Том 2 (1113040), страница 44
Текст из файла (страница 44)
+х, г — (з — 1)х,), з = 2,п; ф(~ — 1) г 1 г 1 г, 16) — Уе — -Уг —... — -Уьб пРеобРазование можно взЯть то же, что и 2 2 2 в предыдущем пункте. 69.4. Матрица с положительными угловыми минорами ортогональиа тогда и только тогда, когда она единичная. 69.5. Если хм...,х„— координаты вектора х в ортонормированном базисе ем..,,е, где ем...,е, составляютбазис Ь, той(х) = х',+...+х„'. 69.6.
1) ~уе(~ + 3)уг(~; хе = (уг — еуг)/ь/2, хг = ( — еуе + уг)/з/2; г г 3+4з 1 2) б)уе) — 4)уг); хе — †(уе + уг),хг = — (уг — уг); 5з/2 з/2 3) 2)уг( + 4)уг) — 5(уз(~;хе = (уе + гуз)/з/г, хг = (еуг + уг)/з/2, хз = уз; 1 1 1 1 2 е 4) 3)уг(; хе = — Уг + — Уз+ — Уз, хг = — уг — — Уз, хз = — уев з/3 з/2 з/6 ь/3 з/6 з/3 г е ~-уг + /-Уз~ 5) 4)уе)г + 8(уг)~ + 12(уз~ + 16)уе(; хг = (-уг + уз + (1 — г)уе)/2, хг = (Уг+(1+г)уз — Уе)/2, хз = (Уе — (1 — г)уз+Уз)/2, хе = ((1+е)уе-~-Уг-~-Уе)/2.
69.8. У к аз ан не. Привести соответствующую квадратичную форму к каноническому виду. 69.9. См. указание к предыдущей задаче. 69.11. Указание. Применить предыдущую задачу. 69.13. У к а з а н и е. Показать, что корни Л-уравнения не меняются при невырожденном преобразовании обеих форм. 69.15. Нельзя в обоих пунктах. Указание. Показать, что корни соответствующих Л-уравнения невещественны. 69.16. При подходящей нумерации выполнены соотношения: Л,р, = 1, г= 1,п.
69.17. 1) / = -гуг+-уг, '2) / = 4уг~ — 2уг, 3) / = зуе', 4) / = уе+4уг', 49 г 1 г г г г г г г, 5) / = — Уг — -Уг, б) / = 9ре — Уг, 7) / = Уз +Уз+Уз — Зуе~ 8) / = 2 2 у, + 2уг + 2уз 7уе. г г 1 69.18. 1) / = уз +уз, д = буг~ — 4уг, 'хг = — уг — уг, хг = — уз+-уз; /г ' зз/г 3 29г 1 г г г; 3 1 2) / = — Уг — — Уг, д = Уе + Уг, хе = Ч5ум хз = — — у~ 4- — уг; 2 2 ' ' ' з/5 з/5 г г г г, 1 1 1 4 3) / = уг + уг, д = уе + 7уг, х, = †+ — уз,хз = †+ †; б ,/3 ' ,/б ,/з Ответы и указания к 369 245 4) 1 = У) + Уг, 9 = У) — -уг,' х) = — у) + — уг, хг = )/Зу)+ 1/3/292; 2 2 2 1 г, 2 1 2 ' 1/3 )/6 5 1 21 1 5) / = 2691 9 = у) + уг; х) = — — у) + — уг, хг = — у) + — уг; 2 2 2 )/26 )/26 )/26 1/26 г г г 1, 4 1 1 6) / = У) +Уз, 9 = — 5У) — -Уг, 'х) = — У)+ — Уг, хг = — — У) + 8 ' )/13 2)/13 ' )/13 3 2)/ГЗ 1 2 1 7) 1 = У) +уз+ Уз, д = 5у) + 29,; у) = — х) + — хг+ — хз, уг = 2 2 2 2 2, /3 ГЗ )/3 1 2 2 1 — х)+ — хг — — хз, уз = — х) — )/2хз; /б )/б /б ' /2 1 4 8) / = — У) — Уг — Уз 9 = -591 2уг + уз' у) = -х) — -хг+ хз, уг = 3 3 2 5 2 2 гх) — -хг — 2хз, рз = -х) — -хг — Зхз; 3 3 ' 3 3 1 1 1 2 9) / = Зу) + 2уг, д = у)+ уз + уз' х) = — уг, хг = — у)+ — рг — ууз, 2 2 2 2 2 )/2 )/3 2 6 1 1 1 хз = — у) — — уг + — уз; 1/3 1/2 )г 6 г з г г г г, 1 5 7 10) / = 591 — Уг — 5уз 9 = У) + уг + уз' х) = — у) 4- — уз + — рз, Л 4)/3 4)/5 1 1 1 1 /5 х2 У)+ У2 Уз хз 92+ Уз) )/5 2)/3 2)/5 ' 41/3 4 2 2 2 2 2, 11) / = Зу) + Зуг Зуз 9 = У) + Уг + Уз' х) = У)+ — Уг — — Уз, )/2 )/б ъ/3 2 2 хг = )/Зрз) хз 