Том 2 (1113040), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Учесть, что если 1(х) = (х,й), то 1'(а) = ай, Ча б К, и следовательно, О (1) = !)Ь))в. Тем самым, )Я = )Ще. Т1.35. 1. 71.36. шах )Лй) во всех пунктах. !<!< 71.3Т. Указание. 6) Вычислить обе части неравенства на квазидиа- !! -11 гональной матрице й))аб [ 1 ! ),1,...,1 71.39. )У(А) = М(РАР '). 71.41.
Если х = (хй!...,х ) У = (У! . У") ))А))~© = (шах)хй)) ~~ (уй). Т1.42. Указание. Воспользоваться задачей 71.40. 71.43. Указание. Воспользоваться представлением Ах = (х,Ае)е и предыдущей задачей. Т1.45. Указание. Воспользоваться предыдущей задачей. 71.46. Указание. Воспользоваться задачей 71.44. 71.48. Указание. Воспользоваться задачей 71.40. Ответы и указания к 871 249 71.49. У к аз ание. Воспользоваться задачей 71.40, представив матрицу В ранга 1 в виде В = ху 71.51.
Указание. Учесть, что в силу задачи 71.18 матричная норма ((А(( согласована хотя бы с одной векторной нормой, и рассмотреть норму вектора Ах, где х — собственный вектор матрицы А. 71.54. У к аз а ни е. Рассмотреть нильпотентную ненулевую матрицу Т1.55. Например, круг (х( < ч'5+ ч'2. Указание. Воспользоваться результатом задачи 71.51 с подходящей матричной нормой. 71.57. Указание. Показать, что матрица положительно определена. 71.60. Указание. В силу теоремы Шура существуют такие унитарная матрица У и верхняя треугольная матрица В, что А = ПВ(У, прин чем на главной диагонали матрицы В стоят собственные значения матрицы А. Положим Р~ — — о!аб(1, З~,...,1").
Тогда непосредственным вычислением можно убедиться в том, что сумма модулей всех элементов матрицы Р~ВР7, расположенных выше главной диагонали, при достаточно боль- -1 ших С > О не будет превосходить е. Поэтому ((Р~ВР, '((~ < р(А) + е и в силу задачи 71.7, пункт в) матричную норму А можно определить равемством: ((А(( = ((Р~(У~А(УР, '((, = (((РР, ') 'А(ПР, ')(( . 71.61. У к а з а н и е. Повторить рассуждения, аналогичные проведенным в предыдущей задаче, и учесть, что ((В((з = р(В В). Т1.62. Указание. Рассмотреть матрицы [ О О ], [ 1 О ], [ 1 О ], [1 О] 71.65.
Указамие. Показать, что ((А (( э О, и, воспользовавшись эквивалентностью норм, перейти к ((Аь((,. 71.66. У к а з а н и е. При доказательстве необходимости рассмотреть А х на каждом собственном векторе х матрицы А. Лля обоснования достаточности использовать результаты задач 71.69 и 71.65.
Т1.69. Указание. Во-первых, из соотношений [р(А)]" = р(А") < ((Аь(( вытекает, что р(А ) < ((А" ((ыь. Во-вторых, для любого е > О спектральный радиус матрицы В = [р(А) + е] 'А меньше единицы, и следовательно,  — сходящаяся матрица (задача 71.66). Поэтому, начиная с некоторого номера й = М, выполнено неравенство ((В" (( < 1.
Отсюда ((А" (( < (р(А) + е]". 71.71. Указание. Лостаточность следует из соотношения задачи 71.69. Лля доказательства необходимости использовать цепочку соотношемий: ((А((" = [р(А)]' = р(А") < ((А" (( < ((А((". 71.72. Указание. Показать, что частичные суммы матричного ряда образуют последовательность Коши. 71.74. Нет. 71.79. Указание. Использовать теорему Шура о приведении к треугольному виду. 71.80.
У к аз ам и е. Учесть, что унитарная матрица П унитарно подобна диагональной матрице. 71.81. Это возможно для любых матриц А. Ответы н уквзалвн к 372 250 11 2 71 Г 1 2 11 ~1/2 0 -2/31 71.86. а) ~0 1 -З~; б) ~ 0 1 2~; в) 0 1 1/3 0 0 1 0 0 1 0 0 1/3 372 72.1. (О, О, О, О, О, 0)т. 72.2. (1/2, О, 1/2)т. 72.4. (1,— 2,0,1)т.. 72.5. (3,7,— 4,-4)т. Т2.6. (1/3, — 2/3, 1, — 4/3)т. 72.7. (2, 1, О, -1) — точка минимума.
Т2.8. (7/5, О, 1/5) — точка минимума. 72.9. (9/2, — 9/2, 1/2) — точка минимума. 72.3. (3,1,3)т. Указание. а) Представить В в виде В = 1 — А и показать, что В ' = 1+ А + Аз; б) подобрать диагональную матрицу Р так, чтобы все диагональные элементы матрицы РВ были равны единице. 71.90.
Указание. Использовать соотношение А+ В = А(1+ А зВ) и показать, что если ))А 'В~) < 1, то матрица А+ В обратима. 71.91. Указание. Пиагоналъная матрица Р = уйаб(ам,...,а„„) обратима. Показать, что у матрицы В = 1 — Р 'А норма ))В)) меньше единицы, и воспользоваться задачей 71.84.
