Том 2 (1113040), страница 41
Текст из файла (страница 41)
а) 1,1,1~; б) —, —,; в) —, )~ — 1, з,1 -(31 — 1). з/3' з/2' з/6 ' з/2' 7 2 ' 8 61.65. Указание. Использовать существование общего собственного вектора у операторов А' и 8 и, следовательно, общего инвариантного подпространства размерности и — 1 у операторов А и )3 (здесь и — размерность пространства). 61.6Т. Собственные значения оператора А" комплексно сопряжены к собственным значениям оператора А. 61.71. Жорданова форма оператора А' получается из жордановой формы оператора А заменой диагональных элементов сопряженными комплексными числами.
61.72. Канонический базис для Ю составляют, например, многочлены 2,21,1з. Канонический базис для Р' — многочлены 1з,1/2, 1/2. 362 62.15. Указание. Использовать задачу 61.45. 62.19. Указание. Показать, что корневые подпространства оператора А совпадают с его собственными подпространствами и попарно ортогональны. 62.26. ез = — (1, 1), ез = — (1, -1) з/2 з/2 62.2Т.
ез = — (2, 1, — 2), ез = — (4 — 31,2+ 61,5) т 3 Зз/ГО ез = — (4+ 31,2 — бз,5) т 3/И 62.28. е1 = — (1, 2, — 1), ез = — (1,0, 1), ез = — ( — 1, 1, 1) з/6 з/2 ' ' з/3 ~ 2 — (1,0,1), — (1,2,-1), — (1,— 1,-1) з/2 чб з/3 ~ Π— (0,1,1), — (2,-1,1), — (1,1,-1), О з/2 з/6 з/3 62.29. А = (/й(/~, й = 81аб(2, — 2, 21, — 21), (/ = 1 — 0 з/2 1 — 0 ,/г 1 0 з/2 1 0 —— з/2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 з 1 2 2 230 Ответы и указания к Зб2 62.30.
Нет, неверно. 62.31. Указание. Использовать задачи 57.28 и 62.30. 62.32. Па, верно. 62.33. Па, может, если геометрическая кратность хотя бы одного собственного значения больше единицы. 62.34. Нет. 62.35. Можно, только если о = О. 62.37. Если х = (амаз,аз), д = (Д,Ц,К), то положить (х,д) = аЩ + 13з + )3з) + азД + 2аз)3з + 2азбз + азД + 2аз)3з + Заз)3з 62.38. Нормальными являются операторы пунктов б),в),г).
Если /(1) = ао + а Н + аззз + аззз, д(1) = )3о + 13Н + )3Нз +,дзгз, то: б) (),д) = 4 (4ао)3е + 2а1)3е + 2аг)3о + Заздо + 2ае)31 + 2ао)3з + Зао)3з + 2а1)3з + 2азбз + Заьбз + 2аз)31 + базбз + 9аз)3з + ЗазВ1 + 9аз)3з + фазбз)~ в).(/,д) = ае)3е+ае)31 +2аобз+бао)3з+аз)3о+2аД +4ап3з+12аз)3з+ 2аз)3о+ 4агД + 9аз)3з + 27аз)3з + баздо + 12азбз + 27аз)3г + 82аз)3з; г) (у,д) = ао)3е,— ао)3з + ао)3з — ао)3з — аз)3о+ 2а1)3з — ЗаДз + 4амдз+ азД вЂ” Заздз + баздз — 10аздз — аз))о + 4азд1 — 10аз)3з + 20аз/3з.
62.39. Указание. Построить многочлен /(1) так, чтобы для каждого собственного значения Лз оператора А выполнялось условие ДЛз) = Лм 62.41. У к а з а н не. Проанализировать собственные значения оператора А. 62.42. Указание. Использовать предыдущую задачу. 62.45. Указание. Использовать предыдущую задачу. 62.49. Указание. Использовать задачу 61.65. з/3, 1 Л г 62.50. ез = — (1,1,1), ез = — (1, — -+ — з, -- — — з) з/3 ' ' ' з/3'' 2 2 ' 2 2 /3. 1 ГЗ. т ез = — (1,— — — — й — -+ — 1) з/3'' 2 2 ' 2 2 62.51.
