Том 2 (1113040), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Н = 66.57. Н = 1 [ 2з/2 з/2 0 0 1/з/2 -1/з/2 з/2 3Л О, Н = О 1/,/2 1/,/г 0 0 5 — 1 0 0 66.58. Н = 66.37. Неверно. Указание. Рассмотреть матрицы А = [ 0 0 ~ и Г 0 1 Вы[0 66.39. Единственное сингулярное число равно (ггАА )Из. 66.42. Указание. Воспользоваться задачей 66.40. 66.43. Указание. Воспользоваться задачей 66.40.
66.44. У к а з а н не. Пусть А = УЛ)г — сингулярное разложение матри- цы А. Тогда сг(АИ') = сг((/йЪ'И') = сг(й$'ИЧ/) и сг(йЯ), где Я = 'г'Иг(1 вместе с Иг пробегает все множество унитарных матриц. Очевидно, что ~ сг(йЯ)( < рз +... + р . Равенство здесь достигается, напри- мер, при Я = й 66.45. В тригонометрическую форму записи комплексного числа. 66.46. У к аз ание. Показать, что 'Н = (АА') И~. 66.47. Указание. Учесть, что если А = г(Ы вЂ” полярное разложение, то АА =7(з, А А=и*хзи. 66.49. Указание. См.
указание к задаче 66.47. 66.50. Л А < а: Я = -А, и = -2. 66.51. В естественном базисе е пространства М„: Ответы и укылиия к 367 239 З З З1 1( 2 3 3 3~ Нж — ~-2 2 1 1-1 — 1 1 1 1-1 1 -1 -1 -1 66.59. Н = 3 3 9 3 1 2 и=-[ вв.во. н = 66.61. Если гь = гзыз, где ыь = соз 1оз + за!п хь, — тригонометрическая форма записи диагональных элементов, то А = Н(), Н = г(1ав(гм...,г„), и = 61аб(его..., м,). 66.65. Указание.
Пусть А = РАР ', где Р— диагональная матрица, и Р = КН вЂ” полярное разложение матрицы Р. Тогда выполнено равенство А = (Кий(7~К)(К ')г. 367 )(1) 2)~о 07 3)~-1 о|; 4)~ 1 -5Д' 5) 0 0 2 ; б) 1 0 7 ; 7) П 9) при и = 25 + 1: хзгаз + 2 2 х,хи ы ,,при и = 2х: 2 2 х,х ег =1 ° =г з — 1 10) 2 хг+22 х,х,ем 11)прил<3: 2,' х,хм Згм гм о=1 67.3. 1) -Зхгуб 2) 9хгуг — 9хгуг — 9хгуг; 3) хгуз + 5хгуг + 7хзуз + 2хгуз + 2хгуг + 2хгуз + 2хзуг + бхгуз + бхзуг| 1 ч-ъ 4) 2хгуз — Зхгуг — Зхгуг — Зхгуы 5) — ~ х,у.. о-я=! 67.4. 1) -4хз~ — 4хг г+ 10хгхг; 2) 4х~г — Зхгг + 4хз г+ 4хзхг + 8хгхз~ 3) 8хг+4хгхг+2хгхз+4хгхз', 4) 2(х, +хг+хз+хз — хзхг — хгхз -хгхз); г г г г г «-1 5) 2 2 х;х;~.ь *=1 67.5.
1) Поменяются местами з-я и уая строки, а также з-й и упй столбцы; 2) внедиагональные элементы з-й строки и з-го столбца умножатся на а, а 8) 1 ( ) зоьзхп 9) А = (ао) б г1""", все элементы равны нулю, кроме элементов побочной диагонали, равных единице; 10) А = (ав) б зь""", ао = 1 при )з — Я < 1, остальные элементы нулевые; 11) А = (ао) б ж""", ао = 1 пРи з — 1 < 2, остальные элементы нулевые. 67.2. 1) хг, 2) хг; 4) 2х', — 5хг — 2х,хг; б) хзэ+2хгхг — бхгхз+ 14хгхз; 7) 2 хг; =1 240 Ответы и указания к 367 з-й диагональный элемент умножится на о~; 3) к й-й строке прибавится у- я, умноженная на о, а затем к новому з-му столбцу прибавится новый уай столбец, умноженный на о; 4) матрица отразится симметрично побочной диагонали.
67.6. Ортогональной матрицей. 67.9. ц 4У,'+4У,', 2) д,' — 5У,'; 3) 25У,', 4) -у,' — у,'! 5) -1695 6) 91+Уз Уз' 7) У! — 4дз Уз' 8) Уз +4дг — Уз; 9) 4У1+ — Уг — — Уэ, 16 7 521222221 2322г 10) — 12У! — -Уг+ — Уз' 11) Уз+ 2дг+Уз+ -У4; 12) -У! — -Уг — -Уз 3 5 2 4 3 67.11.