71.93. Указание. Использовать теорему Шура и задачу 71.20. 71.94. Указание. Пусть А = А! + зАз — эрмитово разложение матрицы А и В = УнАУ вЂ” верхняя треугольная форма матрицы А (теорема Шура). Тогда эрмитово разложение матрицы В имеет вид В = Ун Аз У + зУл А!У. Использовать для каждой из матриц Ун А!У неравенство Шура предыдузцей задачи. Т1.95. Указание. Неравенства переходят в равенства тогда и только тогда, когда соответствующие по теореме Шура треугольные матрицы диагональны. 71.96.
Пля матриц А простой структуры. Указание. Использовать рассуждения, аналогичные проведенным в доказательстве задачи 71.60. 71.97. Указание. Согласно 57.83 матрицы АВ и ВА имеют одинаковые собственные значения Л!,..., Л„. Так как А — нормальнэл матрица, ь то ))АВ))в = ~ )Лз) . Показать, пользуясь определением евклидовой нормы 2 % ~ 3 ь=! матриц, что ))ВАОк = ))АВ))в.
Т1.98. Указание. Из прецставления задачи 66.61 следует, что для любой унитарной матрицы И'! ~ !г(АИг)) < р! +... + р„. Пусть В = УлАУ вЂ” треугольная форма Шура матрицы А. Тогда !г(АИ') = !г(ВУ~ ИгУ). Выберем Иг из условия У~ИгУ = Р = 4!аб(!(!,..., !(„), где Ьдйь = )6ьь) = )Ль).
Тогда !г(АИ') = )Л!) +... +)Л ). Т1.99. У к аз ание. Использовать задачи 71.11, 71.28 и 71.98. Т1.100. Указание. Пользуясь задачей 71.90, доказать, что если матрица А+ В вырождена, то !)В))з > р„. Показать, что равенство ))В))з = р выполнено для матрицы В = УР!1, где Р = 4!аб(0,...,О, — р„), а унитарные матрицы У, )г участвуют в сингулярном разложении матрицы А: А = Уй)г.
71.101. а) (5 — Зз/5)/2, (5+ Зз/5)/2; б) — 2, 9; в) -7, 5. Ответы и указания к 372 251 72.10. (9/2, — 1/6, — 1, 0) — точка максимума. 72.11. а) а /и при х! = ... = х = а/и; п(п+ Ц(2п+ Ц " п(п+ Ц(2п+ Ц' 2( 2 ц а(д — ц В) прих!=хз/д=...=х /д з( ы ц ''' " (дз ц' гоз га Т2.12. при х! =... = х„= п(п+ ц п(п+ ц 72.13. Указание. Применить альтернативу Фредгольма. 72.14. Указание. Применить теорему Фредгольма. 72.17.
а) Ни для одного а 6 Ъз уравнение не имеет решения при любой правой части; б) (Ь, а) = О. 72.18. Если векторы я! и хз таковы, что [вг, аз[ = [вз, аз[, то они удовлетворяют соотношению (х!, Ь!) = (хз, Ьз). 72.22. Если д(!) = а„1" + д„! (1), где беб д„! < и — 1, то искомые псев- дорешения суть все первообраэные многочлена д з(1). Нормальное псевдо- решение /(!) удовлетворяет условию /(О) = О. 72.23. Если многообразие псевдорешений записать в виде хе+не!А, где зе — нормальное псевдорешение, то соответствующими множествами псев- 1 дорешений будут следующие многообразия: а) — хе + йег А; б) оке + 1сегА; о в) хе+1!егА.
Т2.24. Если хе — нормальное псевдорешение уравнения Ах = и, то соответствующими нормальными псевдорешениями будут векторы: а) хе; б) (/*хе. 72.25. Пусть г = гзА и собственные векторы ез,...,е„отвечают не- нулевым собственным значениям Лз,..., Л„. Если и = азе! + ... + а,е„+ а! а, о,тзе„т! +... + а„е, то псевдорешения суть векторы — е! +...
+ — е, + !3 +!е,+!+... +!3 е„, 'Щзз,...,33„6 !1:, а нормальное псевдорешение — век!! ! о, тор — е! +... + — "е„. л! "' л, 72 28 (0„0)0)т. 72.29. (0,0)т. 72.30. -(1,1,1,Цт. 72.31. — — (1,2) . 72.32. — (5,6) . 72.33. -(1,0, Ц Тг.з4. 1(1,о,цт. Тг.зб. (1,1,о)'. Тг.зб. (~,-) . 2 ' ' ' ' 30 5 2 22 т 1 1 т 72.37. [-, — ) . 72.38.
[1, —,— —,1, 1) 5' 35 ' ' ' ' 2' 2' 72.39. а) -(1 — 1 ); б) — (-31+1 ). 2 з 5 ' 24 72.40. Указание. Показать, что ортогональная проекция матрицы 1 на образ оператора СХ = [А, Х[ есть нулевая матрица. 72.41. Функция /(х) и наименьшее среднее квадратичное отклонение соответственно равны: а) /(х) = (-х+ 3)/4,;/Т/10; б) /(х) = (-хе+ зх+ 3)/4, з/5/4; в) /(х) = х — 2х + (4/3), з/2/3; г) /(х) = -(7/2)х + бу — 3, ь/[05/4; д) /(х) = (х + д + 3)/7, з/8/35. Ким Г.
Д., Крицков Л. В. АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Теоремы и задачи. Том Н (2) ИКД "Зерцало-М" Лицензия № 003601 от 20 ноября 2000 г. Подписано в печать 14.10.2003. Формат 60х90/16. Уел. печ. л. 16,0. Тираж 2000 экз. Заказ № 8908 Отпечатано с готовых диапозитивов в ППП "Типография НАУКА" 121099,Москва, Шубинский пер., 6 !ЗВАЛ 5-94373-077-Х 3 730771 9 78594 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