е1 = — (1, -2, 1), ез = — (1,0, — 1), ез = — (1, 1, 1) з/б з/2 з/3 62.53. Указание. Показать, что А'В, В'А, АВ', ВА — нулевые операторы. 62.54. Указание. Пусть А имеет простые и различные по модулю собственные значения, и пусть еы..., е — ортонормированный базис из соответствуюшмх собственных векторов. Пользуясь нормальностью матриц А,В, и В„показать, что В, — диагональная матрица. 62.55. Указание. Рассуждая так же, как и в доказательстве предыдушей задачи, показать, что матрица В, квазидиагональная, причем ее диагональные клетки порядка, большего 1, соответствуют кратным собственным значениям оператора А. 62.57.
Указание. Использовать теорему Шура и тот факт, что нормальная матрица унитарно подобна диагональной. 62.58. У к аз ан не. Воспользоваться результатом предыдущей задачи. 62.59. У к а з а н и е. Воспользоваться критерием, установленным в задаче 62.57. 62.60. Эти векторы суть собственные векторы оператора А, отвечающие собственным значениям с максимальным модулем. Указание. Разложить вектор х по ортонормированному базису из собственных векторов оператора А. Ответы и указания к 3 63 62.61.
Указание. Применить результат предыдущей задачи; а) к вектору с координатным столбцом (1,..., 1)т; б) к векторам с единичными координатными столбцами. 62.62. Нет. Например, для унитарного оператора А отношение (Ах(/(х ~ равно единице для любого ненулевого вектора х. 363 63.2. а) Ла; б) нет. 63.3. Ла. 63.5. Операторы умножения на число ел (а( = 1. 63.6. а), в), г), д) Ла; е) да, только если и = 0; ж) да, только если А А =1 (А А = 1); з) да, только если ВВ =1 (ВВ = 1); б) нет. 63.7.
Указание. Рассмотреть матрицу оператора А в ортонормированном базисе из собственных векторов и использовать тот факт, что через точки Лм Лз, Лз комплексной плоскости можно провести окружность. 63.8. Только если зто единичный оператор. 63.10. а) Собственное подпространство для Л = 1 — это подпространство всех четных многочленов, а собственное подпространство для Л = — 1— соответственно всех нечетных многочленов; б) собственное подпространство для Л = 1 натянуто на многочлены 1" + 1, В" ' +1з,..., собственное подпространство для Л = -1 — соответственно на многочлены 1" — 1, 1" ' -1з,.... 63.11. Указание.
Проанализировать спектр оператора А. 63.13. а), б). д), е), з) Нет; в), г), ж) да. 63.14. а), б), е) Нет; в), г), д) да. 63.15. а), в), г) Ла; б) нет. 63.16. а) А ГА = Г; б) АЛГА = Г. Если базис ортонормированный, то:а)А А=1;б)А А=1. 63.18. а), г), д), ж) Нет; б), в), е) да. 63.19. а) Нет; б), в), г) да. 63.20. Указание. Воспользоваться задачей 63.17. 63.22. Указание. Учесть, что если в — корень многочлена р(Л), то в = 1/в — тоже его корень. 63.25. Указание. Воспользоваться предыдущей задачей. 63.30.