1) 2У, + Здг — Зуз', х! = У1 — 5уг + уэ, хг = — уз + уз, хз = уз + уз,' 2) 2у!2+10угг+190уз х! = у!+Уг — 9дз, хг — — 2уг+2уз, хз =10уз' 3) уг; у! = Зхз — 2хг — хз, дг = хг, Уз = хз! 2 1 2, 4) 8У, + — уз, у! = Х1+ хг+ -хз, Уг = хг, Уз = хз; 2 4 г 2, 2 1 1 1 1 5) Зд, — ЗОУЗ+ 530уз; у! = х!+ -хг — -хз, дг = -хг — — хз, уз = — хз; 3 2 ' 3 20 ' 20 1 1 6) уз+Зуг Зуз туз! у! = х! — хг, уз = хг+-хз, уз = -хз+хз, У4 = Зх4; 2 2 2 2 7) у1 уг х! — у! уг — уз, хг — у1 + уз — У4, хз = уз, хз — у4; 2 г, 8) Здг! + 15угг — 85дз — 629942; х! = У1 — уз + 2уз — уб, хг = Зуг — буз + 394, хз = 5уз + буб, хб = 1794,' 1 г г 9) (У1 Уз+Уз У4)! У! = Х1+хз+хз+Х4, уг = х! — хг+хз, уз = хз, 4 У4 = ХЗ вЂ” Х4; 10) У1+У2 УЗ 94+Уз ! Уб д! х! хз, У2 =х2 — х4,дз =хз!У4 =х4, 2 2 2 2 2 2, дз = хз хз, уб — х4 — хб; 11) у!' у! = а!х! + ...
+ а х, уг = хг,, уз-1 = хз „уз = хг, г, УЗ4-1 = хз4-1,..., Уб — — х„, если аз Эб 0; 32425ги+1 ) У!+ У2+ Уз+ 94+'''+ У 4 6 8 ''' 2и 1 1 У1 Х!+ (Х2+ХЗ+...+Х ) У2 — Х2+ — (ХЗ+Х4+...+Хе) 2 3 у — хб! гггЗг42и — 1 13) У! Уг Уз У4 Уз У ! 4 6 2(и — 2) 1 1 д! = (Х1+Х2)+ХЗ+Х4+ ° ° ° +Х, У2 = — (Х1 — Х2) 2 2 1 1 уэ =ХЗ+-(Х4+ХЗ+ ..+Ха), У4 =Х4+-(ХЗ+Хб+...+Х ),... 2 3 У =Х ! 14) если и четно: У, — Уз +Уз — У4+... + У„, — У„, 2 2 2 2 уз = (хз + хз.~1 + хз4 г)/2 при й = 1, 3,..., и — 3, уз = (хз ! — х!+хз4!)/2 при й = 2,4,...,и — 2, у„1=(х !+х )/2, у„=(х ! — х )/2; если и нечетно! у1 — уз + Уз — У4+ .
+ У -г У -1! 2 2 2 2 2 2 уз = (хз + хзэ1+ хзбг)/2 при й = 1, 3,, и — 2, уз = (хз, — хз+ хз„!)/2 при й = 2,4,...,и — 1, д = х Ответы и указания к 368 241 т — 1л — 22221 15) — уг + — уг +... + -У„г + -у„ 1 1 У1 = Х! (Х2+ХЗ+ ° ° ° +Х )» У2 = Х2 (ХЗ+Х4+ ..+Хе)»...
и — 1 л — 2 У вЂ” 1 = Х вЂ” 1 Хе» Уп = Х ! 16) (тг — 1)у! — уг уз — . — у ! 2 2 2 2, 1 1 У! = (Х1+Х2+ХЗ+ ° ..+Х ), У2 = — ( — Х1+Хг+ХЗ+...+Хе), 2 2 1 1 УЗ = ( Х! Х2+ХЗ+...+Х )»... Уз = ( Х1 Х2 ... Х -1+Х )' 2 2 17) у,; у! = 2хг — Зтхг, уз = хг; 2. 18) уз+(1 — 21)угг; уг = Зх! +4(1+1)хг, уг = 4хг; 2 2 19) -(У! — Уг); Уг = х! + хг, Уз = х! — хг; 20) (1 + !) у!г + тугг + (2 — 2)уз; у! = х ! + хз, уг = хг, уз = хз; 21) уз+ !Угг; у! = х! + (1 — !)хг+ хз, уз = 2хг+ хз, уз = хз; 22) — у,; уг = х! + 22хг + (1 — !)хз, Уг = хз, Уз = хз.
