнуто ли множество всех операторов простой структуры, действующих в пространстве $', относительно операций: а) сложения операторов; б) умножения операторов. Выяснить, диагонализуемы ли операторы, заданные в некотором базисе комплексного пространства матрицами. 58.12. 8 1 . 58.13. 4 3 . 58.14.
~58. Операторы и матрицы простой структуры 29 5 4 4 0 1 2 2 6 4 . 58.16. — 1 0 — 2 — 3 — 5 — 3. — 2 2 0 58.15. — 1 — 2 2 0 — 6 — 2 58.17. — 2 — 1 2 . 58.18. — 2 — 4 — 2 — 3 — 2 3 2 11 4 6 . 58.20. 58.19. 58.22. 2 2 2 — 2 5 3 — 2 5 3 2 — 5 — 3 58. 24.
— 1 2 0 1 1 — 1 2 О 0 1 — 1 2 2 0 1 — 1 58.25. 58.26. 1 1 1 1 1 — 1 1 — 1 1 1 — г — 1 58.27. 58.28. Выяснить, диагонализуемы ли следующие матрицы: а) над юлем К; б) над полем С. 58.29. 3 2 . 58.30, 4 1 . 58.31. 58.32. 1 0 0 . 58.33. 0 1 1 — 1 Π— 1 — 1 1 0 58.34. 2 .. 58.35.
0 0 1 1 0 3 — 1 8 2 — 14 58.21. 2 2 2 58.23. 0 0 1 1 1 — 1 0 1+1 3 в' 0 — 1 1 1 0 0 — 1 1 0 0 — 1 0 1 — 1 0 0 1 — 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 — 2 1 2 — 1 0 2 — 2 0 3 Глава ХЧ.Структура линейного оператора 30 58.37.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