Ла. 63.31. а), в), д) Ла; б), г) нет. 63.32. Указание. Пусть ем,,.,е — ортонормированный базис. Показать, что векторы Аем..., Ае имеют одинаковую длину. 63.33. Указание. Лля Лгх,у,в б (г, Лги,В б Р установить тождество (А(ох+Ну) — оАх — ВАу, Аз) = О. 63.34. Ла во всех пунктах. 63.35. а), в) Нет собственных векторов; б) Лг = -1, Лз = 1, /г = с(-1, 1 + з/2)~, /з = с(1 + з/2,1)т, где с = (4+ г,/г)-'1' г) Лг = -1, Лз = 1, /г = — (1, -2), /з = — (2, 1) з/5 ' ' з/5 д) при о ,-В Ьг, й б Ж, нет собственных векторов; при а = 0: Лз = Лз = 1; при о = я: Лг = Лз = 1, любой ортонормированный базис — базис из собственных векторов; о е) Лг = -1, Лз = 1, /з = (вгп —, — сов — ), /з = (сов —, вгп — ) 2' 2 ' 2' 2 ж) Л, = 1, /, = — (1,1,1) /3 232 Ответы и указания к 36о з) Л) = — 1, Лз = Лз = 1, У) — — — (1, -1, 1) , Уэ = — (1, 1, О) Уз = з/3 ' ' ' ,/2 ™ †(1, -1,2) в/6 и), К) л) = 1, Ув = 1 (1, 1, 0) з/2 л) лв = -1 У) = — (в/2 — 1, 1 — 3/2 — 1) т в/7 ) и) Л) = -1, Лз =1, У) — — -(1,— 1,1,-1), Уз = -(1,1,1,1) и) Лв = — 1, Лз = Лэ — Лв = 1, У) = — (-1,1,1,— 1) Уз = — (1,0,1,0) 2 ' ' ' з/2 Уз (1 1) 1) 1) 2 У4 (0,1,0,1) в/ 63.36.
а) л) = —, лз = —, Ув = — (1, — 2), Ув = — (1, в) /г' /г' Чг ' ' в/2 4+33 4 — 3 1 .т 1 т, б) л)= —,лз= — )У) = (1 в) )Уз= (1,— 3) 5 ' 5 ' з/2 в/2 в) Лв = сова+вяла, Лз = сова-вяла, Ув = — (1 -в) Уз = (1 в) г) Л) = в, Лз = — в, У) = с(в(1 + в/2))1), Уэ = с(1,3(1 + в/2)), тле с = (4+ гв/г) "' л) л, = 1, л, = ', У, = — ( -1,1), Уз = — (1,1+ в); 1 . т 1 .т, з/З ' ' /3 -1+2~/3 -1-2./3 1 т е) л) =1,лз =,лз= Ув = (111) Уз 2 ' 2 ' в/3 — (1+ в~/3,1 — в~/3, -2), У, = — (1 — ~/З,1+ в~/З, -2); г/3 ™ т гв/3 )Л =1,Л = Л = У = — (110) 3 3 ъ/2 -(1,-1,вв/2), Уэ = -(1,-1,вв/2) .) л, =1,л, = 1+"'з,л,= 1 "/з,у, = 1(1,1,0)',у,= 2 ' 2 ' т/2 -(1, -1, вв/2), Уз = -(1, -1, -вв/2) 2 ' ' ' 2 и) Л) = — 1, Лз =, Лз =, У) = — (ъ/2 — 1, 1, — 2/2 — 1) Ь= )) 2-4 Т+Тт))3 3 2 2 42'2)',Т,=т,; 2 Т)3 3) )+2 1 )3 =2,3 = —,3 =-3,/ = — )223),Т = — )),-Т,— 2) в/2 в/2 ' 2 Уэ = 2 (1, -в) в/2) т л) л) = — лз = 1, лз = -л4 = в, У) = -(1,1,1,1), Уз = -(1, — 1,1, -1) 2''''2 Ответы и указания к 363 233 /з = -(1, -О, -1, 2), /О = -(1, 2, -1, -2) 63.33.
Подпространство 7 натянуто на векторы: а) (1 + з/2) 1)т; б) (2,1)т; в) (соз(о/2),з!п(о/2))г; г) (1,1,0)т, (1, -1,2)т; д) (1, 1, 1, 1)т. 63.39. Если Д!) = аз + а)з+ агз~, д(!) = Ье+ Ь)1+ без~, то (/,д) = ЗаеЬе — 2аеб) — 2аеЬг — 2а)бз + 2а)6) + а)бг — 2агЬе + пгЬ) -'г 2а)Ьг. 63.41. Указание.