92 + Уз~ )/6 )/3 2 2 8 12) / = У) + Уг + Уз д = 149,; х) = — у) + — Уг + — Уз, хг = Д4 )/5 )/70 4 3 2 3 5 =У) + ууг + =Уз, хз = — У)+ / — Уз; 13) / = У) + 2уз — Уз, 9 = у) + уг + уз + У4; у) = х) — хг, рг = хг — хз, 2 2 2 2 2 2 2, рз=хз х4,94=х41 2 2 2 2 2 2 2 2 9 1 14) / = Зу)+392 +буз бу4) 9 = У) — Уг — Уз — У4) х) = — у) — — рг+ )/6 )/б 6 7 8 2 5 8 3 1 Уз + У4 Х2 У1 Уг + Уз У4 хз 91 У2 + 1/3 )/3 )/6 1/6 )/3 )/3 )/6 46 3 4 1 1 1 1 Уз + 94 Х4 У! У2 + Уз + 94 /3 /3 ',/б /6 )/З )/3 15) / = 29,'+29,'+2уз — 294, д = у)+уз+уз+уз; х) = у)+уз+Уз+у4, хг=(у)+уз+уз+ЗУ4)/2,хз =уз+уз,х4=( у)+Уз+Уз+У4)/2 69.20.
Указание. Поанализироватьсоотношение о~ВЯ = (о~АЗ)В, эквивалентное данному в задаче, и показать, что матрицы Я ВЯ и Я АЯ и и квазидиагональные и имеют согласованную блочную структуру. 69.21. Указание. Воспользоватьсв задачей 62.49. 246 Ответы и указания к 370 69 22 1) / рзз + рзз + 16рзз д 2рзз Зрзз, рз = (2х4 + хз + хз)/з/6, рз = ( — хз + хз)/з/2, рз = (-хз + хз + хз)/з/3; 2) / = — рзз — рзз+ 5рз д = брз' рз = (хз — хз)/з/2, рз = (х4 — хз — хз)/з/3, рз = (2х4+хз+ хз)/з/б; 3) / = Зрз4 — 2рзз + брзз, д = — брз4 + брзз; рз = (х4 — хз + хз)/4/3, рз = (хз — хз)/ Й, рз = (хз + 2хз + хз)/ч46; 4) / = 5р4+ уз рз р4 д = уз +5рз+рз+р4', рз = (х4+хз+хз+х4)/2, рз = (хг — хз + хз — х4)/2, рз = (хз — хз)/4/2, р4 = (хз — х4)/4/2.
69.23. Указание. Показать, что при ортогональном преобразовании характеристический многочлен матрицы квадратичной формы не изменяется. 69.24. 1) Формы / и )4 ортогонально эквивалентны, но ни одна из них не является ортогонально эквивалентной форме д; 2) формы д и Ь ортогонально эквивалентны, ио ни одна из них не является ортогонально эквивалентной форме /.
69.25. Указание. *1ак как матрица А А положительно определена, то существуют верхняя треугольная матрица Б и диагональная матрица Р с положительными элементами на главной диагонали такие, что А А = БтРБ. Переписать последнее равенство в виде А А = (РнзБ) (РизБ) н положить В = РызБ. Если матрица А имеет два представления А = азиз = Яззсз, то матрица Я~ ~444 = ЯзВч одновременно ортогональная и треугольная с положительными диагональными элементами, и значит, она единичная. 69.26.
Указание. а) Так как матрица А А положительно определена, то существуют ортогональная матрица Р и диагональная матрица Р с положительными элементами на главной диагонали такие, что А А = г Р РР. Тогда матрица Вз = Р РИ Р является квадратным корнем из матрицы А А, а матрица 1'„14 = АВ, ' ортогональна.
Единственность мат ицы Вз следует из единственности квадратного корня из матрицы А А. т в~ Утверждения следуют нз единственности представлений, указанных в пунктах а) и 6). 370 70.1. Па. 70.2. Нет. 70.3. Ла, только если р(1) > О и р(4) х О. 70.4. Ла. 7011. Указание. Показать, что равенство (х, р). = 4(((к+р~( — )(х— р~( ) задает в р' скалярное произведение. 70.13. Указание.