2 п — 1т-» г 2 ч.~ Указание. 15) Предатавить форму в виде — ~хз — — Зу хзхт и 1=1 з<2' применить метод индукции. 67.14. 1) хг = у! — Зуг — буз, хг = уз+ Зуз, хз = уз; 1 2) х! = 2Ч2У! + З/2уг + 5уз, хг = — у! + Уз, хз = уз; з/2 3 3 3) х! = Уз, хг = Луг+ Уз, хз = ч29! — — Уг — (3+ — )Уз зГ2 з/2 67.15. 1) Формы у! и уз эквивалентны, но ни одна из них не эквивалентна уг; 2) формы уг и уз эквивалентны, но ни одна из них не эквивалентна !! 67.16. лг.
67.17. 1 = 2хгу! + 2хгуг + Вхзуз + 8х494 в базисе 1, 1132, Л(3! — 1), з/7(512 — 3!). 67.18 ! = 2хгуг+ -хзуз+ -ХЗУ4 в базисе 1, 2, 1, З 8 8 2 3 3 5 368 68.1. 1)У1+уг — уз,2,1,1; 2)У1 уг уз у4!1,3,— 2; 3) У! + Уз + Уз' 3, О 3' 4) -У! + Уг — Уз' 1, 2, -1; 5) у! -Угз+уз,2,1,1; 6) у!г-угг+уз+942; 3,1,2. 68 2. 1) Если л = 2й, то х = и = й, если л = 2й+ 1, то х = й+ 1, и = й; 2) тг = тт, и = 0; 3,4) х = 1, и = л — 1; 5) тг = тг,и = О. 68.3. Указание. Использовать результат задачи 64.56. 68.4. Указание. Использовать результат предыдугдей задачи.
68 5 1) угг угг узз, 1 2! 1 2) у!2 +угг узз у42, 2 2 О, 3) Ут Уг Уз У4,1,3, -2; 4) у!+Уг уз — У4 — уз,2,3, — 1; 5) У! + Уг + Уз — У4» 3, 1, 2. 68.7. Нет. 242 Ответы и указания к 368 68.8. Нет. Указание. В доказательстве использовать положительно определенную при всех е > 0 квадратичную форму В(х, х) = А(х, х)+е(х, х). Рассмотреть пример; / = — хз + 2хзхе. г 68.9. 1) Л>1; 2) Л>2; 3) Л>8; 4) (Л(< Л/5/3; 5)-4/5 <Л<0; 6) ЛЕФ; 7) ЛЕФ; 8) ЛЕФ; 9) Л<-6.
68.10. Форма приведется к виду уз~+ д(уз,..., у„), где д — квадратичная форма от переменных дз,..., у . 68.11. Указание. См. задачу 65.39. 68.12. Все формы положительно определены, соответствующими треугольными преобразованиями будут следующие преобразования: 1) 91 = хз+ хз+ хз, дз = хз+ хе, уз = хз; 2) у~ = хз + хз, уз = хг + хз, уз = хз; 3) уз — хз — хз — 2х4, дз = 2хз + хз, дз = Зхз + 2х4, у4 = 4хо 68.15. Указание. Воспользоваться предыдущей задачей. 68.16.
Указание. Сравнить с задачей 65 40. ! 2 1 -1 0 2 1 0 0 1 ГЗ вЂ” 1 01 2)8=[0 г -г~; 0 0 1 68.17. 1) 3 = 3) Я= 1 2 3 4 О 1 2 3 0 0 1 2 0 О 0 1 68.19. Указание. При до 68.30. 1)( — з]~ 2) [ О 0]~ 3)( 5 ]; 4) [ 2 1 — ']' с 1 3 2 — 5з 8) 3 — 6 4з 9) 1 РЗ) г+Зз -41 1+3,/2 ~' казательстве достаточности учесть критерий задачи 68.8, затем, используя нормальный вид соответствующей А квадратичной формы, получить разложение А = 42~РЯ, где Р = 61а8(1,..., 1, 0,...,0). 68.20.
Указание. Перейти к каноническому виду билинейной формы. 68.21. Указание. См. предыдущую задачу. 68.24. Указание. Предположить, что 11(у) ~ О, (з(з) Ф О, и рассмотреть вектор у+ я. 11(х) 11(д) 68.25. Указание. Показать, что если А(х,д) ф О, то — = — = 1з(х) Ь(д) Л ф О. Рассмотреть произведение (1~(х) — Л1з(х))1з(х) и применить задачу 68.24.
68.26. Ранг — четное число, сигнатура равна нулю. 68.27. Указание. Использовать канонический вид квадратичной формы. 68.28. Указание. Пусть ем...,е„— канонический базис, в котором квадратичная форма / имеет нормальный вид, причем /(е;) = 1, 1 = 1,р, /(ез) = — 1, 1 = р+ 1,г, /(еь) = О, 1. = г+ 1, и.