Воспользоваться предыдущей задачей. 6ЗА2. а), в) Любой ортонормированный базис. В остальных пунктах канонические базисы и соответствую)дне матрицы определены неоднозначно; ими будут, например, векторы со следующими координатными столбцами и матрицы: у(2)1) ! [ О 1 ]' /г = — (1 1 -2) /з = ( 1 1 0) з/б ' ' ' з/г ' ' ' 2 (3 /г = — (1, — 1,0), /з = (0,0, — 1) уг /г = — (1,-1,0), /з = (0,0,-1); — 0 0 1 б) †(1, -2) 1 г з/б г) — (1, 1, 1) 1 т ,/3 О -1- ГЗ; 0 0 1 — 22/2 2)/2 1 д) — (1,1,0) /г 0 0"! -1 —,/З ]; ,/з е) — (1,1,0) з/2 1 ) — ) 2 — 11,-1 — 2), )1+ 22 2 22 2) )2 11)2 „'2) О О ) (1+ ъ/2) -1,0)т; — 0 3 -з/7 З/4+ гз/2 0 з/7 3 з) -(1, — 1, 1, — 1) , †(1, 1, 1, 1) , — (1, О, — 1, 0) , †(О, 1, О, -1) 2''''2''ъГ2''з/2 о о о1 0 1 0 0 о о о 0 0 1 0 и) -(1, 1, 1, -1) 2)1~3(1, 1, 1, -1); к) — (1, 1, О, 0) з/2 -(1,1, -1,1), -(1, -1,1, 1), -(-1,1,1,1) — (О, О, 1, — Ц, — (О, О, 1, 1), — (-1, 1, О, О) з/2 ч'2 з/2 0 — 1 0 0 63.43.
Указание. Показать, что такая матрица подобна матрице 2)!аб(сова+ге!по,сова — Оз!пп), которая, в свою очередь, подобна матрице [ созо — зша ] вша сова 63.44. Указание. Проанализировать спектр оператора А. 63.45. Указание. 1. Предположить противное: существуют такие векторы ег нег ()!е)( = 1), что Ас) = Ле) и Аег = Лег+с). Рассмотреть образ 234 Ответы и указания к 364 вектора х = ез — (ем ее)е1 и прийти к противоречию. 2.
Предположить противное: существует неортогональная пара векторов х и д таких, что Ах = Лх, Ад = ду, где Л ~ р. Пусть число и Е С выбрано так, что Ке[(Лр — 1)(ах, д)) > О. Показать тогда, что )А(ах+ у)(~ — /ах+ д(з > О. 63.49. Клина вектора ш должна быть равна единице. 63.50.
Указание. Показать, что Н = 1. 63.51. а) Простому собственному значению Л = -1 отвечают собствен- ные векторы, коллинеарные вектору ш; собственными векторами, отвеча- ющими собственному значению Л = 1, являются все ненулевые векторы, ортогонельные ш; б) определитель равен единице. 63.53. ш = (-з!и —,сое — ) !з Зз г 2' 2 1 63.54. Выбрать ш = (х — ке1), где к — любое число, удовлетво)х — йе1) ряющее условию (к! = (х). 63.55. По данной матрице А порядка и выберем, в соответствии с предыдущей задачей, матрицу Н1 так, чтобы матрица Аз = Н1А имела о, вид А1 = —, где Аз — подматрица порядка п — 1.
Строим теперь !О А1 матрицу Нз вила Нз = б!а8(1, Нз), где Нз — матрица отражения порядка и — 1, выбранная так, что в матрице ЙзАз все поддиагональные элементы первого столбца равны нулю. Тогда у матрицы НзНзА первые два столбца совпадают со хтолбцами треугольной матрицы. Продолжал таким образом, после и — 1 шагов получим верхнюю треугольную матрицу. 364 64.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