Использовать числовые неравенства: — + — < — (1+з ), верное для всех р > 2 и з Е (0,1],и с гиг-41( зиз-4)З г-' о+ о (и — о — ) < -((и(+М ), 2 2 ) 2 верное для всех р е (1, 2) и и, о Е К 70.19. Указание. Воспользоваться неравенством Гельдера. 247 Ответы и указания к Ц 71 70.20. ЦхЦз < ЦхЦз <,/ ЦхЦ2 ЦхЦ < ЦхЦз < лЦхЦ , ЦхЦ < ЦхЦ2 < з/йЦхЦсэ, где и — размерность пространства. 70.21. Константа сз равна наименьшему, а константа сз — наибольшему сингулярному числу матрицы А. 70.24.
Указание. Показать, что такая норма может быть введена равенством ЦхЦ = р(х,р). 70.28. Евклидова норма двойственна к себе относительно порождающего ее скалярного произведения. Т0.29. Нормы Ц Ц„и Ц. Цз двойственны друг к другу. 70.30. Неравенство Гельдера. 70.31. двойственная норма определяется равенством ЦхЦ = ИВ ) хЦю гдер '+о '=1прир>1ио=ооприр=1. 70.32. а) ЦхЦр — — ЦАхЦзб 6) ЦхЦ" = Ц(В*) 'АхЦю где 9 такое же, как и в предыдущей задаче.
Т0.34. Указание. Использовать задачу 70 27. Ц71 71.2. Указание. Пусть ЦАЦ вЂ” подчиненная норма в С(Ъ;1У). Тогда За > О: эА б С(Ъ', Иг) выполнено неравенство аМ(А) < ЦАЦ. Рассмотреть аэ = а/2. 71 4. Указание. Пусть ЦАЦ вЂ” подчиненная норма в ь(Ъ; И ). Тогда Всг > О: ЧА б С(1~, Иг) выполнено неравенство ЦАЦ < аМ(А). Показать, что норма Ф(А) = аМ(А) согласована. 71.5. Указание. Пусть ЦАЦ вЂ” подчиненная норма в Д(Р,Иг). Использовать тот факт, что Ба > О: ЧА б С(1~, Рг') выполнено'неравенство ЦАЦ < М(А).
71.9. Нет. Указание. Рассмотреть норму Ф(А) =шах1ЦАЦм ЦАЦ 71.10. Указание. Учесть, что К(1) = и > 1. 71.12. Указание. а) Рассмотреть матрицу А, все элементы которой равны единице; б,в) найти значение М(1). 71.13. Указание. Рассмотреть норму п(х) вектор-столбца х б С", задаваемую равенством п(х) = Ц [ х О ... О ] Ц, 71.14. а) Наибольший из модулей диагональных элементов; б) наибольшая из спектральных норм диагональных клеток.
71.15. В обоих пунктах евклидова норма равна з/й, а спектральная норма равна единице. . в.,б*,+...+э*. 71.19. Указание. Использовать задачу 61.29а. 71.22. Указание. а) Учесть соотношения: р(А А) < ЦА АЦм ЦА Цз = ЦАЦ; 6) учесть неравенство р(А А) < Гг(А А). 71.23. Указание. Использоватьсоотношения Нг = (А+А )/2, Нз = (А — Ав)/(2з), 71.24.
Действительная (мнимая) часть комплексного числа я является ближайшей к э точкой действительной (мнимой) оси. 71.25. Если х = х + зу — алгебраическая форма записи числа х, то ]х] = х + у . 248 Ответы и указания к 371 71.26. Если А > О, то утверждение верно, однако соответствующие унитарные матрицы могут быть определены неоднозначно. Указание.
Пля любой унитарной матрицы (1 имеем: ))А — 11))к = сг((А — П) (А — (1)) = !!А + л — 2Кесг(А(1). Согласно задаче 66.44: !Не!!(Ас1)) < сгА, причем равенство достигается лишь при (1 = и1. 71.27. )1ля числа х = г(сов!э+ зя)пи) число ы! = созх+ зз!цйз является ближайшей, а число и!з = — соз у! — ! з!и Зз — наиболее удаленной точкой единичной окружности. 7128.
Указание. Использовать задачи 66 43 и бб 44. 71.29. У к а ванне. Показать, что для неотрицательной матрицы А выполнено: Я(А) = сгА. 71.30. Указание. Воспользоваться непрерывностью нормы. 71.31. Указание. Использовать двойственность друг к другу векторных норм, соответствующих участвующим в левой и правой частях этих равенств. 71.32. Указание. Использовать предыдущую задачу.
71.33. а) 1; б) (и + 1) 1з при р > 1 и 1 при р = 1; в) (~ йч) прир>1илприр=1; й=! » !.1 г) (й! й ~) прир>!и1прир=1; й=! е! д) (~й ч) прир>!и1/2црир=1. й=з У к а з а н не. Использовать предыдущую задачу. — Г Т1.34. а) 1; б) ~/и+1; в) ~(~йз г) 2 й з' д) 2 й з. й=! й=! й=з Указание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