Рассмотреть векторы е, ~е„ з =1,р,у=р+1,г. Ответы и указания к 369 68 31. 6) (1+ 1)х!хг+ (1 — 1)хгх1+ 5(хг(~; 8) 2(х1(~ + Зх!хг + Зхзхз + (2 — 51)хзхз + (2 + 5!)хзх! — 6(хг(~ + 41хзхз— 4зхзхг + (1 -~- Зэ/2)(хз) 9) ~~! ~хь(; 10) ~~! хьх!. й=1 ьф! 1 1 68.32. А(х, у) = -(А(х + р, х + у) — А(х, х) — А(у, у)) + -(А(х + зу, х + 2 2 зу) — А(х, х) — А(у, у) ).
369 69.1. 1) 4у! + 4рг — 2уз, 2) бу! + буг + 9уз', 3) у1 + 4/Зуг — э/Зуз, 4) Зуг+(1+ Д7)уз +(1 — э/Г7)уз, 5) -у! — 7уг+ 5уз; 6) -7У1+ 2уг, 7) у! + Зугг Зрз У4~ 8) 10У1. 69.2. 1) ЗУ12+ бргг+ 9рзз; х1 = (2Р! — Уз+ 2рэ)/3, хг = (2У! + 2Уз — Рз)/3, хз = (-р! + 2уг + 2уз)/3! 2) 9уг + 18угг — 9узз; х! = (2У! + 2уг — уз)/3, хз = (-уг+ 2уз + 2уз)/3, хз = (2У! — Уг+ 2уз)/3; 2 2 2.
3) ЗУ1+буг — 2уз' х1 = — у!+ — Уг+ — уз, хг = — — у! — — Уз+ — уз, 1/3 э/6 !/2 э/3 э/6 !/2 1 2 хз = — У! — — У2; !/3 1/6 4) 9уг + 18ргг + 18рз3; х! = (у! — 2уз + 2уз)/3, хг = (2У1 — уз — 2уз)/3, хз = (2у! + 2уг + уз)/3; г 2 2 1/2 э/2 1 21/2 2 5) Зу! — буг' х! = -У! + — Уз + — Уз, хг = У! Уз, хз = -У! + 3 6 2 ' 3 3 ' 3 42 э/2 У2 Уз б 2 2 Л /2 1 2,/2 6) 9У21 + 9уг г— 9угз; х1 = -У1 + — уг + — уз, хг = -у! — — Уз, хз = 3 2 б ' 3 3 2 1/2 1/2 -У! — — Уг + — Уз; 3 2 б 7) 2уг!+4угг — 2узг-4уьг; х! = (у!+Уг+уз+у!)/2, хг = (-у!+Уз+уз — уь)/2, хз = ( — У! — Уг + уз + У4)/2 хь = (У! — Уз+ Уз — У4)/2; 8) 4у, +8рг+12рз -4У4; х! = (У!+уз+уз+У4)/2, хг = (У1-уг — уз+У4)/2, хз = (у! + Уг — Уз — У4)/2, хь = (у! — Уг + уз — уь)/2; 9) 5уг! — 5угг + 5узг; х1 = (2У1 + уг)/1/5, хг = (У1 — 2рг)/!/5, хз = (2уэ + У4)/э/5, хь = ( — уз + 2уь)/1/5; 10) 2уг — 4уг; х = (р! + Уз)/!/2, хз = (у! — Уз)/1/2, хз = (уг + уь)/э/2, хь = (рг — уь)/э/2 11) 9У!2+9У22+ 9Уз, х1 = У1, хз = (Уз+ 2рэ+2Р4)/3, хз = (2рг +Уз — 2У4)/3, х4 = (2уг — 2уз + рь)/3! 12) 5у,'+бргг+5узг — 8уьг; х! = (2У1+уь)/э/5! хг = ( — У1 + 2уь)/ /5, хз = уз, хь = (2уг + Зуь)/ЛЗ! хь = (Зуг — 2У4)/э/ГЗ; 244 Ответы и указания к 369 13) 4уг + 4угз + 4уз — буе г— буз', хе = ум хз = ~д(уг + гуе)/з/5, хз = ( — 2уг + уе)/з/5, хе = (уз + Зуз)/з/РОЗ, хз = (Зуз — уз)/з/19; 14) 5уг-5угг+бузз-5уег+5узг; хе = (гуг+уг)/з/5, хг = (уе — гуг)/з/5, хз = (Зуз+уе)/з/ГО, хе = ( — уз+Зуе)/ДО, хз = (гуз+уз)/з/5, уе = (уз — гуе)/чгз~ ге+1 г 1 г 1 г, 15) — у, +-Уг+...+-у„; Уе = — (хе+хг+...+х„), У, 2 2 2 "' з/о 1 (хе + хг+...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
